19-20版：微专题1 三角函数中的最值问题 （步步高）

微专题1 三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题．
一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题
例1 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦
⎤－32，3 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤－32，3. 故该函数的值域为⎣⎡⎦
⎤－32，3. 反思感悟 化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．也可以利用y ＝sin x 的图像找最值．
二、可化为y ＝f (sin x )型的最值问题
例2 函数y ＝2cos 2x ＋2sin x －1的最大值为( )
A.34 B ．1 C.32
D ．2 答案 C
解析 y ＝2cos 2x ＋2sin x －1＝2(1－sin 2x )＋2sin x －1＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1， 设t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，
所以原函数可以化为
y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32
， 所以当t ＝12时，函数y 取得最大值为32
.故选C. 反思感悟 可化为y ＝f (sin x )型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．
三、函数图像平移距离的最小值问题
例3 将函数f (x )＝sin 4x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的
图像向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.π16 B.π12 C.π6 D.π4
答案 D
解析 伸长后得y ＝sin 2x ，平移后得y ＝sin [2(x ＋φ)]＝sin(2x ＋2φ)，该函数为偶函数，则只
要2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )，取k ＝0，得φ的最小值为π4
.故选D. 反思感悟 函数图像平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图像平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．
四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值
例4 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦
⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．
答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π
解析 令t ＝x ＋π6
，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π6
，a ＋π6. ∴函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6的值域为⎣⎡⎦
⎤－12，1，作出y ＝sin t 的图像．
图中点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫7π6
，－12， 所以π2≤a ＋π6≤7π6，即π3
≤a ≤π. 反思感悟 由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图像，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线．
五、求ω的最值问题
例5 (1)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图像向左平移4π3
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )
A ．3 B.32 C.43 D.23
答案 B
解析 依题意知，4π3
＝k ·T ，k ∈N ＋，
∴4π3＝k ·2πω
，k ∈N ＋， ∴ω＝32
k ，k ∈N ＋， ∴ω的最小值为32
. (2)先将函数f (x )＝sin x 的图像上的各点向左平移π6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1ω
(其中ω∈N ＋且纵坐标不变)，得到函数g (x )的图像，若g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π4上单调递增，则ω的最
大值为________．
答案 9
解析 由题意易知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在区间⎣⎡⎦
⎤π6，π4上单调递增， 所以有⎩⎨⎧ π6ω＋π6≥2k π－π2，π4ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －4≤ω≤8k ＋43
，k ∈Z . 由12k －4≤8k ＋43可得k ≤43
，当k ＝1时，ω∈⎣⎡⎦⎤8，283， 所以正整数ω的最大值为9.
反思感悟 已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式求范围或最值．。