2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点

微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量
例题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2
＝1，点A ，B 分别是椭圆的右
顶点和上顶点，P 为椭圆位于第三象限内一点，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，求证：四边形AMNB 的面积为定值．
变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，点A ，B 分别是椭圆的右
顶点和上顶点，设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：AN·BM 为定值．
变式2如图，已知椭圆x 22＋y 2
＝1，过椭圆的上顶点A 作一条与两轴均不平行的直线l
交椭圆于另一点P ，设点P 关于x 轴的对称点为Q ，若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．
串讲1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2
＝1，过原点O 的两条射线l 1
和l 2分别与椭圆交于A 和B ，记得到的△AOB 的面积为S.
(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证：S ＝1
2|x 1y 2－x 2y 1|；
(2)设l 1与l 2的斜率之积为－1
4，求面积S 的值．
串讲2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2
3＝1，点A ，B 分别是椭圆的左、右
顶点，点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ，若△MOA 与△NOB 的面积之和为6，求点P 的坐标．
(2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，F 1，F 2分
别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63
.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连接PA 交椭圆于点C.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程．
(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.
(1)求椭圆C 及圆O 的方程；
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为26
7，求直线l 的方程．
答案：(1)x 24
＋y 2
＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①(2，1)，②y ＝－5x ＋3 2.
解析：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a ＞b ＞0)．
又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2
＝1，a 2－b 2＝3，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1， 因此，椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.2分
因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.
(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 02＋y 02＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0
y 0(x －x 0)＋y 0，
即y ＝－x 0y 0x ＋3
y 0
.5分
由⎩⎨⎧x 24
＋y 2
＝1，y ＝－x 0y 0
x ＋3
y 0
，
消去y ，得(4x
2
＋y 02)x 2－24x 0x ＋
36－4y 02＝0.(*)，因为直线l 与椭圆C 有
且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7分 因为x 0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1).9分
②因为三角形OAB 的面积为267.所以12AB·OP ＝267，从而AB ＝42
7.设A(x 1，y 1)，
B(x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 02（x 02－2）
2（4x 02＋y 02），11分
所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝
⎝⎛⎭⎫1＋x 02y 02·48y 02（x 02
－2）（4x 02＋y 02）2
.因为x 02＋y 02＝3， 所以
AB 2＝
16（x 02－2）（x 02＋1）2＝32
49
，即2x 04－45x 02＋100＝0，13分
解得x 02＝52(x 02＝20舍去)，则y 02＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫
102，22.15分 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.16分。