(详细解析)2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

2001年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第I 卷（选择题 60分）
注意事项：
1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若0cos sin >θθ，则θ在
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第一、四象限
D ．第二、四象限 【答案】B
【解析】0cos sin >θθ，则sin θ与cos θ同号，B 正确．
2．过点(1,1)(1,1)A B --,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．()()4132
2
=++-y x B ．()()4132
2
=-++y x
C ．()()4112
2
=-+-y x D ．()()4112
2
=+++y x
【答案】C
【解析】显然过A B ,两点的直线与已知直线平行，过A B ,两点分别作,x y 轴的垂线，与已知直线相交于点(1,1)M ，则(1,1)M 为圆心，半径为2，C 正确．
3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B
【解析】由已知得12312313212,48,2a a a a a a a a a ++==+=，解得12a =．
4．若定义在区间(10)-，内的函数()2log (1)a f x x =+满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2
C ．1(,)2
+∞ D ．(0,)+∞
【答案】A
【解析】当(10)x ∈-，，则1(0,1)x +∈，由0)(>x f ，则021a <<，则1(0,)2
a ∈．
5．极坐标方程)4
sin(2π
θρ+
=的图形是
【答案】C
【解析】化为直角坐标方程为22
22((122
x y -+-=，只有C 正确．
6．函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是
A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y
B ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y π
C ．)20)(1arccos(≤≤-=x x y
D ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 【答案】A
【解析】∵0x π-≤≤，∴02y ≤≤，又0x π≤-≤，∴1cos cos()y x x -==-， ∴cos(1)x arc y -=-，即cos(1)x arc y =--，反函数为)20)(1arccos(≤≤--=x x y ．
7．若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 A ．
43 B ．32 C ．21 D ．4
1 【答案】C
【解析】易知椭圆的中心为(2,0)，且2,1a c ==，则1
2
c e a ==．
8．若0,sin cos ,sin cos 4
a b π
αβααββ<<<
+=+=，则
A ．b a <
B ．b a >
C ．1<ab
D ．2>ab 【答案】A
【解析】由题设sin(),sin()44a b π
παβ=+=+，又4442
ππππ
αβ<+<+<，所以b a <．
9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =
，则1AB 与B C 1所成的角的大小为
A ．60︒
B ．90︒
C ．105︒
D ．75︒
【答案】B
则
【解析】如图，取11A B 的中点D ，连接1,BD C D ，若12AB BB =，
1111,,AB BD AB C D BD C D D ⊥⊥=，∴1AB ⊥平面1C DB ，而1C B ⊂面
1C DB ，∴11AB C B ⊥，故答案为90︒．
10．设()()f x g x ,都是单调函数，有如下四个命题：
①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 【答案】C
【解析】若)(x g 单调递减，则()g x -单调递增，所以)()(x g x f -单调递增，②正确；同理③正确．
11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为123P P P ,,．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
A ．123P P P >>
B ．123P P P =>
C ．123P P P >=
D ．123P P P ==
【答案】D
【解析】本题考查平面图形在另一平面内的射影理解与有关计算，其斜面与房屋的底面所成的角都是α，又有cos S S α=底斜，故有123P P P ==．
【编者注】此公式《新课标》不作要求．
12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
A ．26
B ．24
C ．20
D ． 19 【答案】D
【解析】从A 到B 有四条线路，从上到下记为1234,,,l l l l ，
且
123412,12l l l l +≤+≤，在单位时间内可以通过的最大信息量分别为3,4,6,6，D 正确．
第II 卷（非选择题 90分）
注意事项：
1． 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】2π
【解析】由已知可得圆锥的的底面半径和母线长分别为1和2，侧面积为2rl ππ=．
14．双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点为12F F ,，点P 在双曲线上．若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ．
【答案】
5
16 【解析】方法一：设(,)P x y ，12(5,0)(5,0)F F -,，由12PF PF ⊥得
00
155
y y x x --⋅=-+-，即 2225x y +=，与双曲线方程联立得225625y =
，则16
5
y =． 方法二：设12,PF m PF n ==，由抛物线定义和题设2
22
126,100m n m n F
F -=+==，
可得32mn =，利用面积相等关系12121122P PF PF F F y ⋅=⋅得165
y =．
15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和．若{}n S 是等差数列，则=q ． 【答案】1
【解析】若{}n S 是等差数列，则1322S S S +=，11231223()2()a a a a a a a a +++=+⇒=，所以1q =．
16．圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 【答案】2(1)n n -
【解析】由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n 个等分点，∴共有n 条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做22n -个直角三角形，根据分步计数原理知共有(22)2(1)n n n n -=-．
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，
1
1,2
SA AB BC AD ====
． （Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；
（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
【解】本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能
力．满分12分．
（I ）直角梯形ABCD 的面积是
()110.53
1224
M BC AD AB +=
+⋅=
⨯=底面， ……2分 ∴四棱推ABCD S -的体积是1131
13344
V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面．……4分
（II ）延长,BA CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ……6分
∵//,2AD BC BC AD =，∴EA AB SA ==，∴SE SB ⊥． ∵SA ⊥面ABCD ，得面AEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC EB ⊥，∴BC ⊥面SEB ，
故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS SE ⊥，
所以BSC ∠是所求二面角的平面角． ……10分
222,1,SB SA AB BC BC SB ∴=+==⊥．
2
tan 2
BC BSC SB ∴∠=
=． 即所求二面角的正切值为2
2
． ……12分
18．（本小题满分12分）
已知复数3
1)1(i i z -=． （Ⅰ）求1arg z 及1z ；
（Ⅱ）当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值．
【解】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）3
1(1)22z i i i =-=-， ……3分
将1z 化为三角形式，得⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=4
7sin 47cos 221ππi z ，
∴4
7arg 1π
=
z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设cos sin z i αα=+，则
1(cos 2)(sin 2)z z i αα-=-++，
()()2
2
2
12sin 2cos ++-=-ααz z
942sin()4
π
α=+-
， ……9分
当sin()14
π
α+
=时，2
1
z z -取得最大值249+．
从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分
19．（本小题满分12分）
设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ,两点． 点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴． 证明直线AC 经过原点O ．
【解】本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为(
,0)2
p
F ，所以经过 点F 的直线AB 的方程可设为2
p my x +
=， 代人抛物线方程得2
2
20y pmy p --=，
若记1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，
所以2
12y y p =-．
因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-
上，所以点C 的坐标为2(,)2
p
y -， 故直线CO 的斜率为11
1222
x y y p p y k ==-=
即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． 证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，
过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则////AD FE BC ．……2分 连结AC ，与EF 相交手点N ，则
||||||||||
,||||||||||
EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === ……6分
根据抛物线的几何性质，||||,||||AF AD BF BC == ……8分
||||||||
||||||||
AD BF AF BC EN NF AB AB ⋅⋅∴=
==，
即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．…12分
20．（本小题满分12分）
已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1．
（Ⅰ）证明：i
n i i m i P m P n <； （Ⅱ）证明：m
n n m )1()1(+>+．
【解】本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：对于1i m <≤有(1)i
m p m m i =⋅
⋅-+，
⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…m
i m 1+-⋅， 同理 11
...i n i p n n n i n n n n
--+=⋅⋅⋅…， ……4分
由于m n <，对整数1,2,,1k i =-，有
m
k
m n k n ->
-， 所以 i i
m i i n m
p n p >，即i
m i i n i p n p m >． ……6分
（Ⅱ）证明：由二项式定理有()i
n
n
i i
n
C
m m ∑==
+01，
()i m
m
i i m
C
n n ∑==
+0
1， ……8分
由（Ⅰ）知i n i p m ＞(1)i i
m n p i m n <≤<，
而 !i p C i m i
m
=，!
i p C i n i
n =， ……10分
所以，(1)i i i i
n m m C n C i m n ><≤<．
因此，
∑∑==>m
i i
m i m
i i n
i
C n C
m 2
2
． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m i
n i ≤<>0．
∴
∑∑==>m
i i
m i n
i i n
i
C n C
m 0
． 即(1)(1)n
m
m n +>+． ……12分
21．（本小题满分12分）
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，
本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4
1
．
（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元．写出n n b a ,的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
【解】本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
（I ）第1年投入为800万元．第2年投入为1800(1)5
⨯-万元，……，第n 年投入为
11
800(1)5
n -⨯-万元．
所以，n 年的总收入为
111
111
800800(1)800(1)800(1)555n n k n k a --==+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯-∑
4
4000[1()]5
n =⨯-． ……3分
第1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 1400(1)4
⨯+万元，……，第n 年旅游业收人为11400(1)4
n -⨯+万元．
所以，n 年内的旅游业总收入为
111
111
400400(1)400(1)400(1)444n n k n k b --==+⨯++⋅⋅⋅+⨯+=⨯+∑
5
1600[()1]4
n =⨯-． ……6分
（Ⅱ））设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0n n b a ->，
即54
1600[()1]4000[1()]045n n ⨯--⨯-> 化简得45
5()2()7054n n ⨯+⨯->， ……9分
设4
()5
n x =，代入上式得25720x x -+>，
解此不等式，得2
,15
x x <>（舍去）．
即 42()55
n <，
由此得 5n ≥．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分
22．（本小题满分14分）
设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]2
1
,0[,21∈x x ，都有
1212()()()f x x f x f x +=⋅，且0)1(>=a f ．
（Ⅰ）求)21(f 及)4
1(f ； （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数； （Ⅲ）记)21
2(n
n f a n +
=，求)(ln lim n n a ∞→．
【解】本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算
能力和逻辑思维能力，满分14分．
（Ⅰ）因为对121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=+，所以
()()()0,[0,1]22x x
f x f f x =⋅≥∈．
∵211111
(1)()()()[()]22222f f f f f =+=⋅=，
2111111
()()()()[()]244444
f f f f f =+=⋅=． ……3分
0)1(>=a f ，
∴112411
(),()24
f a f a ==． ……6分
（Ⅱ）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(11)f x f x =+-，
即()(2),f x f x x R =-∈， ……8分 又由()f x 是偶函数知()(),f x f x x R -=∈，∴()(2),f x f x x R -=-∈， 将上式中x -以x 代换，得()(2),f x f x x R =+∈．
这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知()0,[0,1]f x x ≥∈．
∵111111
()()((1))()((1))2
22222f f n f n f f n n n n n n =⋅
=+-⋅=⋅-⋅ 111
()()()222f f f n n n ==⋅⋅⋅
1
[()]2n f n
=，
1
21
()2
f a =，
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享---- ∴121()2n f a n
=． ∵()f x 的一个周期是2， ∴11(2)()22f n f n n
+=，因此12n n a a =， ……12分 ∴1lim(ln )lim(ln )02n n n a a n
→∞→∞==． ……14分。