弧长和扇形面积
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S B A1
46
★总结回顾
1. 弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式要会计算； 2. 利用割补的方法，阴影面积整理成基本图形
面积的和与差计算； 3. 本讲知识也可以和圆的基本定理，四边形的知
识以及其它章节的知识综合命题，要会灵活应用
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47
本讲就讲到这里，我们下次见
求截面上有水部分的面积.
A
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0
D
C
B
24
★应用提高（求阴影部分的面积）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，
求截面上有水部分的面积.
有水部分的面积 = S扇- S△
A
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0
D
B
C
25
★应用提高（求阴影部分的面积）
开展开，所得侧面展开图是（ D ）
O
O
O
O
O
P
P
M
P M
P M
P M
M
A．
B．
C．
D．
（图形的几何意义，最短路径）
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20
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21
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22
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23
★应用提高（求阴影部分的面积）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm.
★应用提高（求阴影部分的面积）
例9.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图 所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，
求阴影部分的面积．
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42
★知识拓展
例1.已知，圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm， 求：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角
（等弧的概念）
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11
★夯实三基
例4.如图，圆O1和圆O2内切于点A，圆O1经过圆O2
的圆心，半径O2B交圆O1于点C，则（ B )
A.弧AB和弧AC是等弧； B.弧AB和弧AC的长度相等； C.AB=AC； D.弧AB和弧AC的度数相等
B C
A O1 O2
（等弧的概念）
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求阴影部分的面积.
S阴 = 1õ
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40
★应用提高（求阴影部分的面积）
例9.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图 所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，
求阴影部分的面积．
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C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例3
（
）
B A
C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例3
（A ）
B A
C
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30
★应用提高（求阴影部分的面积）
例4.如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1， PA= 3 ，则阴影部分的面积S=____________．
P
Q
A
B O
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33
★应用提高（求阴影部分的面积）
例5.已知如图：P、Q分别是半径为1的半圆的三等分
点，AB是直径，则阴影部分的面积为（ ）
P
Q
A
B O
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34
★应用提高（求阴影部分的面积）
例6.如图，AB、CD为圆O的两条弦，如果 AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD的度数的 和为180°，那么图中阴影部分的总面积 为（ ）
A
C B
D
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35
★应用提高（求阴影部分的面积）
例6.如图，AB、CD为圆O的两条弦，如果 AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD的度数的 和为180°，那么图中阴影部分的总面积 为（ ）
A
C B
D
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36
★应用提高（求阴影部分的面积）
例7.如图,AB是⊙O的直径，CB为⊙O的切线，已 知AB=BC=4，则图中阴影部分的面积是( )
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A．4
B．2 4
C． 2
2
D． 2
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例7.如图,AB是⊙O的直径，CB为⊙O的切线，已 知AB=BC=4，则图中阴影部分的面积是( A )
A．4
B．2 4
C． 2
2
D． 2
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★应用提高（求阴影部分的面积）
（直接应用弧长公式，建立方程）
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8
★夯实三基
例3.如图，在半径为8cm的⊙O中，弦BC 垂直平分半径OA，垂足为D，过O作BC的 平行线交⊙O于E，求弧CE的长度.
（与垂径定理综合）
A
B
D
C
O
E
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9
★夯实三基
例3.如图，在半径为8cm的⊙O中，弦BC 垂直平分半径OA，垂足为D，过O作BC的 平行线交⊙O于E，求弧CE的长度.
12
★夯实三基
例5. 在圆O中，半径为6cm, 120°的 圆心角所对的扇形的面积为（ ）cm
直接应用扇形面积公式，代入求值
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13
★夯实三基
例5. 在圆O中，半径为6cm, 120°的 圆心角所对的扇形的面积为（ 12π ）cm
直接应用扇形面积公式，代入求值
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圆锥的形成过程
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17
★夯实三基
例7.已知一个直角三角形的两条直角边的长分为 3cm 和4 cm，以它的直角边所在直线为轴旋转一 周，求所得圆锥的侧面积；若以斜边所在直线为 轴旋转，求所得圆锥侧面积.
圆锥的形成过程
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18
★夯实三基
例8.（08年北京8）已知O为圆锥的顶点，M为圆 锥底面上的一点，点P在OM上，一只蜗牛从P点 出发绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短 路线的痕迹如右图所示，若沿OM将圆锥侧面剪 开展开，所得侧面展开图是（ ）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm.
求截面上有水部分的面积.
S阴= ( 0.12π – 0.09 3 )cm2
0
AD
B
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C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求
14
★夯实三基
例6.已知，圆锥的侧面展开图的面积是
30π cm2,母线长是10cm，则圆锥的底面圆的
半径为（
）
A、2cm B、6cm C、3cm D、4cm
（直接应用圆锥侧面积公式，建立方程）
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★夯实三基
例6.已知，圆锥的侧面展开图的面积是 30π cm2,母线长是10cm，则圆锥的底面圆的
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43
★知识拓展
例1.已知，圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm， 求：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角
n = 180 °
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44
★知识拓展
例2.如图，圆锥的底面半径为10cm，母线长为40cm, (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积； (2)若从A点出发绕曲面运动到SA中点B，
例8.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1， 以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中 点F为圆心，FB长为半径作BE弧.
求阴影部分的面积.
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★应用提高（求阴影部分的面积） 例8.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1， 以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中 点F为圆心，FB长为半径作BE弧.
截面上有水部分的面积.(结果保留 )
D
A
E
B
0
C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求
截面上有水部分的面积。(结果保留 )
有水部分的面积
D
= S扇+ S△
A
E
B
0
S阴= ( 0.24π + 0.09 3 )cm2
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4
★夯实三基 例1. 一个工程队要修建一段圆弧形的弯道， 它的半径R是90米，圆弧所对的圆心角是 60°，则这条弯道长为（ )米
（直接应用弧长公式，代入求值）
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5
★夯实三基 例1. 一个工程队要修建一段圆弧形的弯道， 它的半径R是90米，圆弧所对的圆心角是
O
P M
O P M
A．
O P M
B．
O P M
C．
O P M
D．
（图形的几何意义，最短路径）
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19
★夯实三基
例8.（08年北京8）已知O为圆锥的顶点，M为圆 锥底面上的一点，点P在OM上，一只蜗牛从P点 出发绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短 路线的痕迹如右图所示，若沿OM将圆锥侧面剪
求运动的最短路程是多少？
S B
A
A1
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★知识拓展
例2.如图，圆锥的底面半径为10cm，母线长为40cm, (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积；
(2)若从A点出发绕曲面运动到SA中点B， 90 °
A
S表 = 500 πcm 2 AB = 20 5 cm
CE=
4
3
π
（与垂径定理综合）
A
B
D
C
O
E
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10
★夯实三基
例4.如图，圆O1和圆O2内切于点A，圆O1经过圆O2
的圆心，半径O2B交圆O1于点C，则（
)
A.弧AB和弧AC是等弧； B.弧AB和弧AC的长度相等； C.AB=AC； D.弧AB和弧AC的度数相等
B C
A O1 O2
60°，则这条弯道长为（ 30π )米
（直接应用弧长公式，代入求值）
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6
★夯实三基
例2.在圆O中，120°的圆心角所对的弧长 为80π cm，那么圆O的半径为（ ）cm
（直接应用弧长公式，建立方程）
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7
★夯实三基
例2.在圆O中，120°的圆心角所对的弧长 为80π cm，那么圆O的半径为（ 120）cm
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2
★知识结构
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3
★重点提示：
圆心角是1°的弧长等于周长的
1 360
，
要注意公式中n的意义，
n表示1°的圆心角的倍数，它没有单位，
公式中的180也是不带单位的.
圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的
1 360
圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的 n 360
半径为（ C ）
A、2cm B、6cm C、3cm D、4cm
（直接应用圆锥侧面积公式，建立方程）
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16
★夯实三基
例7.已知一个直角三角形的两条直角边的长分为 3cm 和4 cm，以它的直角边所在直线为轴旋转一 周，求所得圆锥的侧面积；若以斜边所在直线为 轴旋转，求所得圆锥侧面积.
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例4.如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1， PA= 3 ，则阴影部分的面积S=____________．
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例5.已知如图：P、Q分别是半径为1的半圆的三等分
点，AB是直径，则阴影部分的面积为（ ）
第八讲 弧长和扇形面积
主讲人: 北京市日坛中学 张燕霞
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1
★课程说明：
“弧长和扇形面积”是在小学学过的圆周长和 圆面积的基础上推导出的公式. 应用这些公式，可 以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面 积. 由于圆锥的侧面展开图是扇形，我们还可以建立 一种空间想象的概念.
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★总结回顾
1. 弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式要会计算； 2. 利用割补的方法，阴影面积整理成基本图形
面积的和与差计算； 3. 本讲知识也可以和圆的基本定理，四边形的知
识以及其它章节的知识综合命题，要会灵活应用
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本讲就讲到这里，我们下次见
求截面上有水部分的面积.
A
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0
D
C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，
求截面上有水部分的面积.
有水部分的面积 = S扇- S△
A
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0
D
B
C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
开展开，所得侧面展开图是（ D ）
O
O
O
O
O
P
P
M
P M
P M
P M
M
A．
B．
C．
D．
（图形的几何意义，最短路径）
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm.
★应用提高（求阴影部分的面积）
例9.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图 所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，
求阴影部分的面积．
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42
★知识拓展
例1.已知，圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm， 求：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角
（等弧的概念）
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11
★夯实三基
例4.如图，圆O1和圆O2内切于点A，圆O1经过圆O2
的圆心，半径O2B交圆O1于点C，则（ B )
A.弧AB和弧AC是等弧； B.弧AB和弧AC的长度相等； C.AB=AC； D.弧AB和弧AC的度数相等
B C
A O1 O2
（等弧的概念）
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求阴影部分的面积.
S阴 = 1õ
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40
★应用提高（求阴影部分的面积）
例9.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图 所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，
求阴影部分的面积．
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C
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例3
（
）
B A
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29
★应用提高（求阴影部分的面积）
例3
（A ）
B A
C
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30
★应用提高（求阴影部分的面积）
例4.如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1， PA= 3 ，则阴影部分的面积S=____________．
P
Q
A
B O
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33
★应用提高（求阴影部分的面积）
例5.已知如图：P、Q分别是半径为1的半圆的三等分
点，AB是直径，则阴影部分的面积为（ ）
P
Q
A
B O
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34
★应用提高（求阴影部分的面积）
例6.如图，AB、CD为圆O的两条弦，如果 AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD的度数的 和为180°，那么图中阴影部分的总面积 为（ ）
A
C B
D
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35
★应用提高（求阴影部分的面积）
例6.如图，AB、CD为圆O的两条弦，如果 AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD的度数的 和为180°，那么图中阴影部分的总面积 为（ ）
A
C B
D
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36
★应用提高（求阴影部分的面积）
例7.如图,AB是⊙O的直径，CB为⊙O的切线，已 知AB=BC=4，则图中阴影部分的面积是( )
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A．4
B．2 4
C． 2
2
D． 2
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例7.如图,AB是⊙O的直径，CB为⊙O的切线，已 知AB=BC=4，则图中阴影部分的面积是( A )
A．4
B．2 4
C． 2
2
D． 2
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★应用提高（求阴影部分的面积）
（直接应用弧长公式，建立方程）
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8
★夯实三基
例3.如图，在半径为8cm的⊙O中，弦BC 垂直平分半径OA，垂足为D，过O作BC的 平行线交⊙O于E，求弧CE的长度.
（与垂径定理综合）
A
B
D
C
O
E
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9
★夯实三基
例3.如图，在半径为8cm的⊙O中，弦BC 垂直平分半径OA，垂足为D，过O作BC的 平行线交⊙O于E，求弧CE的长度.
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★夯实三基
例5. 在圆O中，半径为6cm, 120°的 圆心角所对的扇形的面积为（ ）cm
直接应用扇形面积公式，代入求值
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13
★夯实三基
例5. 在圆O中，半径为6cm, 120°的 圆心角所对的扇形的面积为（ 12π ）cm
直接应用扇形面积公式，代入求值
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圆锥的形成过程
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17
★夯实三基
例7.已知一个直角三角形的两条直角边的长分为 3cm 和4 cm，以它的直角边所在直线为轴旋转一 周，求所得圆锥的侧面积；若以斜边所在直线为 轴旋转，求所得圆锥侧面积.
圆锥的形成过程
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18
★夯实三基
例8.（08年北京8）已知O为圆锥的顶点，M为圆 锥底面上的一点，点P在OM上，一只蜗牛从P点 出发绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短 路线的痕迹如右图所示，若沿OM将圆锥侧面剪 开展开，所得侧面展开图是（ ）
例1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm.
求截面上有水部分的面积.
S阴= ( 0.12π – 0.09 3 )cm2
0
AD
B
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求
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★夯实三基
例6.已知，圆锥的侧面展开图的面积是
30π cm2,母线长是10cm，则圆锥的底面圆的
半径为（
）
A、2cm B、6cm C、3cm D、4cm
（直接应用圆锥侧面积公式，建立方程）
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★夯实三基
例6.已知，圆锥的侧面展开图的面积是 30π cm2,母线长是10cm，则圆锥的底面圆的
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★知识拓展
例1.已知，圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm， 求：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角
n = 180 °
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★知识拓展
例2.如图，圆锥的底面半径为10cm，母线长为40cm, (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积； (2)若从A点出发绕曲面运动到SA中点B，
例8.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1， 以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中 点F为圆心，FB长为半径作BE弧.
求阴影部分的面积.
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★应用提高（求阴影部分的面积） 例8.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1， 以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中 点F为圆心，FB长为半径作BE弧.
截面上有水部分的面积.(结果保留 )
D
A
E
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求
截面上有水部分的面积。(结果保留 )
有水部分的面积
D
= S扇+ S△
A
E
B
0
S阴= ( 0.24π + 0.09 3 )cm2
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★夯实三基 例1. 一个工程队要修建一段圆弧形的弯道， 它的半径R是90米，圆弧所对的圆心角是 60°，则这条弯道长为（ )米
（直接应用弧长公式，代入求值）
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★夯实三基 例1. 一个工程队要修建一段圆弧形的弯道， 它的半径R是90米，圆弧所对的圆心角是
O
P M
O P M
A．
O P M
B．
O P M
C．
O P M
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（图形的几何意义，最短路径）
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★夯实三基
例8.（08年北京8）已知O为圆锥的顶点，M为圆 锥底面上的一点，点P在OM上，一只蜗牛从P点 出发绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短 路线的痕迹如右图所示，若沿OM将圆锥侧面剪
求运动的最短路程是多少？
S B
A
A1
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★知识拓展
例2.如图，圆锥的底面半径为10cm，母线长为40cm, (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积；
(2)若从A点出发绕曲面运动到SA中点B， 90 °
A
S表 = 500 πcm 2 AB = 20 5 cm
CE=
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（与垂径定理综合）
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★夯实三基
例4.如图，圆O1和圆O2内切于点A，圆O1经过圆O2
的圆心，半径O2B交圆O1于点C，则（
)
A.弧AB和弧AC是等弧； B.弧AB和弧AC的长度相等； C.AB=AC； D.弧AB和弧AC的度数相等
B C
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60°，则这条弯道长为（ 30π )米
（直接应用弧长公式，代入求值）
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★夯实三基
例2.在圆O中，120°的圆心角所对的弧长 为80π cm，那么圆O的半径为（ ）cm
（直接应用弧长公式，建立方程）
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★夯实三基
例2.在圆O中，120°的圆心角所对的弧长 为80π cm，那么圆O的半径为（ 120）cm
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2
★知识结构
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★重点提示：
圆心角是1°的弧长等于周长的
1 360
，
要注意公式中n的意义，
n表示1°的圆心角的倍数，它没有单位，
公式中的180也是不带单位的.
圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的
1 360
圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的 n 360
半径为（ C ）
A、2cm B、6cm C、3cm D、4cm
（直接应用圆锥侧面积公式，建立方程）
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★夯实三基
例7.已知一个直角三角形的两条直角边的长分为 3cm 和4 cm，以它的直角边所在直线为轴旋转一 周，求所得圆锥的侧面积；若以斜边所在直线为 轴旋转，求所得圆锥侧面积.
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例4.如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1， PA= 3 ，则阴影部分的面积S=____________．
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★应用提高（求阴影部分的面积）
例5.已知如图：P、Q分别是半径为1的半圆的三等分
点，AB是直径，则阴影部分的面积为（ ）
第八讲 弧长和扇形面积
主讲人: 北京市日坛中学 张燕霞
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★课程说明：
“弧长和扇形面积”是在小学学过的圆周长和 圆面积的基础上推导出的公式. 应用这些公式，可 以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面 积. 由于圆锥的侧面展开图是扇形，我们还可以建立 一种空间想象的概念.