(全优试卷)黑龙江省青冈一中高三第一次模拟考试文数试卷Word版含答案

2017-2018高三学年第一次模拟数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1． 已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{＜x x B =，则=B A
A ．)0,1[]3,(---∞
B ．]1,3[--
C ．]0,1(]3,(---∞
D ．)0,(-∞ 2．已知z 满足2zi z +=-，则z 在复平面内对应的点为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,1) C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为 A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 4．下列说法中，不正确的是
A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题
B ．命题：“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2
－x ≤0”
C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积等于( ) 3cm
A ．243π+
B ．3
42π+ C ．263π+ D ．362
π+
6．如图给出的是计算11
1
135
2015
+
+++
的值的一个程序框图，则图中 执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（ ） A ．1,1009n n i =+>？ B ．2,1009n n i =+>？ C ．1,1008n n i =+>？ D ．2,1008n n i =+>？
7．设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条相交直线，则βα⊥的一个充分不必要条件是（ ）
A ．11,l m l n ⊥⊥
B ．12,m l m l ⊥⊥
C ．12,m l n l ⊥⊥
D ．1//,m n l n ⊥
8．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪
--⎨⎪-⎩
≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）
A ．[]1,2
B ．[]2,5
C ．[]2,6
D ．[]1,6 9．已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D
10．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )
11.已知抛物线y 2
=2px （p>0）与双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是
两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A ．
+2 B ．
+1 C ．
+1 D ．
+1
12．若对于任意的120x x a <<<，都有
2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．1
D ．12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上 13
．已知3cos ,
2322
πππαα⎛⎫⎛⎫
+=∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则tan α= . 14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有
偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 .
15. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________． 16. 函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
三、解答题：6大题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋π
6.
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求函数f (x )的值域．
18.（本大题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，
1=BC ,
E 、
F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥ABE C -1的体积. 19.（本小题满分12分）
已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法
从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001002003800，，，，L 进行编号． （Ⅰ）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号； （下面摘取了第7行 至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（Ⅱ）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩， 例如：表中数学成绩为良好的共有2018442++=人，若在该样本中，数学成绩优秀率
为30%， 求a b ，的值．
（Ⅲ）将108a b ≥，≥的a b ，表示成有序数对()a b ，，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩
为优秀的人数比及格的人数少”的数对()a b ，的概率． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，左焦点为)0,1(-F ，过点
)2,0(D 且斜率
为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）在y 轴上，求点E ，使⋅恒为定值。

21．（本小题满分12分） 设函数2)(--=ax e x f x
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，
1)(1
<'+-x f x x
k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.
22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系
中，曲线
：cos sin x r y r θ
θ=⎧⎨
=⎩
（为参数，为大于零的常数），以
坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线
的极坐标方程为：
.
（Ⅰ）若曲线与
有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）若
，过曲线上任意一点
作曲线
的切线，切于点，求的最
大值.
数 学（文科）参考答案 一、选择题: ACBCD;DBDDB ;DC 二、填空题: 13:
;14: 甲;15:14;16:
三、解答题。

17．【解析】 (1)f (x )＝2sin x
⎝⎛⎭
⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32.
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－
π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦
⎤－
π12＋k π，5π
12＋k π，k ∈Z.
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤
－π3，2π3，
sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤
－32，1，
f (x )∈⎣⎡⎦
⎤0，1＋
32. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦
⎤0，1＋
32. 18. 解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．
G
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
∴1BB AB ⊥．
又 AB BC ⊥．
∴AB ⊥平面11B BCC ．
∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．
（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．
E ，
F 分别是11A C ，BC 的中点，
∴FG AC ∥，且1
2
FG AC =． 11AC AC ∥，且11AC AC =， ∴1FG EC ∥，且1FG EC =．
∴四边形1FGEC 为平行四边形． ∴1C F EG ∥．
又 EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，
∴1C F ∥平面ABE ．
（3）6
3=
V 19. （Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785667199，，． （Ⅱ）由
790.3100
a
++=，得14a =， 因为792018456100a b ++++++++=，所以17b =． （Ⅲ）由题意，知31a b +=，且108a b ≥，≥．
故满足条件的()a b ，有：(1021)(1120)(1219)(1318)(1417)(1516)，，，，，，，，，，，， (1615)，，(1714)(1813)(1912)(2011)(2110)(229)(238)，
，，，，，，，，，，，，共14组． ……9分
其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：(1021)(1120)(1219)(1318)，，，，，，，，
(1417)，，(1516)，共6组.
∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为
63
147
=. 20. （1）由已知可得⎪⎩
⎪⎨⎧==1
22c a c ，解得1,222==b a 所求的椭圆方程为122
2=+y x (4)
分
（2）设过点D （0,2）且斜率为k 的直线l 的方程为y=kx+2,
由⎪⎩
⎪
⎨⎧+==+21222
kx y y x 消去y 整理得：068)21（22=+++kx x k
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=﹣
又y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2
x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=﹣
，
y 1+y 2=（kx 1+2）+（kx 2+2）=k （x 1+x 2）+4=
设存在点E （0，m ），则，
所以=
= ……………8分
要使得 （t 为常数），
只要
=t ，从而（2m 2﹣2﹣2t ）k 2+m 2﹣4m +10﹣t=0
即由（1）得 t=m 2
﹣1，代入（2）解得m=
，从而t=，
故存在定点 ，使 恒为定值 ．……………12分
21.（1）函数f （x ）=e x -ax-2的定义域是R ，f ′（x ）=e x -a ，
若a ≤0，则f ′（x ）=e x -a ≥0，所以函数f （x ）=e x -ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 若a ＞0，则当x ∈（-∞，lna ）时，f ′（x ）=e x -a ＜0； 当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）=e x -a ＞0；
所以，f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增
（2）由于a=1，
1)1)((1)(1
'
+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x x x +-+<∴>-∴>1
1
.01,0
令x e x x g x +-+=11)(，min )(x g k <∴，2
2'
)
1()2(1)1(1)(---=+---=x x x x x e x e e e xe x g
令01)(,2)('>-=--=x
x e x h x e x h ，)(x h ∴在),0(+∞单调递增，
且)(,0)2(,0)1(x h h h ∴><在),0(+∞上存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x 当),0(00x x ∈时，0)('<x g ，当),(00+∞∈x x 时，0)('>x g
000min 1
1
)()(0
x e x x g x g x +-+=
=∴， 由)3,2(1)(,20)(0000'
∈+=∴+=⇒=x x g x e
x g x ，又)(0x g k < 所以k 的最大值为
2
22．【解析】：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为
，
曲线的直角坐标方程为.
若
与
有公共点，则
，所以
.
（Ⅱ）设，由
得，
当且仅当时取最大值，故
的最大值为
.。