2008年北京市通州区初三数学模拟检测试卷及答案

A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
通州区2008年初三统一练习（一）
数学试卷
只有一个是符合题目要求的.
1. -6的绝对值是
A.
6
1
B. -
6
1
C. 6
D. -6
2. 我国最长的河流——长江全长约为6300千米，用科学记数法可表示为
×103千米×104×102千米D. 63×102千米
3.在函数
2
-
x
1
中,自变量x的取值X围是
A. 2
x≠- B. 2
x>- C. 0
x≠ D. 2
x≠
4. 下面右边的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体
组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
5. 学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2，2，x，4，9．其中
C ´
D C
B
A
C
B '
D
A ´
A
x 是这组数中看不清的数字，但又知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．2和2
B ．4和2
C ．2和3
D ．3和2
数学试卷第1页(共10页)
6.小明根据下表，作了三个推测：
x 1
10
100
1000
10000
x
16+
7
①x 16+
(x >0)的值随着x 的增大越来越小；②x 1
6+(x >0)的值有可能等于2； ③x
1
6+
(x >0)的值随着x 的增大越来越接近于2.其中，推测正确的有 Ａ．3个Ｂ．2个Ｃ．1个Ｄ．0个
7. 如图, AB 是⊙O 的直径, CD 是弦, 且CD ⊥AB , 若BC =8,
AC =6, 则sin ∠ABD 的值为 A.
43 B. 34 C. 45 D. 35
8. 如图，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角 线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移，得 到△C B A '''ˊ
，若两个三角形重叠部分的面积是
1cm 2，则它移动的距离A A 'ˊ
等于
A.cm
B.1cm
C.
D.2cm
第Ⅱ卷 (非选择题 88分)
注意事项 1.第Ⅱ卷包括七道大题,考生一律用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔在试卷上按题意和要求作答。

2.字迹要工整，卷面要整洁。

题 号 二
三
四
五
六
七
八
总 分 分 数
阅卷人 复查人
得分 阅卷人 二、填空题(共4个小题 , 每小题4分,共16分)
9． 点A （-1，y 1），B （-3，y 2）在双曲线x
23
-
y =上， 则y 1与y 2的大小关系是____________. 10. 有两X 背面相同的纸牌，其正面分别是三角形和圆，将这两X 纸牌背面朝上随机摸出一X ，放回后，再随机摸出一X ．两次摸出都是圆的概率是__________. 11． 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比
是1:2，若AB =2cm ，则A B ''=cm . 12．观察
11111111113112233412233444
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 依照此法计算
111
11122334
89910
++++
+=⨯⨯⨯⨯⨯． 数学试卷第2页(共10页) 得分 阅卷人 三、(共3个小题,其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分)
13.分解因式：b a ab a 2
2
3
69-+. 14. 计算:0
1
314sin 45tan 45272-⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解: 解:
`
15.解方程：21
22=++x
x x . 解:
F A
D
C E B 得分 阅卷人 四、(共4个小题, 每小题5分，共20分)
16. 已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE =AD ，DF ⊥
AE ，垂足为F ． 请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
17．某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润率提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=⨯利润
进价
）
数学试卷第3页(共10页)
18. 如图，在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度．在阳光下，测得身高的小李(BC )的影长(BA )为，同时测得教学楼DE 的影长DF 为． （1）请你在图7中画出此时教学楼DE 在阳光下的投影DF ； （2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE 的高度（精确到）．
19. 如图，点A B C D ，，，在⊙O 上，AB AC =，AD 与BC 相交于点E ，
1
2
AE ED =，延长DB 到点F ，使1
2
FB BD =
，连结AF ． （1）证明BDE FDA △∽△；
（2）试判断直线AF 与⊙O 的位置关系，并给出证明．
数学试卷第4页(共10页) 得分 阅卷人 五、(共3个小题,每小题5分，共15分)
a
b b a
图1
a
b c
c
A E D
C B b a
图2
20.
（1）如图1是一个重要公式的几何解释． 请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，
90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线．
试证明90ACE ∠=；
（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理.
数学试卷第5页(共10页)
21. 某中学为了培养学生的社会实践能力，要求学生参加一项社会调查活动.为此,小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭的月收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（收入取整数，单位：元）.
分组频数频率
1000～1200 3
1200～1400 12
1400～1600 18
1600～1800
1800～2000 5
2000～2200 2
合计50
请你根据以上提供的信息，解答下列问题:
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）这50个家庭收入的中位数落在小组；
（3）请你估算该小区600个家庭中收入较低（不足1400元）的家庭个数大约有多少？
x
数学试卷第6页(共10页)
22.如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点
P 自A 点起，由A B C D →→→匀速运动，直线MP 扫
过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请解答下列问题： （1）当1x =时，求y 的值；
（2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式； ①04x ≤≤；②48x <≤；③812x <≤；
（3）在给出的直角坐标系中，画出（2）中函数的图象．
数学试卷第7页(共10页)
六、(本题满分7分)
民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是医疗费用报销的标准：
按30%报销、15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销；题中涉及到的医疗费均指允许报销的医疗费）．
（1）某农民在2006年门诊看病自己共报销医疗费180元，则他在这一年中门诊医疗费用共元；
（2）设某农民一年中住院的实际医疗费用为x 元（500120000x ≤≤），按标准报销的金额为y 元，试求出y 与x 的函数关系式；
（3）若某农民一年内本人自负住院医疗费17000元（自负医疗费＝实际医疗费 按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费用共多少元？
数学试卷第8页(共10页) 得分 阅卷人 七、(本题满分8分)
24.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，
抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线2l 的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P
运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设2l 上的点M 、N 分别与1l 上的点N M ''、始终关于x 轴对称.是否存在点M 、N （M 在N 的左侧），使四边形MNN ´M ´是正方形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
数学试卷第9页(共10页)
得分阅卷人
八、(本题满分8分)
25.如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AD=a,AB=b,BE=x．
(Ⅰ)求证：AF=EC；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC
的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C,连结BE´.
（1）当直线EE′经过原矩形的顶点A时，求出所对应的x︰a的值；
（2）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，请你说明当a与b满足什么关系时，BE′⊥EF.
数学试卷第10页(共10页)
通州区2008年初三统一练习（一）
数学试题答案及评分参考
第 Ⅰ 卷 （选择题 32分）
一、（共8个小题,每小题4分,共32分）
第 Ⅱ 卷 （非选择题 88分）
二、填空题（共4个小题, 每小题4分, 共16分）
三、 (共3个小题, 其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分) 13.分解因式: b a ab a 2
2
3
69-+.
解:b a ab a 2
2
3
69-+
)69(22ab b a a -+=………………………………………………………… 2分 2)3(b a a -=. ……………………………………………………………… 4分
14. 计算:01
314sin 45tan 4572-⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：原式14122
=-⨯⨯+4分 122221=+-=………………………………………………… 5分 15. 解方程：21
22=++x
x x .
解: 去分母, 方程两边同时乘以)2(+x x , 得
)2(2222+=++x x x x . ……………………………………………2分
整理,得23=x .…………………………………………………………3分
∴32
=
x . …………………………………………………………… 4分 经检验,3
2
=x 是原方程的解.
F A
D
C E B 所以原方程的解是.3
2
=
x …………………………………………………5分
四、（共4个小题,每小题5分,共20分）
16. 已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE =AD ，DF AE ，
垂足为F .请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明． 解：结论是：DF = AB ． ……………………………………………………1分
证明如下：
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B =90 ， AD ∥BC .
∴∠DAF =∠AEB ．………………………2分
中，和在ABE DFA ∆∆⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=︒=∠,,,
90AE AD AEB DAF B AFD
∴△DF A ≌△ABE ． …………………………………………………4分
∴DF = AB ． ……………………………………………………………5分
17.某超级市场销售一种商品，每件售价96元．后来，商品的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种商品的利润率提高了5%．这种商品原来每件进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=
⨯利润
进价
） 解：设这种商品原来每个的进价为x 元，…………………………………………1分 根据题意，得
%.100%)41(%)41(96%5%10096⨯---=+⨯-x
x
x x …………………2分 解这个方程，得80=x ． …………………………………………………3分 经检验，80=x 是原方程的根． …………………………………………………4分 答：这种商品原来每件的进价是80元． …………………………………………5分 18.如图，在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度．在阳光下，测得身高
的小李(BC )的影长(BA )为，同时测得教学楼DE 的影长DF 为． （1）请在示意图中画出此时教学楼DE 在阳光下的投影DF ；
（2）请根据已测得的数据，求出教学楼DE 的高度（精确到）．
解：（1）在图中，连结AC ，过E 点作EF AC ∥交AD 于F ，
则DF 为所求． ……………………………2分
（2）由平行投影知，ABC FDE △∽△，则 ……3分
BC DE
BA DF
=
， ………………………4分 2.181
.11
.1265.1≈⨯=⋅=
∴BA DF BC DE （m ）
， 即教学楼的高度约为． ……………………………………………5分
19.如图，点A B C D ，，，在⊙O 上，AB AC =，AD 与BC 相交于点E ，1
2
AE ED =
，延长DB 到点F ，使1
2
FB BD =
，连结AF ． （1）证明BDE FDA △∽△；
（2）试判断直线AF 与⊙O 的位置关系，并给出证明．
解：（1）在BDE △和FDA △中，
12FB BD =
∵，12AE ED =，2
3
BD ED FD AD ==∴． ……………………1分 又BDE FDA ∠=∠∵， BDE FDA ∴△∽△． …………………………2分 （2）直线AF 与⊙O 相切．
证明：连结OA OB OC ，，,OA 交BC 于G ．……3分
,,CO BO AC AB == OA 交BC 于G
A 点∴、O 在BC 的垂直平分线上.
A C
D
E
O
B
F G
a b b a
图1
a
b c
c
A E D
C B b
a
图2
AO BC ⊥∴．
………………………………………………………4分 由BDE FDA △∽△，得FDA BDE ∠=∠，BE FA ∴∥．
.90 =∠=∠∴BGO FAO ∴直线FA 与⊙O 相切．…………… 5分
五、(共3个小题,每小题5分,共15分)
20．（1）如图1是一个重要公式的几何解释．
请你写出这个公式：______________. （2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，
90B D ∠=∠=，且B C D ，，
三点共线．试证明90ACE ∠=；
（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理
解：（1）2
2
2
()2a b a ab b +=++． ……………………………………………1分 （2）ABC CDE ∵△≌△，BAC DCE ∠=∠∴．
90ACB DCE ACB BAC ∠+∠=∠+∠=∴°．……………………………2分
由于B C D ，，共线，所以180()ACE ACB DCE ∠=-∠+∠°
1809090=-=°°°． ……………………………………………………3分 （3）=
ABDE S 梯形 2111()()()()222
AB ED BD a b a b a b +=++=+·； 又=ABDE S 梯形 ACE CDE ABC S S S ∆∆∆++=
2111
222
ab ab c ++． ∴
221111
()2222
a b ab ab c +=++． …………………………………………4分 即2
2
2
a b c +=． ……………………………………………………5分 21.
某中学为了培养学生的社会实践能力，今年“五一”期间要求学生参加一项社会调查活动.为此,小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭的月收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（收入取整数，单位：元）.
x
请你根据以上提供的信息，解答下列问题: （1）补全频数分布表和频数分布直方图； （2）这50个家庭收入的中位数落在小组；
（3）请你估算该小区600个家庭中收入较低(不足1400元)的家庭个数大约有多少？
解：（1）5, 0.240;…………………………………………3分 评分说明：补全直方图1分（频数为5）.
（2）第三小组 1400～1600 ………………………………………………4分 （3）(0.060＋0.240)×600=180 . ………………………………………………5分 22．如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，
动点P 自A 点起，由A B C D →→→匀
速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积 为y ，点P 运动的路程为x ，请解答下列问题： （1）当1x =时，求y 的值；
（2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式； ①04x ≤≤；②48x <≤；③812x <≤； （3）在给出的直角坐标系中，画出（2）中函数的图象． 解:（1）由题意，1x =时，1AP =，∴AP AM y ⋅=211
2112
=⨯⨯=．…1分 （2）①当04x ≤≤时，点P 由A B →在AB 线段上运动，AP x =，
直线MP 扫过正方形所形成的图形为Rt MAP △，其面积为：
x x AP AM y =⨯⨯=⋅=
22
1
211； ……………………………………… 2分 ②当48x <≤时，点P 由B C →在BC 线段上运动，4BP x =-，直线MP 扫过正方形所形成的图形为梯形MABP ，其面积为：
424)]4(2[2
1
)(212-=⨯-+=⋅+=
x x AB BP AM y ；………………3分 ③当812x <≤时，点P 由C D →在CD 线段上运动，12DP x =-．直线MP 扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP ，其面积为：
3Rt MPD ABCD y S S =-△正方形.2
1
42DP MD ⋅-
≈ 1
162(12)2
x =-⨯⨯-4x =+． ………………………………………4分
（3）
……………………………………………………………5分
六、（本题满分7分）
23.从有关方面获悉，在我国农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农
民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是某地医疗费用报销的标准：
（说明：住院医疗费用的报销分段计算．如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销、15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销；题中涉及到的医疗费均指允许报销的医疗费）．
（1）某农民在2007年门诊看病自己共报销医疗费180元，则他在这一年中门诊医疗费
x
用共元；
（2）设某农民一年中住院的实际医疗费用为x 元（500120000x ≤≤），按标准报销的
金额为y 元，试求出y 与x 的函数关系式；
（3）若某农民一年内本人自负住院医疗费17500元（自负医疗费＝实际医疗费-按标准
报销的金额），则该农民当年实际医疗费用共多少元？
解：（1）600元 ……………………………………………………………2分 （2）500030%(5000)40%y x =⨯+-⨯，
化简得：2
5005
y x =
-． ……………………………………………………4分 （3）设该农民当年实际医疗费用共x 元，
由题意知，20000x >
∴.17500%50)20000(%4015000%305000-=⨯-+⨯+⨯x x 解得.30000=x
答：该农民当年实际医疗费用共30000元． ………………………………………7分 七、（本题满分8分）
24．如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l
与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当
点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）设2l 上的点M 、N （M 在N 的左侧）分加与1l 上的点M '、N '始终关于x 轴对
称，是否存在点M 、N （M 在N 的左边），使四边形M N MN ''为正方形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，
． 设2l 的函数关系式为2
(3)4y a x =--． ……………………………………1分 又
点(1
0)A ，在抛物线2
(3)4y a x =--上， 2(13)40a ∴--=，解得1a =．
∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--
（或2
65y x x =-+）． ………………2分
（2）P 与P '始终关于x 轴对称，
PP '∴与y 轴平行．
设点P 横坐标为m ，则其纵坐标为2
65m m -+，
4OD =，22|65|4m m ∴-+=，
即2
652m m -+=±．
当2
652m m -+=时，解得36m =±． 当2
652m m -+=-时，解得32m =±．
∴当点P 运动到(362)-，
或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时，P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．……… 6分
（3）存在满足条件的点M 、N ．由抛物线的对称性可知，点M 、N 关于直线3=x 对称. 设),(00y x M ，则正方形M N MN ''的边长为.20y
.300y x -=∴
点M 在2l 上，4)33(200---=∴y y
解得.2
1710±=
y .217
72175300--=
-=∴或y x ∴点M 的坐标为)217
1,2175(+-或 ).2
17
1,2177(
-- 八、（本题满分8分）
25．如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于
点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AD=a,AB=b,BE=x ． (Ⅰ)求证：AF=EC ；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接
在梯形ECDF 的下方，使底边F A 与E C 重合，腰AB 落在边DC 的延长线上，记作B C '，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C ，连结E B '.
3
=x
（1）当直线E E '经过原矩形的顶点D 时，求出对应的a x :
的值；
（2）当直线E E '经过原矩形的顶点A 时，请你说明当a 与b 满足什么关系时，.EF E B ⊥'
(Ⅰ)证明：∵AD=a ，AB=b ，BE=x ，S 梯形ABEF =S 梯形CDFE ．
∴21b (x +AF )= 2
1b (EC +a -AF )， ∴2AF =EC +(a -x )．
又∵EC ＝a-x ，
∴2AF =2EC ，即AF=EC ；……………………………………………………2分 (Ⅱ)解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一），………………3分
∵EC ∥E ′B ′，
∴B E EC ''=B D DC '
. 由EC ＝a -x ，E ′B ′=EB =x ，
DB ′=DC +CB ′=2b ，
得b
b x x a 2=-， ∴x ︰a =32
； …………………………………………………………5分
∴BE ′∥EF ．……………………………………………………………5分
(2)如图（二），当直线EE ′ 经过原矩形的顶点A 时,设直线EF 与BE′交于点G .
过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则四边形MC E B ''是矩形.
.,x BE B E MC AB b C B M E ==''==='='∴
在ABE Δ和ME E 'Δ中，
⎪⎩⎪⎨⎧'=∠=∠∠=∠M E AB ,43,21ABE Δ∴≌.ΔME E '
.x BE EM ==∴
BC BE 31=∴， 即.3
1a x =……………………………………7分 1234
∴EM =31BC =a 3
1． 若BE′与EF 垂直，则有∠GBE +∠BEG =90°，
又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠2， ∠2+∠ME ′E =90°，∴∠GBE =∠ME ′E . 在R t △BME ′中，tan ∠E ′BM = tan ∠GBE =BM M E '=a b 3
2. 在R t △EME ′中，tan ∠ME ′E =M E EM '=b
a 31， ∴.313
2b a a b =又∵a ＞0，b ＞0， .3
2=∴
a b ……………………………………………………………………………8分
注：与本答案不同的正确解法，请参照给分。