2020版江苏高考数学一轮复习学案：第60课《数列的概念及简单表示》(含解析)

第60课 数列的概念及简单表示
1. 数列的概念及数列与函数的关系(A 级要求).
2. 数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A 级要求).
1. 阅读：必修5第31～34页.
2. 解悟：①读懂数列的定义，并与函数的定义作比较；②写出数列的通项公式，就是寻找a n 与n 的对应关系a n ＝f(n)；③重解第33页例3，体会方法.
3. 践习：在教材空白处，完成第34页习题第7、8、9题.
基础诊断
1. 数列1，2，7，10，13，…中的第26项为 219 .
解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.
2. 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列{a n }的前4项，则这个数列的
一个通项公式为 a n ＝3n －
1 .
(1) (2) (3) (4)
解析：由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，…，猜想第n 个图
的着色三角形的个数为3n －1，所以这个数列的通项公式为a n ＝3n －
1.
3. 已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1
(n ≥2)，则a 16＝ 1
2 .
解析：由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝1
2，所以此数列是以3为周
期的周期数列，所以a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝1
2
.
4. 已知数列{a n }的前n 项和
S n ＝n 2＋1，则
a n ＝ ⎩
⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，2n －1， n ≥2 .
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，
故a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，
2n －1， n ≥2.
范例导航
考向❶ 数列的通项公式
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1) －1，7，－13，19，…；
解析：(1) 数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).
(2) 1，0，13，0，15，0，1
7
，…；
解析：(2) 分母依次为1，2，3，4，5，6，7，…，分子依次为1，0，1，0，1，0，1，…，把数列改写成11，02，13，04，15，06，1
7，…，因此数列的一个通项公式为a n ＝1＋（－1）n －
12n
.
(3) 0.9，0.99，0.999，….
解析：(3) 数列可改写成1－110，1－1102，1－1
103，…，可得该数列的一个通项公式为
a n ＝1－1
10
n .
数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，的一个通项公式是 a n ＝(－1)n
·2n －32n .
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，从第2项起，每一项的绝对值的分子分别比分母小3，因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－3
24，…，
故
a n ＝(－1)n ·
2n －3
2n
. 【注】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略：
(1) 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2) 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，
或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋
1，k ∈N *进行处理.
考向❷ 由a n 与S n 的关系求通项公式
例2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{a n }的通项公式.
(1) a 1＝1，S n ＝
n ＋2
3a n
； (2) S n ＝3n ＋b ； (3) S n ＝23a n ＋1
3
.
解析：(1) 由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝
n ＋23a n －n ＋13·a n －1，整理得a n ＝n ＋1
n －1a n －1
， 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n
n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.
将上面n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）
2，
显然，当n ＝1时也满足上式. 综上可知，数列{a n }的通项公式a n ＝
n （n ＋1）
2
.
(2) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b)－(3n －1＋b)＝2×3n －
1.
当b ＝－1时，a 1＝2，满足上式；当b ≠－1时，a 1≠2，不满足上式，
所以当b ＝－1时，a n ＝2×3n －
1；
当b ≠－1时，a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧3＋b ， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. (3) 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －2
3a n －1，
所以当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a n
a n －1＝－2.
又当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋1
3，即a 1＝1，
所以a n ＝(－2)n －
1.
已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋2
2n －1(n ∈N *).
(1) 求a 3的值；
(2) 求数列{a n }的前n 项和T n .
解析：(1) 由题意得3a 3＝(a 1＋2a 2＋3a 3)－(a 1＋2a 2)＝4－3＋223－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2＋222－1＝3
4，
所以a 3＝1
4
.
(2) 由题设知当n ≥2时，na n ＝(a 1＋2a 2＋…＋na n )－[a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1]＝4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n 2
n －1， 所以a n ＝⎝⎛⎭
⎫12n －1
.
当n ＝1时，a 1＝4－1＋2
20＝1满足上式，
所以a n ＝⎝⎛⎭
⎫
12n －1
，
所以数列{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，故T n ＝
1－⎝⎛⎭⎫
12n
1－
1
2
＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1
.
【注】 已知S n ，求a n 的步骤：
①当n ＝1时，a 1＝S 1；
②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1； ③对n ＝1时的情况进行检验，若满足n ≥2的通项公式则可以合并；若不满足则写成分段函数形式.
这种转化是解决这种题型的基本思路，要重点掌握. 考向❸ 数列的性质
例3已知数列{a n}的通项公式a n＝(n＋1)·⎝⎛⎭⎫
10
11
n
(n∈N*)，则数列{a n}有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由.
解析：因为a n＋1－a n＝⎝⎛⎭⎫
10
11
n
·
9－n
11，
所以当n<9时，a n＋1>a n；当n>9时，a n＋1<a n，
则当n<9时，数列{a n}是递增数列；当n>9时，数列{a n}是递减数列；
当n＝9时，a n＋1＝a n，所以当n＝9或10时，数列取得最大项a9＝a10＝
1010
119.
设a n＝－3n2＋15n－18，则数列{a n}中的最大项的值是0.
解析：因为a n＝－3⎝⎛⎭⎫
n－
5
2
2
＋
3
4，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，a n最大，最大值为0.
【注】(1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法：
①用作差比较法，根据a n＋1－a n的符号判断数列{a n}是递增数列、递减数列还是常数列；
②用作商比较法，根据
a n＋1
a n(a n＞0或a n＜0)与1的大小关系进行判断；
③结合相应函数的图象直观判断.
(2) 解决数列周期性问题的方法：
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
(3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
自测反馈
1. 数列0.8，0.88，0.888，…，的一个通项公式是a n＝
8
9⎝
⎛
⎭
⎫
1－
1
10n.
解析：数列变为
8
9×(1－
1
10)，
8
9×⎝
⎛
⎭
⎫
1－
1
102，
8
9×⎝
⎛
⎭
⎫
1－
1
103，…，故a n＝
8
9⎝
⎛
⎭
⎫
1－
1
10n.
2. 已知数列{a n}的前n项和S n＝2n－3，则数列{a n}的通项公式为a n＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－1， n＝1，
2n－1， n≥2.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－1，
所以a n＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－1， n＝1，
2n－1， n≥2.
3. 已知数列{a n}满足a n＋1＝
1
1－a n
，a8＝2，则a1＝
1
2.
解析：因为a n＋1＝
1
1－a n
，所以a n＋1＝
1
1－a n
＝
1
1－
1
1－a n－1
＝
1－a n－1
1－a n－1－1
＝
1－a n－1
－a n－1
＝1－
1
a n－1＝1－
1
1
1－a n－2
＝1－(1－a n－2)＝a n－2，n≥3，所以数列{a n}是以T＝(n＋1)－(n－2)＝3为周期
的周期数列，所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.又a 2＝11－a 1
，所以a 1＝1
2.
4. 若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩
⎨⎧2a n ， 0≤a n ≤1
2，
2a n －1， 1
2
<a n <1，
a 1＝35，则数列的第2 015项为 2
5 .
解析：由已知可得a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝3
5，所
以数列{a n }为周期数列且T ＝4，所以a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝2
5
.
1. 数列是一种特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.
2. 通项公式a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点，运用时，不要忘记对a n
＝S n －S n －1的条件的验证.
3. 你还有那些体悟，写下来：。