第十二章+平稳随机过程

第十二章平稳随机过程
平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程．本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质．
§1平稳随机过程的概念
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响．有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化．严格地说，如果对于任意的
和任意实数A，当
时，n维随机变量
具有相同的分布函数，则称随机过程
具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程．
平稳过程的参数集T，一般为
．当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列．以下若无特殊声明，均认为参数集
．
在实际问题中，确定过程的分布函敷，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的．但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的．
．376．
恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2、例3都是平稳过程的例子．强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的．
与平稳过程相反的是非平稳过程．一般，随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的．例如，飞机控制在高度为丸的水平面上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H（他）应在A水平面上下随机波动，H（他）可看作是平稳过程，但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段)，因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化着，也就是说在升降阶段内过程II(t)是非平稳的．不过在实际问题中，当仅仅考虑过程的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为一oo<他
<+oo．
接着，考察平稳过程数字特征的特点．
设平稳过程X（他）的均值函数E[X(t)]存在．对n=1，在(1．1)式中，令
h=-t1，由平稳性定义，一维随机变量X(t1)和X(0)同分布．于是E[X(t)]＝
E[X(0)]，即均值函数必为常数，记为比．同样，X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数，分别记为甲l和畦．据此，依照图10—4的意义，可以知道，平稳过程的所有样本曲线都在水平直线J(r)‘／J。

上下波动，平均偏离度为dx．
又若平稳过程X(”的自相关函数
存在，对n＝2，在(1．1)中，令A＝一九，由平稳性定义，二维随机变量
同分布．于是，有
等式右端只与时间差‘。

一J1有关，记为
，即有
这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差‘：一r1’，的单变量函
．377·
数(换句话说，它不随时间的推移而变化)．
又由第十章(2．7)式，协方差函数可以表示为
特别地，令，＝0，由上式，有
如前所述，要确定…个随机过程的分布函数，并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的．因此，通常只在二阶矩过程范围内，考虑如下一类广义平稳过程．
定义给定二阶矩过程
，如果对任意t，
则称
为宽平稳过程或广义平稳过程．相对地，前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程．
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的．但反过来，一般是不成立的．不过有一个重要的例外情形，即正态过程．因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化．由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的．
今后，我们讲到平稳过程一词时，除特别指明以外，总是指宽平稳过程．
另外，当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数，记为
，即
那末我们就称X(‘)和y(‘)是平稳相关的，或称这两个过程是联合(宽)平稳的。

378。

易见，在第十章中，§2例2、例3都是平稳过程，由于例3又是正态过程，所以它也是严平稳的．而§2例1以及§3·中的泊松过程和维纳过程都是非平稳过程．下面再举数例．
例1 设
是互不相关的随机变量序列，且
，则有
即相关函数只与是一／有关，所以它是宽平稳的随机序列．如果
又是独立同分布的，则易证序列也是严平稳的．
口
例2 设s(t)是一周期为T的函数，
是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量，称
为随机相位周期过程．试讨论它的平稳性．
解由假设，
的概率密度为
于是，X(t)的均值函数为
利用‘(F)的周期性，可知
而自相关函数
同样，利用
的周期性，可知自相关函数仅与，有关，即
． 379．
所以随机相位周期过程是平稳的．特别，随机相位正弦波是平稳的(第十章§2例2)．口
例3 考虑随机电报信号．信号X(”由只取+I或一I的电流给出(图12—1画出了X(9)
的一条样本曲线)．这里
而正负号在区间
内变化的次数N
是随机的，且假设N
服从泊松分布，亦即事件
的概率为
其中且>o是单位时间内变号次数的数学期望．试讨论X(t)的平稳性．
解显然，E[X(t)]＝0．现在来计算正[X(OX(‘+，)]，先设，>0，我们注意，如果电流在
内变号偶数次，则X(t)和X(t+，)必同号且乘积为／’；如果变号奇数次，则乘积为-I2．
因为事件
的概率为
，而事件
的概率为
，于是
注意，上述结果与t无关．而若
，则有
故这一过程的自相关函数为
它只与
有关．其图形如图12—2所示．因此随机电报信号X(t)是一平稳过程．
§2各态历经性
本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法．
首先注意，如果按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的．事实上，即使我们用统计实验方法，例如可以把均值和自相关函数近似地表示为
那也需要对一个平稳过程重复进行大量观察，以便获得数量很多的样本函数
．而这正是实际困难所在．
但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据．本节给出的各态历经定理将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，那末
．381．
集平均(均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替．这样，在解决实际问题时就节约了大量的工作量．
在叙述各态历经性之前，我们先简要地介绍一下往后多处要碰到的有关随机过程积分的概念．
给定二阶矩过程
，如果它的每一个样本函数在
上的积分都存在，我们就说随机过程X(t)在[a,b]上的积分存在，并记为
显然，Y是一随机变量．
但是，在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在[a,b]上的积分未必全都存在．此时，引入所谓均方意义下的积分，即考虑[a,b]内的一组分点：
如果有满足
的随机变量Y存在，我们就称Y为X(t)在[a,b]上的均方积分①，并仍以符号(2．1)记之．可以证明：二阶矩过程X(t)在[a,b]上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分，即
①设
是一随机变量序列，如果存在随机变量
，使
则称
是Xn的均方极限，记为
．本章出现的涉及随机过程的极限和积分都应在均方意义下理解．但我们约定仍以记号‘'lim"替代“1．i．m．”，请读者注意．有关这方面的进一步知识(即随机分析的内容)超出本书的要求．
·382．
存在．而且此时还成立有
就是说，过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分．
现在引入随机过程X(t)沿整个时间轴上的如下两种时间平均：
分别称为随机过程X(t)的时间均值和时间相关函数．我们可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限，其结果一般来说是随机的．
以下就来讨论时间平均与集平均之间的关系．先看一个例子．
例1 计算随机相位正弦波
的时间平均
．
将例1的结果与第十章§2例2算得的结果比较，可知
这表明：对于随机相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均
．383·
值和自相关函数是相等的．这一特性并不是随机相位正弦波所独有的．下面引入一般概念．
定义设X(t)是一平稳过程，
1. 如果
以概率1成立，则称过程X(t)的均值具有各态历经性．
2. 如果对任意实数
，
以概率1成立，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性．特别当
，称均方值具有各态历经性．
3. 如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是(宽)各态历经过程，或者说X(t)是各态历经的．
定义中“以概率1成立”是对X(t)的所有样本函数而言的．
各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity)．
按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程．
当然，并不是任意一个平稳过程都是各态历经的．例如平稳过程
其中Y是方差异于零的随机变量，就不是各态历经过程．事实上，
，亦即时间均值随Y取不同可能值而不同．因Y的方差异于零，这样
就不可能以概率1等于常数E[X(t)]＝E[Y]．见图12—3．
一个平稳过程应该满足怎样的条件才是各态历经的呢?下面两个定理从理论上回答了这一问题．
·384·
定理一 (均值各态历经定理)平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是
证先计算
的均值和方差．由(2.3)式
交换运算顺序，并注意到
，即有。