空间向量与立体几何单元测试题

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

空间向量与立体几何单元测试题 a 0,2,1 ,n 1,0, 1
C D
.a 1, 1,3 ,n 0,3,1 点为C ,则BC
()
一、选择题
1、若a, b, c是空间任意三个向量, R ,下列关系式中,不成立的7、在平面直角坐标系中, A( 2,3), B(3, 2) ,沿x 轴把平面直
角坐标
系折成120 的二面角后,则线段AB 的长度为()
14、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且
AB=BC=BD∠,CBA=∠
DBC=60 ,则AD 与平面BCD所成角
为.
15、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为
(2,1,-1),且l⊥,
是()
a b a
b
b a
D.
A. a b b a
B.
a b c a b c
C.
2、给出下列命题
a b c c b a b c
①已知a b,则
;
②A、B、M、N 为空间四点,若BA, BM , BN 不构成空间的一个基底, 则A、B、M、N 共面; A.2 B.2 11 C.3 2
D.4 2
8、正方体
ABCD -
A1 B C D 的棱长为1,E

1 1 1
A1B 中点,则E到
平面
1
3 2 1
3
ABC1D 的距离是
()A.
1
2
B.
2
D.
2 C.
3
9.若向量a与b的夹角为60 °,b4,(a2b)(a3b)
72,则a
()A. 2 B.4 C.6 D.12
10.如图,A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点
D1、F1 分别
则m = .
16 ABCD 为正方形,P 为平面 A B C 外D
一点,
PD AD,PD AD ,二面角P AD C 为60 °,则
P 到AB 的
2
距离为()
三、解答题
a x1, y1,0 ,
b x2 ,
y2,0
x
y
1
1
17、设空间两个不同的单位向量




;
c
1,1,1

的夹角都等于45 . (1) 求x1
y1 和
a,b
的大小.
(2)求
③已知a b,则a,b与任何向量不构成空间的一个基底; 是A1B1、A1C1 的中点,若BC= C A=CC1,则BD1 与AF1 所成角的余
弦值是()
a, b, c
是空间的一个基底,则基向量a,b 可以与向量④已知
m a c构成空间另一个基底. A.
30
10
B.
1
2
正确命题个数是()A.1 B.2 C.3
D.4
3、已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60 ,那么 a 3b 等于
()
A.7 B.10 C.13 D.4
30
1
5
10
C.D.
15
11.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,
AB=BC=
是、的中点,⊥底
面,则直线与平面所
成AC PC OP
ABC OD PBC
1
2
PA,点O、D
分别
4、a 1,b 2,c a b,
且c a,则向量a与b的夹角为()
角的正弦值()
A.
21
6
8 3
B.C.
3
210
60
D.
210
30
18、已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥
底面ABCD,E
为PC上的点且CE:CP=1:4,
则在线段AB 上是否存在点 F 使EF//平面PAD?
A.30 B.60 C.120 D.150
3 12.正三棱柱ABC A1B1C1 的底面边长为3,侧棱AA 3 ,
1
2
5、已知a3,2,5 ,b 1,x, 1 ,
且a b 2,则x 的值是()
D是CB 延长线上一点,且BD BC ,则二面角B
AD B
1
A.3 B.4 C.5
D.6
6、若直线l 的方向向量为a,平面的法向量为n,则能使l // 的是
的大小()
A.
二、填空题
B. C

3 6
5
6
D.
2
3
13、已知A(1,2,1)关于面xOy 的对称点为 B ,而B 关于x 轴的对称
a 1,0,0 ,n 2,0,0 a 1,3,5 ,n1,0,1 A
B.
第 1 页共 4 页
19、如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1且, SA⊥底面21.如图6,在三棱锥P ABC 中,AB BC ,AB BC kPA ,点22、如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,
ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PS PD .O,D 分别是AC,PC 的中点,OP 底面ABC .
(1)求证:OD ∥平面PAB;
PB=PD= 2a,点E在PD上,且P E:
ED=2:1.
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD所成角的余弦值大小; (2)

1
k 时,求直线PA与平面PBC 所成角的大小;
2
(1)证明:PA⊥平面ABCD;
(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角
θ的大小;
(3)当a 取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P 到平面(3)当k 为何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC
的重心
(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平
面AEC?
SCD的距离.
20、已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB 2, AF=1,M 是线段EF的中点.
(1)求证:AM// 平面BDE;
(2)求证:AM⊥平面BDF.
第 2 页共 4 页
参考答案:选择

填空题
1 1 a a b
CE CP a, a,b , ,
4 4 4 4 4

∴由
CE AE AC AE CE
AC
3a 3a
b
, ,
4 4
4
,
n
D
C
n
D
C
n
S
D
n
S
D
∴由
n1
(0,1,2)
,
x 0 x
2y z 0 y
1
取y 1 z
2
DCCCC DBBCA DA

13. (0,4,2) 14. 30 15. -2 16. 7
设点 F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x≤a), ∴平面SCD 的一个单位法向

解答题
17、解:(1)依题意,
6
2

c
与向量
6 2 6
2
6
x x
x y
1 1 1 1
4
4
2
或,
1,1,1
3a 3a b
, ,
EF x
依题意,
(1)

n
1 5
2 5
0 , 1 , 2
( 0 , , ) ,
5 5 5
5
C
P
n
n
5
5 ,
1 5
1 6 2
6 2
x y y y 1 1 1 1
4 4
4
2 2 2 2
x y 1 x y 1 x y
1 1 1 1
1 1
x y 2 6
1 1 1
x y x y
1 1
3 2 4
2
1 1
a x1,y1,0 ,
b x2, y2 ,0
(2)∵单位向量
的夹角都等于45 .
∴由
4 4 4

,
又平面PAD的一个法向量为AB a,0,0 ,
3a 3a
EF AB x a 0 x
4 4
,
3
4 处.
∴在线段A B 上存在点F,满足条件,点F 在线段A B 的
19、解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0).
(0<x<2)
PS a, x,1 , PD a,2 x,0
5
5
.
O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),
1
n
n
1
又CP (0, 1,0), 在n 方向上的投影为
∴点P 到平面SCD的距离为
20、解:建立如图的直角坐标系,则各点的坐标分别为:
E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).
(1) ∵AM (0, 1,1), O E (0, 1,1)
∴由
6 2 6 2 6 2 6 2
a , ,0 ,
b , ,
4 4 4 4
P
S
P
D ∴


:

:
2 (2 ) 0
a x x
2 (2 ) (0 2)
a x x x
∴AM OE,即
AM//OE,
AM
OE
又∵平面
BDE,
BDE,
平面
cos a,b
∴当且仅当x=1时,a 有最大值为 1.此时P为BC中点;
x1x2 y1 y2 6 2 6 2 6 2 6 2 1
a b 4 4 4 4 2
(2) 由(1)知: AP (1,1,0), SD
(0,2, 1),
∴AM// 平面BDE;
(2) ∵BD (2,0,0), DF
( 1,1,1),
∴a,b .
3 ∴
AP SD 2 10
cos AP, SD ,
5
AP SD 2 5
∴AM BD 0, AM DF 0 ,
∴AM⊥BD,AM⊥DF, ∴AM⊥平面
BDF.
18、解:建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=b,
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),
CP a, a,b
则,
∵E为PC上的点且CE:CP=1:3,
10
∴异面直线AP与SD所成角的余弦
值大小

n x, y,z
1
(3)设
5
是平面SCD 的一个法向量,

21.解:(1)证明:∵OP 平面ABC,OA OC,
AB BC ,
∴OA OB,OA OP,OB OP .
以O 为原点,建立如图所示空间直角坐标系O
xyz.
设AB a ,则 2 0 0 0 2 0
2 0 0 A a,,,B ,a,,C
a,,.
2 2 2
DC
(1,0,0), SD (0,2, 1),
设OP h ,则P (0,0,h) .
第3页
共 4 页
2 1
∵D 为 PC 的中点, OD
a ,0, h


4
2
22、解:(1)∵ PA=AC=a ,PB=PD= 2a

2 2 2, 2 2 2
,
PA AB PB PA AD
PD

n n
3 3
1
2
cos n ,n
n , n
1 2
1
2
1 2 2
6
n
n
1
2
2 1 PA
a ,0, h ,∴OD
PA .
2
2
∴PA ⊥AB 且 PA ⊥AD , ∴PA ⊥平面 ABCD ,
∴由图可知二面角 E-AC-D 的大小为
6 . ∴ ∥ ,∴OD ∥平面 PAB . OD PA
(2) 1
7 k ,即 PA 2a , h
a
∴ ,
2
2
∴ 2 7
PA a ,0, a
2 2
可求得平面 PBC 的法向量 1
n
. 1, 1,
7
(2)∵底面 ABCD 是菱形,∴ AC ⊥BD ,设 AC ∩BD=O , ∴以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分

为: A a 0, ,0 , 2 3a a B ,0,0 , 0, ,0 , C 2
2
D
3a 2
,0,0 ,
a P 0, ,a ,
2
∵ 点 E 在 PD 上 , 且 PE : ED=2: 1. ∴ DP
3DE , 即 :
(3)设在 CP 上存在点 F ,满足题设条件,
由 CF
CP (0
1)

得 1 2
OF OC CP 0,
a, a 2

1 2 3a
3
1 2
BF 0, a, a ,0,0 a, a, a
2
2
2 2
PA · n .
n
210 arcsin

30
DP 3 OE OD

3 a a
OE a, ,
3 6 3
3 a a E a, ,

依题意,则有 BF n 2

3
1 2
a, a, a 2 2
3
1 a 3 a 0
2
2
∴点 F 为 PC 中点时 ,满足题设条件 .
2 2 1 2 2
1
OG a a
h,

G a a h,,,∴,
6 6 3 6 6
3
21
30


cos
n
PA

sin
cos
PA
设PA与平面PBC 所成的角为,
210
PA,n.
30
∴与平面PBC 所成的角为
PA
3 6
3
a
0, ,0
2
OC
,即点E的坐标为又平面DAC的一个法向量为n1 0,0,1
设平面EAC 的一个法向量为n2 x, y, z ,
(3)△PBC 的重心
1,0, 3 0
∵OG 平面PBC ,∴OG PB .
3 a
a
OE
a, ,
3 6
3
2
1
1

PB 0 a
h,,,
OG
PB
a
h 0
∴·

2
6
3
2
∴.
h a
2
2 2
∴PA OA h a ,即k
1 .由
n O C
n
O C
0 3a
2
2
WORD文档
专业资料n
O E
n
O E 0 2 2
反之,当k 1 时,三棱锥O PBC 为正三棱锥.
∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心.
n2 1,0, 3 ,
,得
第 4 页共 4 页。

相关文档
最新文档