【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.3 含解析

3.3.3函数的最大(小)值与导数
课时过关·能力提升
基础巩固
,π]的最大值是()
1.函数y=x-sin x,x∈[π
2
−1
A.π-1
B.π
2
C.π
D.π+1
,π],∴y′≥0.
y'=1-cos x,x∈[π
2
,π]上是增函数.
∴y=x-sin x在[π
2
∴当x=π时,y max=π.
2.函数f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是()
A.f(1)与f(-1)
B.f(1)与f(2)
C.f(-1)与f(2)
D.f(2)与f(-1)
(x)=4-4x3,由f'(x)>0,得x<1,
由f'(x)<0,得x>1,所以f(x)=4x-x4在x=1时取极大值f(1)=3.
而f(-1)=-5,f(2)=-8,
所以f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值为f(1),最小值为f(2).
3.函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是()
A.1
B.5
C.12
D.-15
3x2-3,令y'=0,得3x2-3=0,
解得x=1或x=-1.
∵当-1<x<1时,y'<0;
当x>1或x<-1时,y'>0.
∴y极小值=y|x=1=1,y极大值=y|x=-1=5,
而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min=-15.
4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是()
A.-37
B.-29
C.-5
D.-11
f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,
解得x=0或x=2.
因为f(0)=m,f(2)=m-8,f(-2)=m-40,
所以f(x)max=m=3,f(x)min=f(-2)=m-40=3-40=-37.
5.设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是()
A.1
2B.√2
4
C.√3
2
D.√3+1
4
6.函数f(x)=x2−54
x
(x<0)的最小值是.
f'(x)=2x+54
x2
=0,得x=-3,当x<-3时,f'(x)<0,当-3<x<0时,f'(x)>0,故当x=-3时,f(x)取得极小值,也为最小值,f(x)min=27.
7.函数f(x)=x
e x
在[0,4]上的最小值是.
(x)=1-x
e x
,由f'(x)>0,得x<1.
∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.
∵f(0)=0,f(4)=4
e4
,
∴f(x)在[0,4]上的最小值为0.
8.已知函数f(x)=a
x2
+2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围
是.
f(x)=a
x2+2ln x,得f'(x)=2(x2-a)
x3
,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x)=0,得x=−√a(
舍去)或x=√a.
当0<x<√a时,f'(x)<0;当x>√a时,f'(x)>0,故x=√a是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f(√a)=ln a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.
+∞)
9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+k,对任意x∈[-4,4],f(x)≥0,求实数k的取值范围.
(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f'(x)=0,得x=3或x=-1.
∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
∴f(x)min=k-76.由k-76≥0,得k≥76.
∴k的取值范围是[76,+∞).
10.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1
ax
+b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3
2
x,求a,b的值.
f(x)的导数f'(x)=a−1
ax2=a2x2-1
ax2
.
当x>1
a 时,f'(x)>0,f(x)在(1
a
,+∞)内单调递增;
当0<x<1
a 时,f'(x)<0,f(x)在(0,1
a
)内单调递减.
故当x=1
a
时,f(x)取最小值为2+b.
(2)f'(x)=a−1
ax2.由题设知,f'(1)=a−1
a
=3
2
,
解得a=2或a=−1
2
(不合题意,舍去).
将a=2代入f(1)=a+1
a +b=3
2
,
解得b=-1.故a=2,b=-1.
能力提升
1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()
A.12,-15
B.-4,-15
C.12,-4
D.5,-15
(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),
令f'(x)=0,得x=-1或x=2.
因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
所以f(2)<f(3)<f(0).
所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.
2.已知a≤1-x
x +ln x对任意x∈[1
2
,2]恒成立,则a的最大值是()
A.0
B.1
C.2
D.3
f(x)=1-x
x +ln x,则f'(x)=-x+x-1
x2
+1
x
=x-1
x2
.令f'(x)=0,解得x=1.当x∈[1
2
,1)时,f'(x)<0,故函数
f(x)在[1
2
,1)上单调递减;当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在(1,2]内单调递增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.
3.若函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()
A.[0,1)
B.(0,1)
C.(-1,1)
D.(0,1
2
)
(x)=3x2-3a=3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)>0,即f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值.
若a>0,由f'(x)>0,得x>√a,则f(x)在(0,√a)内单调递减,在[√a,+∞)内单调递增.
若√a≥1,则f(x)在(0,1)内单调递减,f(x)无最小值.
故√a<1,0<a<1.此时,f(x)在(0,√a)内单调递减,在(√a,1)内单调递增,当x=√a时,f(x)取最小值.
4.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()
A.1
B.1
2 C.√5
2
D.√2
2
,
由图可以看出|MN|=y=t2-ln t(t>0).
y'=2t−1
t =2t2-1
t
=
2(t+√22)(t-√22)
t
.
当0<t<√2
2时,y'<0,可知y在(0,√2
2
)内单调递减;
当t>√2
2时,y'>0,可知y在(√2
2
,+∞)内单调递增.
故当t=√2
2
时,|MN|有最小值.
5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.
★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:
①函数f(x)在(0,3)内是增函数;
②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;
③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;
④∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.
正确的个数是.
7.已知函数f(x)=(x-k)e x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
f'(x)=(x-k+1)e x.
由f'(x)>0,得x>k-1.
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0<k-1<1,即1<k<2时,
由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.
∵f(1)=-3-c,即b-c=-3-c,∴b=-3.
又f'(x)=4ax3ln x+ax3+4bx3=x3(4a ln x+a+4b),
由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.
(2)由(1)知,f'(x)=48x3·ln x(x>0).
由f'(x)>0,得x>1.
∴f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
(3)由(2)知f(x)在x=1处取最小值-3-c,
要使f(x)≥-2c2恒成立,只需-3-c≥-2c2,
或c≤-1.
即2c2-c-3≥0,解得c≥3
2
,+∞).
故c的取值范围是(-∞,-1]∪[3
2。