2020届高考数学理一轮复习空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积

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2.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ()
A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 答案 C 由几何体的结构可知,圆锥、正四棱锥两个几何体各自的正 视图和侧视图相同,且其不与俯视图相同;正方体的三个视图都相同,正 三棱台的三个视图都不相同.
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3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一 个正方形,则原来的图形是 ( )
该几何体的侧视图为选项B.故选B.
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方法指导 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察 方向,注意看到的部分用实线,看不到的部分用虚线. (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还 原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当 然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符 合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三 视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.
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方法技巧 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面分析,多观察 实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件 构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加 线、面等基本元素,然后依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举 出一个反例即可.
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2-1 (2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出 的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 答案 B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何 体是三棱柱,故选B.
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考点三 空间几何体的直观图
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文数
课标版
第一节 空间几何体及其三视图、直观图
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1.空间几何体的结构特征
多 (1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等 的多边形. 面 (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 体 (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是③ 相似 多边形
考点二 空间几何体的三视图
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典例2 (1)(2016贵州七校联考)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长
方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三
视图是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )
A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤
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(2)(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱 锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图 为 ( )
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答案 (1)B (2)B 解析 (1)正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右 上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边 长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此 侧视图是②;俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形,其对角线左上到 右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③,故选B. (2)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图 所示.
旋 (1)圆柱:可以由④ 矩形 绕其任一边所在直线旋转得到. 转 (2)圆锥:可以由直角三角形绕其⑤ 直角边 所在直线旋转得到. 体 (3)圆台:可以由直角梯形绕其⑥ 垂直于底边的腰 所在直线或等腰梯形绕其上、下
底边中点的连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球:可以由半圆或圆绕其⑦ 直径 所在直线旋转得到
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1.下列说法正确的是 ( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D 由棱柱和棱锥的概念可知,A、B、C均错误.由于棱台是由平 行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分,故棱台各 侧棱的延长线交于一点.
∵四边形AECD为矩形,AD=1,
∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC= 2 +1. 2
由此可还原原图形如图②.
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图②
在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'= 2 +1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C', 2
∴这块菜地的面积S= 1 (A'D'+B'C')·A'B'
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3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则如下: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直(原点为O),直观图中,相应的x'轴,y' 轴满足∠x'O'y'= 45°或135° (O'为原点),z'轴与x'轴和y'轴所在平面 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍 平行于坐标轴 ;平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ;平行于y轴的 线段在直观图中 长度为原来的一半 .
的连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球:可以由半圆或圆绕其⑦ 直径 所在直线旋转得到
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2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: (i)形成:空间几何体的三视图是由平行投影得到的,在这种投影之下,与 投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的⑧ 形状 和⑨ 大小 是完全相同的. (ii)名称:三视图包括⑩ 正视图 、 侧视图 、 俯视图 . (2)三视图的画法: (i)在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成 虚线 . (ii)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察到的几何体的正投影图.
(1)S直观图= 2 S原图形. 4
(2)S原图形=2 2 S直观图.
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3-1 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A' =6 cm,O'C'=2 cm,则原图形是 ( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
答案 C 将直观图还原得▱OABC,如图,
答案 A 由直观图的画法可知,落在y轴上的对角线的长度为2 2 .
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4.一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
答案 B 由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的 位置上,因此俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.
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5.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D',则剩下的几
2
= 12 ×11
2 2


×2=2+ 2 .
2
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方法指导 1.解决有关“斜二测画法”问题时,一般在原图形中建立直角坐标系,尽 量取原图形中互相垂直的线段所在直线或图形的对称轴为坐标轴,图形 的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的两个关系:
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1-1 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体 一定是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 答案 C 截面都是圆面,则原几何体为球体,选C.
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1-2 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧 棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是 ( ) A.“等腰四棱锥”的腰与底面所成的角都相等 B.“等腰四棱锥”的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.“等腰四棱锥”的底面四边形必存在外接圆 D.“等腰四棱锥”的各顶点必在同一球面上 答案 B B不正确,反例见下图:
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“等腰四棱锥S-ABCD”中,底面ABCD为矩形,AB=4,BC=2,O为S在平面 ABCD上的射影, OE⊥AB于E,OF⊥BC于F. ∵OE≠OF,∴θ1≠θ2,又易知θ1与θ2不互补,∴“等腰四棱锥S-ABCD”的 侧面SAB与底面所成的二面角和侧面SBC与底面所成的二面角既不相 等,也不互补.
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1.空间几何体的结构特征
多 (1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等 的多边形. 面 (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 体 (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是③ 相似 多边形
旋 (1)圆柱:可以由④ 矩形 绕其任一边所在直线旋转得到. 转 (2)圆锥:可以由直角三角形绕其⑤ 直角边 所在直线旋转得到. 体 (3)圆台:可以由直角梯形绕其⑥ 垂直于底边的腰 所在直线或等腰梯形绕其上、下底边中点
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④由直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆
锥.
其中真命题的序号是
.
答案 (1)D (2)①③
解析 (1)A错误,如图①,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥.
图①
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图②
图③
B错误,如图②③,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴
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2.三视图与直观图
三视图 画三视图的规则:长对正,高平齐,宽相等 空间几何体的直观图常用⑧ 斜二测 画法来画,规则如下: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直(原点为O),直观图中相应x'轴,y'轴满足∠x'O'y'=
直观图 ⑨ 45°(或135°) (O'为原点),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 平行于相应坐标轴 ,平行于x轴 和z轴的线段长度在直观图中保持原长度 不变 ,平行于y轴的线段长度在直观 图中长度为 原来的一半
何体是
,截去的几何体是
.
答案 五棱柱 三棱柱
考点突破
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考点一 空间几何体的结构特征 典例1 (1)下列结论正确的是 ( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体是圆锥 C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 (2)有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;
因为O'D'= 2 O'C'=2 2 cm,所以OD=2O'D'=4 2 cm, 因为C'D'=O'C'=2 cm,所以CD=2 cm, 所以OC= CD2 OD2 = 22 (4 2)2 =6(cm), 所以OA=O'A'=6 cm=OC,故原图形为菱形.
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理数
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第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积
不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥.
C错误,假设存在六棱锥满足所有棱长都相等,则底面多边形是正六边
形.由几何图形知,若以正六边形为棱锥底面,则侧棱长必然要大于底面
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边长. D正确. (2)命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的; 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误 的; ③正确,如图a,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,可 证明∠PDC,∠PDA,∠PAB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角 形; ④错误,当以斜边所在直线为旋转轴 时,其余两边旋转形成的曲面所围成 的几何体不是圆锥,如图b所示,它是 由两个同底圆锥构成的几何体.
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判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. (×) (2)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均相同. (×) (3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形的几何体一定是 棱台. (×) (4)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱. (×) (5)斜二测画法中,原图形中的平行或垂直关系在直观图中不变. (×) (6)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面. (√)
典例3 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观
图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地
的面积为
.
答案 2+ 2 2
解析 如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
图①
∵在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE= 2 . 2