福建省宁德市高三数学单科质量检测试题 文

2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查
数学（文科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数i(12i)+（i 为虚数单位）等于
A ．2i -+
B ．2i +
C ．2i --
D ．2i - 2．已知集合
{
}21
x M x =>，若a M ∉，则实数a 可以是
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1-
3．已知
sin α=
α为第二象限角，则tan α的值是
A ．
B ．
C ．1
2-
D ．
4．如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆， 数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为
A.4.7
B.4.8
C.1.2
D.1.3
5．a b >>“”是的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6. 已知一个几何体的三视图如图所示， 根据图中尺寸可得该几何体的体积为 A ．36π B ．24π C ．15π D ．12π
7．要得到函数
3sin(2)
4y x π
=-的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象 A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π
个单位 C ．向右平移8π个单位 D
π
8. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有 实数对(,)x y 所对应的点都在函数 A ．2()log (1)f x x =+的图像上
B ．2
()22f x x x =-+的图像上
C ．4()3f x x
=的图像上 D ．1
()2
x f x -=的图像上
9. 定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=.当[0,1]x ∈时，2
()2f x x =.若在区
间[1,3]-上函数()()g x f x ax a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是
A ．1(0,)2
B ．1
(0,]
2 C ．1(,1)2 D ．1(,1]2
10. 若双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆
22(2)1x y -+=有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是
正视图
侧视图
俯视图
A
．
B
． C
．)+∞ D
．)+∞
11.不等式组222,
222
x y x y -≤-≤⎧⎨
-≤+≤⎩围成的区域为Ω，能够把区域Ω的周长和面积同时分为相等两部
分的曲线为
A ．
3
31y x x =-+ B ．sin 2y x x = C ．2ln
2x y x -=+ D ．1
(e e )
4x x y -=+
12.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数a ，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每
一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是2x +．设前n 次生成的所有数的和为n S ，若1a =，则6S =
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．某校参加“数迷会”社团的学生中，高一年级有50名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个容量为18的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .
14．若向量(1,2)=-a ，(3,)y =-b ，且a ∥b ，则
a +b
＝ .
15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .
16．已知函数
10,0()e ,0x x
x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对于任意[12,12]x a a ∈-+，不等式()(2)f x a f x +≤ 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n *∈N 在函数2()f x x =的图象上.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设
1
1n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b
的前n 项和n T ．
18.（本小题满分12分）
某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统
（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率； （Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为ˆˆ
0.004y x a =+．该水电站计划2015年的发电量不低于
9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?
19．(本小题满分12分)
如图三棱柱ABC －A1B1C1中，点M
为AB 的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CM ；
（Ⅱ）若CA=CB ，A1在平面ABC 的射影为M ， 求证: 平面A1CM ⊥平面ABB1 A1．
20.（本小题满分12分）
已知函数()cos cos(2)3f x x x x ωωωπ=⋅++(0)ω>的最小正周期为2π. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当x A =时函数()f x 取到最值， 且ABC ∆的面积为，5b c +=，求a 的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数
()e x
f x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
B 1
A 1 A
B
C 1
C M
（Ⅱ）求函数21
()e 1
2x g x x =--在[0,)+∞上的最小值； （Ⅲ）求证：
3e ln 2x x >+
.
22.（本小题满分14分）
已知抛物线2
2(0)x py p =>的焦点F 与椭圆22
143y x +=的一个焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线1y kx =+交抛物线于A,B 两点，过A,B 分别作抛物线的切线交于点P ． （ⅰ）探究PF AB ⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若直线PF 与抛物线交于C,D ，求证：PC FD PD FC
⋅=⋅．
2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．8； 14
． 15．1； 16．1(0,]
3．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．
解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2
()f x x =的图象上， ∴
2
.n S n = 1分
∴当1n =时，111a S ==, 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 3分 22(1)21n n n =--=- 4分
又11a =满足21,n a n =- 5分
∴2 1.n a n =- 6分
(II) ∵
111
(21)(21)
n n n b a a n n +=
=
⋅-⋅+ 7分
111()
22121n n =--+， 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ 11分
11(1)221n =-+.21n n =+
12分
18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),
(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0)
共10个． 3分
（说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分） 其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),
共3个． 5分
所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率
3
.
10P =
6分
（II ）∵1500140019001600210085001700,
55x ++++=== 7分
7.47.09.27.910.041.58.3.
55y ++++=== 8分 又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， 9分
∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =， ∴0.004 1.5y x =+．
10分
当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,
11分
所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． 12分
19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分． 证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分 ∵M 为AB 的中点，
∴1//MN BC ．……………………………………………3分
又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分
11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分
∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分
（II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，
∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，
∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分 又1CM
A M M =，
∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分
又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM
ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分 ∵M 为AB 的中点，
A 1
A
B
C 1 C
B 1
N
证法二图
B 1
A 1
A B
C 1 C
M
N
证法一图
∴1A N MB =，1A N //MB ∴四边形1A MBN 为平行四边形，
∴1//BN A M ．…………………………………………2分 同理可得1//C N CM ，
又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分
∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分
同理1//BN ACM 平面．
∵1C N BN N =，
∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分
∵11BC BC N ⊂平面，
∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分
（II ）同解法一．
20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分． 解：（I ）依题意得：
1
()2cos 222f x x x x
ωωω=+- 2分
1
2cos 22x x ωω=
+
3分
sin(2)
6x π
ω=+， 4分 ∵0ω>，
∴222T π
πω=
=， ∴12ω=
， 5分 ∴
()sin()
6f x x π
=+． 6分 （II ）∵0A π<<，
∴76
6
6A π
π
π<+
<
．
∵()sin()
6f x x π
=+在x A =时取得最值， ∴
,6
2
3A A π
π
π
+
=
=
． 8分
∵
1sin 2ABC S bc A ∆===
， ∴6bc =． 9分
∵5b c +=，
∴222
2cos a b c bc A =+-
10分
22b c bc =+-
2()3b c bc =+- 2518=-7=，
11分
∴a
12分
21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．
解法一：（I ）()1,x
f x e '
=- 1分
由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '
<可得0,x <
2分
∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．
3分
(II) (),x
g x e x '
=-
4分
由（I ）知()g x '
在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''
≥=> 5分
∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == 7分 （III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x > 即0x >时，
2
11,2x e x >
+ 8分
设函数
221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =
+-+=--
则211
()(0),
x h x x x x x -'=-=> 9分
由()0h x '>可得1x >；由()0h x '
<可得01,x <<
∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=
∴0x >时，2131ln ,
2
2x x +≥+ 11分 ∴
3
ln .
2x e x >+ 12分 解法二：（I ）(II)同解法一．
（III ）设3
()ln ,
2x h x e x =-- 则1
()(0),x h x e x x '=->
8分
∵
1
()x h x e x '=-
在 (0,)+∞上单调递增，
且1
21()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， 9分
∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==- 10分 ∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '
<()h x 在0(0,)x 上单调递减，
0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分 ∴
0000031331()()ln 20,2222
x h x h x e x x x ≥=--
=+->-=>
∴()0h x >， 即3ln .
2x e x >+
12分
22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．
解法一：（I ）∵抛物线2
2(0)x py p =>的焦点为
(0,).2p F 1分 椭圆22
143y x +=的焦点为(0,1)± 2分
∴1,2,2p
p ==
∴抛物线的方程为2
4.x y = 3分
（II ）（ⅰ）联立2
1
,4y kx x y =+⎧⎨=⎩得2
440,x kx --= 4分 216160,k ∆=+>
设1122(,),(,)A x y B x y
则12124,4x x k x x +=⋅=-， 5分
由2
4x y =，得
2,,42x x
y y '== 所以过A 的切线PA 的方程为：1111
(),2y y x x x -=
-
整理得：
2
111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分 同理切线PB 的方程为：
2
221124y x x x =- ⋅⋅⋅② 联立①②解得122,1,
2P P x x
x k y +===-即(2,1).P k - 7分 当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分 当0k ≠时，
1(1)1
,02PF k k k --=
=--有.PF AB ⊥
所以0PF AB ⋅=为定值． 9分
（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：1
1(0)
y x k k =-+≠
由211
,4y x k x y
⎧
=-+⎪⎨⎪=⎩得24
40,x x k +-= 设22
3434(,),(,)
44x x C x D x
则34344
,4,
x x x x k +=-⋅=-…………………11分 ∵(2,1)P k -，(0,1).F ∴PC FD PD CF ⋅-⋅
2222334444331111
(2,1)(,1)(2,1)(,1)
4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--
2222343443431111
(2)(1)(1)(2)(1)(1)
4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分 223434341
22()2
8x x k x x x x =-++-
241
82()(4)2
8k k =---+⋅--=0 ∴PC FD PD CF ⋅=⋅， 13分
又,,,P C F D 共线，
∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ 14分 解法二：（I ）（II ）（ⅰ）同解法一
（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：1
1(0)
y x k k =-+≠．…………………10分 由211,4y x k x y
⎧
=-+⎪
⎨⎪=⎩得24
40,x x k +-= 设22
3434(,),(,)
44x x C x D x
则34344
,4,
x x x x k +=-⋅=- 11分 ∴
342||,||2k x PC PD k x -=-34
||,||x FC FD x =- 12分
由4
2()2(4)0
k k ⋅--⋅-= 得34342()20,k x x x x +-⋅=
∴43433422,kx x x kx x x -⋅=-+⋅ ……………………………………………………13分 ∴33
44
22k x x k x x -=--，
||||
,||||
PC FC PD FD =
∴||||||||.FC PD FD PC ⋅=⋅ 14分 解法三：（I ）,（II ）（ⅰ）同解法一 （ⅱ）由（ⅰ）知P 在准线
:1
l y =-上， ………10分
过,C D 作1111,,,CC l DD l C D ⊥⊥为垂足，
则11||||,||||.CF CC DF DD ==……………………12分 所以11||||||
,||||||CC FC PC FD DD PD ==
即||||||||.FC PD FD PC ⋅=⋅………………………14分。