河北省武邑中学2017届高三上学期周考(12.18)数学(理)

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U R =
，函数()f x =M ，则U M =ð（ ）
A ．(,0]-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,0)-∞
D ．[0,)+∞
2.复数2(2)i i
+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ）
A ．3
B ．3-
C ．4
D ．4-
3.已知命题p ，q ，则“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条
件
4.已知等差数列{}n a 中，37100a a a +-=，1144a a -=，则13S =（ ）
A ．78
B ．68
C ．56
D ．52
5.若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆22
4410x y x y ++--=所截得的弦长为6，
则23
a b
+的最小值是（ ）
A ．10
B
．4+C
．5+
D
．6.已知向量(,1)a x z =-，(2,)b y z =+，且a b ⊥，若x ，y 满足约束条件,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
则
z 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．9
D ．4
7.
设函数11()sin()cos()22f x x x θθ=+-+（||2
πθ<），且其图象关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是（ ）
A ．(0,
)2
π
B ．(
,)2
π
π C ．(,)24
π
π
-
- D ．3(
,2)2
π
π 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12π+
B ．8π+
C ．12π-
D ．6π-
9.已知函数()2
x x
e e
f x --=，x R ∈，若对于任意的(0,]2πθ∈都有
(sin )(1)0f m f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(,1)-∞
D ．(,1]-∞
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线
的一个交点为P ，若5
||2
PF =
，则双曲线的渐进线方程为（ ）
A ．12
y x =±
B ．2y x =±
C ．y =
D ．3
y x =±
11.设函数1()f x x =，22()f x x =，99
i i
a =
，0,1,2,3,,99i =…，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k S f a f a f a f a f a f a =-+-++-…，1,2k =，下列结论正
确的是（ ）
A ．121S S ==
B ．121S S =>
C ．121S S >>
D ．121S S <<
12.已知函数2
()g x a x =-（
1
x e e
≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．211,
2e ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
B ．2
1,2e ⎡⎤-⎣⎦
C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢
⎥⎣⎦
D ．2
[2,)e -+∞ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.过直线2y =与抛物线28x y =的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的方程为 ．
14.已知tan 2θ=，则sin(
2)2
π
θ+的值为 ．
15.在三棱锥P ABC -
中，PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积是 ．
16.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，BD BC λ=（01λ<<），设
()f AD BC λ=⋅，则()f λ的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分） 已知函数2()2ln f x a x x =-．
（1）若2a =，求函数()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若0a >，判断函数()f x 在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数()f x 最大值或最小值． 18. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
B π
=．
（1）若3b =，2sin sin()3
A A π
=+，求A 和a ，c ；
（2）若1
sin sin 2
A C =
，且ABC ∆
的面积为b 的大小． 19. （本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，122n n a S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 的各项均为正数，且2n b 是n n a 与2
n n
a +的等比中项，求n
b 的前n 项和为n T ． 20. （本小题满分12分）
在五面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，222CD EF CF AB AD =====，
60DCF ∠=︒，AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD ．
（1）证明：直线CE ⊥平面ADF ；
（2）已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面角P DF A --的大小为60︒．
21. （本小题满分12分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
积为
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与A ，B 两点，过线段AB 的中点与AB 垂直的直线交直线3x =于P 点，若ABP ∆为等边三角形，求直线l 的方程． 22. （本小题满分12分）
已知函数()x
f x x ae =-（a R ∈，e 为自然对数的底）． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，求证：122x x +>．
武邑中学2016-2017学年高三数学周日测试（8）答案
一、选择题
1-5:BBADC 6-10:ACCDC 11、12：AB
二、填空题
13.2
2
(2)16x y +-= 14.35-
15.
32
3
π 16.(5,2)- 三、解答题
17.解：（1）当2a =时，2()4ln f x x x =-．
4
'()2f x x x
=
-，'(1)2f =，(1)1f =-， ∴函数()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x +=-，即230x y --=．
（2）2'()2a f x x x =-22()x a x
--=，0x >．
令'()0f x =，由0a >，解得1x =2x =， 当x 在(0,)+∞上变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
所以，函数()f x 在区间(0,)+∞上有最大值ln f a a a =-，无最小值． 18.解：（1）∵3
B π
=
，2sin sin()3
A A π
=+
，
∴2sin sin()sin(())sin A A B A B C π=+=-+=， ∵
sin sin a c A C
=，∴2a c =．
∵2
2
2
2cos b a c ac B =+-，∴2
2
2
942a a a =+-，∴a =
∴c = （2）由正弦定理，
sin sin sin a b c
A B C
==， ∴22
sin sin sin ac b A C B
=，∴21324
ac b =，∴2
32b ac =，
两式相减得112()2n n n n n a a S S a +--=-=，13n n a a +=， 当1n =时，21122226a S a =+=+=，213a a =， ∵120a =≠，∴0n a ≠， 故当1n ≥时，
1
3n n
a a +=，则数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， ∴123n n a -=⨯． （2
）
2
23n
n b n ===⨯，3n
n
n
b =． ∴212333n n n
T =
+++…，① 则2311123333
n n n
T +=+++…，② 则①-②得：23121111333333
n n n n
T +=++++-…，
23111112133333
n n n n T -=+++++- (1131313)
n
n n -=
--323223n n +=-⋅， ∴323443n n
n T +=-⋅．
20.解：（1）∵//CD EF ，2CD EF CF ===， ∴四边形CDEF 为菱形，
∴CE DF ⊥．
∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，
∵AD CD ⊥，
∴AD ⊥平面ACDEF ， ∴CE AD ⊥， 又∵AD
DF D =，
∴直线CE ⊥平面ADF ． （2）∵60DCF ∠=︒，
∴DEF ∆为正三角形，取EF 的中点G ，连接GD ，则GD EF ⊥， ∴GD CD ⊥，
∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，GD ⊂平面CDEF ， ∴GD ⊥平面ABCD ．
∵AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DG 两两垂直，
以D 为原点，DA ，DC ，DG 的方向为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． ∵2CD EF CF ===，1AB AD ==，
∴(0,1E -，F ．
由（1）知(0,CE =-是平面ADF 的法向量，
∵(0,1DF =，(1,1,0)CB =-，
设CP (,,0)aCP a a ==-，(,2,0)DP DC CP a a =+=-， 设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =， ∵0n DF ⋅=，0n PF ⋅=，
∴ 0,(2)0,
y ax a y ⎧+=⎪
⎨
+-=⎪⎩令y =，则2)x a =-，z a =-，
∴(3(,)n a a =--． ∵二面角P DF A --为60︒， ∴||1
|cos ,|2
||||12n CE n CE n CE ⋅<>=
==⋅，解得23a =．
∴P 点在靠近B 点的CB 的三等分点处．
21.解：（1
）依题意c a =
，2ab =222
23a b a -=，2212a b =， 得2
6a =，2
2b =，所以所求椭圆的方程为22
162
x y +=． （2）直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),1,6
2y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21221231k x x k +=+，2122126
31
k x x k -=+，
所以12|||AB x x =-= 设AB 的中点00(,)M x y ，得2
02631
k x k =+，02231k y k =-+，
得直线MP 的斜率为1
k
-
，又3P x =，
所以22
3(1)
|||(31)
B P k MP x x k +=-=+， 当ABP ∆
为正三角形时，||||2
MP AB =
，
2222
3(1)1)(31)231
k k k k ++=⋅++， 解得1k =±，即直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=．
22.解：'()1x f x ae =-，
当0a <时，'()0f x >，函数()f x 是(,)-∞+∞上的单调递增函数； 当0a >时，由'()0f x >得ln x a <-，由'()0f x <，得ln x a >-，
所以函数()f x 是(,ln )a -∞-上的单调递增函数，是(ln ,)a -+∞的单调递减函数． （2）函数()f x 有两个零点1x ，2x ，所以11x x ae =，22x x ae =，因此1212()x x x x a e e -=-， 即12
12
x x x x a e e
-=
-， 要证明122x x +>，只要证明1
2
()2x x a e e +>，即证：12
1
212()2x x x
x e e x x e e
+->-， 不妨设12x x >，设12t x x =-，则0t >，1t
e >，因此只要证明：1
21
t t
e t e +⋅>-， 即(2)20t t e t -++>，
记()(2)2t h t t e t =-++（0t >），则'()(1)1t h t t e =-+，记()(1)t m t t e =-，则'()t m t te =， 当0t >时，'()0m t >，所以()(0)1m t m >=-，
即0t >时，(1)1t t e ->-，'()0h t >，所以()(0)0h t h >=，即(2)20t
t e t -++>成立，
所以122x x +>．。