八年级初二数学 勾股定理测试试题含答案

一、选择题
1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 3．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ）
A ．42
B ．32
C ．42或32
D ．37或33 4．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 、BE 与相交于点G ，以下结论中正确的结论有（ ）
（1）△ABC 是等腰三角形；（2）BF ＝AC ；（3）BH ：BD ：BC ＝1：2：3；（4）GE 2+CE 2＝BG 2．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3-
B ．5-
C ．13-
D ．15-
7．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．以上都不对
8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A ．②
B ．①②
C ．①③
D ．②③ 9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）
A ．3尺
B ．4.2尺
C ．5尺
D ．4尺
二、填空题
11．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．
12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
14．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．
15．在△ABC 中，若2222
25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．
16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
17．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．
18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，
且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．
19．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．
20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD =
==求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．
23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；
（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．
24．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
25．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
28．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；
②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．
29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．
（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．
（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；
（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；
（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；
（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：
当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析：
第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O ∴22172AO AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
设OP x =
∴2227AP AO OP x =+=+
∵4AB AC ==
∴132
BO BC =
= ∴3BP BO OP x =+=+ ∴27=3x x ++
∴2x =-，不符合题意；
第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O
设OP x =
∴AP ∴3BP BO OP x =-=-
3x =-
∴2x =，点P 存在，即1BP =；
当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；
当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意；
∴符合题意的点P 共有：2个
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．
2．B
解析：B
【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得228AC BC = ，最后根据12
ABC AC BC ∆=
⋅求解即可. 【详解】 解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线，
∵CD=3，AB= 6，
∴CD=3，AB= 6，
∴CD= AD= DB ，
12∠∠∴=，34∠=∠ ，
∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，
∴1390∠+∠=︒，
∴ABC 是直角三角形，
∴22236AC BC AB +==，
又∵8AC BC +=，
∴22264AC AC BC BC +⋅+=，
∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=，
又∵12
ABC AC BC ∆=⋅， ∴128722ABC S ∆=
⨯=， 故选B.
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
3．C
解析：C
【分析】
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.
4．C
解析：C
【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】
解：如图，
将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，
2222'15129A D A B BD ∴--'==．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABE ＝∠CBE ，根据等角的余角相等求出∠A ＝∠BCA ，再根据等角对等边可得AB ＝BC ，从而得证；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A ＝∠DFB ，推出BD ＝DC ，根据AAS 证出
△BDF ≌△CDA 即可；
（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；
（4）由（2）得出BF ＝AC ，再由BF 平分∠DBC 和BE ⊥AC 通过ASA 证得△ABE ≌△CBE ，即得CE ＝AE ＝12
AC ，连接CG ，由H 是BC 边的中点和等腰直角三角形△DBC 得出BG ＝CG ，再由直角△CEG 得出CG 2＝CE 2+GE 2，从而得出CE ，GE ，BG 的关系．
【详解】
解：（1）∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°，
∴∠A ＝∠BCA ，
∴AB ＝BC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
故（1）正确；
（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°，
∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ，
∴BD ＝DC ，
在△BDF 和△CDA 中
==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF ＝AC ；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°，
∴∠DCB ＝45°，
∴BD ＝CD ，BC
BD ．
由点H 是BC 的中点，
∴DH ＝BH ＝CH ＝
12
BC ， ∴BD
，
∴BH ：BD ：BC ＝BH
：2BH ＝1
：2．
故（3）错误；
（4）由（2）知：BF ＝AC ，
∵BF 平分∠DBC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
又∵BE ⊥AC ，
∴∠AEB ＝∠CEB ，
在△ABE 与△CBE 中，
==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），
∴CE ＝AE ＝1
2AC ， ∴CE ＝12AC ＝12
BF ； 连接CG ．
∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，
∴DH 是BC 的中垂线， ∴BG ＝CG ，
在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，
∴CE 2+GE 2＝BG 2．
故（4）正确．
综上所述，正确的结论由3个．
故选C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出AB 的长，即为AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答.
【详解】
由勾股定理得，22125AB =+=∴5AC AB ==∵点A 表示的数是1
∴点C 表示的数是15-故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.
【详解】
解：由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，
90ADC ∴∠=︒
222AD CD AC ∴+=
13AC ∴=
13AB AC ∴==
故ABC 是等腰三角形.
故选C
【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.
8．D
解析：D
【分析】
根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形 ，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．
【详解】
由题意得：
①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2
221+2=5=
， 所以能构成直角三角形的是②③．
故选D ．
【点睛】
考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形． 9．C
解析：C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长.
【详解】
在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC ，BC=2BD.
∴∠ADB=90°
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，
根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．
解得： 4.2x =，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二、填空题
11．5cm
【分析】
连接AC ＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC ＇长，再比较大小即可得出结果．
【详解】
解：如图
展开成平面图，连接AC ＇，分三种情况讨论：
如图1，AB=4，BC ＇=1+2=3，
∴在Rt △ABC ＇中，由勾股定理得AC ＇2243+（cm ），
如图2，AC=4+2=6，CC ＇=1
∴在Rt △ACC ＇中，由勾股定理得AC ＇2261+37（cm ），
如图3，AD =2，DC ＇=1+4=5，
∴在Rt △ADC ＇中，由勾股定理得AC ＇2225+29（cm ）
∵2937，
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm ，
故答案为：5cm ．
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．
12．163
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==，
2243AE BE AB ∴-=．
在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=，
∴1443832
ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432
CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．
故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．
【详解】
解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；
（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP 22OP OC -2254-3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，
在直角△PDM 中，PM 22PD DM -3，
当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；
当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．
故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
14．15厘米
【分析】
要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米．
故答案为：15厘米
【点睛】
求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．
15．125
【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵2222
25,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122
ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：
1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125
， 故答案为：125
. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
16．
258
【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；
∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴FA=12AC=52
，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，
∴△AFD ∽△CBA ， ∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258
． 【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条
直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17．7
【解析】
【分析】
通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：
∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，
∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，
∴BE＝EN＝AN＝2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN＝2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝3
4 CN．
在直角△CDM中，CD＝1
2
BC＝3，DM＝
1
2
AD
33，
∴CM223
7 2
CD MD
+=
∴CN＝43
727 32
=．
∵BM+MN＝CN，
∴BM+MN的最小值为7．
故答案是：7
【点睛】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
18．8或10或12或25 3
【详解】
解：①如图1：
当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×6×4=12（m2）；
②如图2：
当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×4×4=8（m2）；
③如图3：
当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=25
6
，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
（m2）；
④如图4，
延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，
故CD=2m ， 此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12
×5×4=10（m 2）； 综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或
253m 2． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
19．5
【解析】
试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．
解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，
∴∠BAC =∠C =45°，
∵∠ADF =∠CDB ，
∴△ADF ≌△CDB ，
∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，
∵AE =3，BE =1，
∴AB =BC =4，
∴AF =4，
∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，
∵AC 是BF 的垂直平分线，
∴BP =PF ，
∴PB +PE =PF +PE =EF =5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
20．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,
∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，
∵90ACB ∠=︒，
∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，
解得3m =，
所以MB '的长为3.
【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
三、解答题
21．（12）150°；（3
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；
（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，
∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△ACE ，
∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE =
==， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2
， ∴∠AED ＝90°，
∵∠DEC ＝60°，
∴∠AEC ＝150°，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，
∵△CDE 是等边三角形，
∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，
∴AE ＝CP ，
在△AEG 与△CPG 中，
∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，
∴△AEG ≌△CPG ，
∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12
， ∴AG ()2
222113322AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．
【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=12
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再
判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝1
2
∠ADE＝
1
2
×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，
∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，
∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
23．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，
∴∠EAD ＝90°，
在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，
∴BD 2+AD 2＝ED 2，
∵ED ＝2CD ，
∴BD 2+AD 2＝2CD 2，
（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，
∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，
∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，
EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=，
解得x ＝1，
∴AB ＝2+4．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD ≌△BCF ；
②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD ≌△BCF
②证明：连接EF ，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，FG=
3
2
BF
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+
3
）2
∴DE 2= （EB+12AD ）2+（32
AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
25．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+= 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
26．（1131710，
112；（2）图见解析；7． 【分析】
（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，
S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣
32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，
112
． （2）△PMN 如图所示．
S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
27．（1）y ＝－2x ＋12，点C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D 坐标（－4，0）；（3）点P 的坐标（143
-
，643） 【分析】
（1）由已知的等式可求得m 、n 的值，于是可得直线AB 的函数解析式，把点C 的坐标代入可求得a 的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD ⊥AB 知1AB CD k k =-可设出直线CD 的解析式，再把点C 代入可得CD 的解析式，进一步可求D 点坐标；
（3）如图2，取点F （－2，8），易证明CE ⊥CF 且CE ＝CF ，于是得∠PEC ＝45°，进一步求出直线EF 的解析式，再与直线AB 联立求两直线的交点坐标，即为点P .
【详解】
解：（16m -n ﹣12）2＝0，
∴m ＝6，n ＝12，
∴A （6，0），B （0，12），
设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ， 则有1260b k b =⎧⎨+=⎩，解得212k b =-⎧⎨=⎩
，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC解析式为y＝3
2
x－2，直线CF解析式为y＝－
2
3
x＋
20
3
，
∵3
2
×（－
2
3
）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝13CF＝13
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°，
由
212
52
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=--
⎩
解得
14
3
64
3
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点P的坐标为（
1464
,
33
-）.
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121
k k=-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口. 28．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6；②s ab
=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．
（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明
△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．
（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】
解：（1）如图1中，连接BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，
∵EC=EC，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，。