广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：平面向量含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编
平面向量
一、选择、填空题
1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知向量、满足｜｜=5,|｜=3, •=﹣3,则在的方向上的投影是 ﹣1 ．
2、（东莞市2017届高三上学期期末)设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1）,且()a b b -⊥，则x 的值是_________.
3、（佛山市2017届高三教学质量检测(一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ,且交其对角线AC 于K ，若AE AB 2=，AF AD 3=，)(R AK AC ∈=λλ，则=λ（ ）
A ．2
B ．2
5 C ．3 D ．5
4、（广州市2017届高三12月模拟）已知菱形ABCD 的边长为2，
60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=
（A ） 6
- (B ） 3- (C ） 3
(D) 6
5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知向量(1,1),(2,2),t t =+=+m n 若
()()+⊥-m n m n ,则t =（
)
（A ）0 (B ）3- （C ）3 （D ）1-
6、（江门市2017届高三12月调研）已知向量a ⃗、b ⃗⃗满足|a ⃗+b ⃗⃗|=2√3、|a ⃗−b ⃗⃗|=2，则a ⃗∙b
⃗⃗= A ．1 B ．2 C ．−1 D ．−2
7、（揭阳市2017届高三上学期期末)已知向量)1,1(-=a
，)2,(n b =
，若5
3
a b ⋅=
,
则n =
8、(茂名市2017届高三第一次综合测试）对于向量,,a b c 和实数， 下列命题中真命题是（ ）
A ．若0⋅=a b , 则0a =或0b =
B ．若λ0a =，则0λ=或=0a
C ．若2
2
=a b ,则=a b 或-a =b D ．若a b =a c ⋅⋅,则b =c
9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）若等腰梯形ABCD 中,AB
∥CD ，AB=3，BC=，∠ABC=45°,则•的值为 ．
10、（汕头市2017届高三上学期期末）已知向量),1(m a =，)12,1(+-=m b ，且b a //，则=m ．
11、(韶关市2017届高三1月调研)已知向量(),1a m =，()1,2b n =-，若//a b ，则2m n += 。

12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知AB AC ⊥,1AB t
=，AC t =，若
P
点是ABC ∆ 所在平面内一点，且AB AC AP AB
AC
=
+
，当t 变化时,PB PC ⋅
的最大值等于
（A)—2 （B ）0 （C ）2 （D ）4
13、（珠海市2017届高三上学期期末)在直角梯形 ABCD 中， AB ⊥
AD ，DC / /AB ，AD ＝DC ＝1,AB ＝2，E , F 分别为
AB , AC 的中点,以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 中点为P （如图
所示)．
若AP ED AF λμ=+，其中,λμ∈R ,则λμ+的值是 A ．
22
B ．32
4 C 2
D ．34
二、解答题
1、（揭阳市2017届高三上学期期末)已知圆Ｃ过点)0,4
3(A ，且与直线
4
3
:-
=x l 相切， (I ）求圆心C 的轨迹方程；
（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足
0=⋅ON OM ，已知1
3
OP OM
=，
1
3
OQ ON =,证明直线
PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最
小值．
参考答案
一、选择、填空题
1、【解答】由向量、满足||=5，|｜=3, •=﹣3 则在的方向上的投影是==﹣1，
故答案为：﹣1 2、4 3、D
4、解析：以菱形对角线交点O 为原点,建立直角坐标系，如下图: B （0,－3），D(0,3），C （1,0）
BD CD ⋅=（0，23）（－1，3）＝6，选
D 。

5、【解析】(23,3),(1,1),t +=+-=--m n m n ()(),(23)30,t +⊥-∴-+-=m n m n 解得3t =-。

6、B
7、3
1
8、【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；2
2
=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错;当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅，
但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B 。

9、－3 10、13
-
11、【解析】因为//a b ，所以21m n ,则21m n +=
12、B 13、B
二、解答题
1、解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C 的轨迹是以A 为焦点,l 为准线的抛物线，
由4
32
=p 得x px y
322
==，得圆心C 的轨迹方程为x y
32
=；
--—--———--—————--—--—-———3分
【法二:设圆半径为R ,圆心C (x ， y ）,则｜AC |=R =|)4
3(|--x ,
即
2
2)4
3
(y x +-=|)4
3(|--x ,化简得x y
32
=
即圆心C 的轨迹方程为x y
32
=-—-———-——--——--——-—
—-—-——-—---—-——-———---—--—-——-——--———--———--—-—3分】
（Ⅱ）证明:依题意知OM 的斜率k 存在,且0≠k ,设OM 的方程为kx y =， -—————---—--4分
∵OM ⊥ON ，则ON 的方程为x k
y 1
-=,
由⎩
⎨⎧==x y kx y 32得x x k 32
2=，得2
3k x M =，-—-—-—-—————-—--—-
—----—------——----——--—---———-————--6分
同理得23k x
N
=,
由已知得2
1
k x
P
=，2k x
N
=,∴)1,1(
2
k k
P ，),(2
k k Q -，--—————-—---—-——-————-——————8分
∴111
22
2
--=--
-=
k k k k k k k
PQ
,直线PQ 的方程为=+k y )(12
2
k x k k ---，
即0)1()1(2
=-+-y k
x k ，∴直线PQ 过定点（1，0）,—--——-—--
—————-———-----—-—--—---—10分 设B (1，0),则|1|4121||||21k k y y AB S
Q P APQ
+⨯⨯=-⋅=
∆4
1281|)||1(|81=⨯≥+=k k , ∴△APQ 面积的最小值为4
1．——--—-———-—---—-----—--——--————-—-———--——---—-----—-————-——-—--———-—-12分
【证法二:设()()1
1
2
2
,,,M x y N x y ，MN 的方程为x ty m =+
由2
3x ty m
y x
=+⎧⎨
=⎩ 得2
330y ty m --=,---—-—--——-——---—-—-—-----——----—
----—-—--——-——-—-----———-———--——————4分 则2
9120t
m ∆=+>，且12123,3y y t y y m +=-=--——-——-------—--—-——-——-
—--—-———---——--—-—-——-—--——5分
∵0OM ON ⋅=，∴12
120x x
y y +=-——-——-——--——-—---———-—-——
--—-—-—--————-——-—-——---——-——---——-—-——-————-6分 即221
212109
y
y y y +=，解得129y y =-,所以39m -=-,解得3m =—-—-—----—-----—-
—-——---—-— 7分
∴MN 的方程为3x ty =+，则直线MN 过定点E ()3,0—-—--—-——---——————--——-—--—-—-----——---——————8分 设PQ 与x 轴相交于点F
11
,33
OP OM OQ ON ==，//PQ MN ∴
3
1||||||||==OM OP OE OF ,可得1OF =，则()1,0F ， 故PQ 过定点()1,0F --—--—-———-----—---————---———--——---—-—---———--——------——-———-—-—-—----—-———--—-—————10分
121111122434
APQ
P Q S
AF y y y y ∴=
-=⋅⋅⋅-= ∴△APQ 面积的最小值为14.--—————-----——----—---—-—--—-——-——---12分】。