江西省九江市七校2014届高三数学上学期期中联考试题 理

B A O O a S (a )123321S (a )
a D C O O a 321S (a )321S (a )a 九江市2014届高三七校联考
数 学 试 题（理科）
考试时间：11月16日15:00-17:00
第一卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数i
i
a z ++=1（其中i 是虚数单位）在复平面内对应的点Z 落在第二象限，则a 的范围
A ． (-1, )∞+ B. (-1.1)
C. (-∞,-1)
D.(1,
)∞+)
2．函数)3(log 2+=x y 的反函数是 A ．)(32R x y x ∈-= B ． )3(32->+=x y x C ． )(2
3
R x y x ∈=- D ．)3(2
3
->=+x y x
3.设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =，若N N M =⋂,则a 的值是
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．1或－1
4.函数f （x ）=)1ln(1x x -+的定义域是 A ．(-1, 1) B ．[)1,1- C ．[]1,1- D ．(]1,1-
5.已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的
部分图像如图，则
=∑
=2014
1
)6
(
n n f π
A ．1-
B ．
1
2
C ．1
D ．0
6.设非零向量c b a ,,，满足
c
b a ==，
c b a =+，则〉〈b a ,sin =
A ．12-
B ．1
2
C ．
3
2
D ．32
-
7.美不胜收的“双勾函数”y=x+x
1
是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y=x ，其离心率e=
A ．2
B ． 21+
C ． 3
D ． 224-
8．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛3332
31
232221
131211a
a a
a a a
a a a
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等
差数列，若222=a ，则这9个数的和为
A ．16
B ．18
C ．9
D ．8
9．已知不等式02
≥++c bx ax 的解集[]3,1-，则函数m cx ax bx x f +++-
=23
6
1)(单调递增区间为
A. (-），（∞+∞3),1-,
B. (-1,3)
C.(-3,1)
D.(），（∞+-∞-1),3,
10. 图1中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图1中阴影部分介于平行线0y =及y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为
二、填空题（每题5分，共25分）
11．已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点6
5
4
3
2
1
,,,,,A
A
A
A
A
A 其
中1
A
落在x 正半轴上，且这六个点分别落在以原点O 为始点，X 非负半轴为始边的∠∂的终
图1 y
x O 332211y=a
2013-2014届九江市七校第一次联考数学（理）第1页共4页
边上，所有的∠∂可表示为__________________ （用一个含)(,z k k ∈的式子表示）
12. 已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a
14,a =则
14
m n
+的最小值为 。

13．已知函数f(x)=sin x ω（ω＞0）.在[)5,0π内有7个最值点，则ω 的范围是______ 14. 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，
若2
2
a b -=
，sin C B =，则A=
15. 已知一正整数的数阵如下
1 3
2 4 5 6 10 9 8 7
…
则第7行中的第5个数是 ．
第二卷
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（12分）在ABC ∆
中，31 , cos . 4
AB BC C =
==
(1)求 sin A 的值； (2)求CA CB ⋅的值。

17、（12分）已知向量m n x ),1,(sin -=)2
3
,(cos x =，.)()(m n m x f ⋅+=
(1)当⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的值域；
(2)不等式)(x f ≤4
2
)1(a a ++，当R a ∈时恒成立，求x 的取值范围。

18、（12分）已知函数f (x )＝kx ＋2，k ≠0的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且AB →
=
（1,2），函数g (x )＝x 2
－x －6.当x 满足不等式f (x )≥g (x )+4，时，求函数y ＝2
)(1
)(++x f x g 的值
域。

19、（12分）斜三棱柱11B CA OAB -，其中向量c OC b OB a OA ===,,,
三个向量之间的夹角均为3
π，点M,N 分别在11,BA CA 上且11,21NA BN MA CM ==
，22===4，如右图
(1)把向量AM 用向量
c a ,
(2)把向量ON 用
c b a ,,表示；
(3)求AM 与ON 所成角的余弦值。

20、（13分）已知,R a ∈函数R x a x e x f x
∈+-=,)(2
.
(1)求)(x f 的单调区间和极值；
(2)当),0(+∞∈x 时，不等式x
e ≥122
+-ax x 恒成立，求a 的范围。

21、（14分）函数)1ln()(+-=x x x f ，数列｛n a ｝，满足0＜1a ＜1，)(1n n a f a =+ ，数列｛n b ｝满足++∈+==
N n b n b b n n ,)1(2
1
,2111， (1)求函数)(x f 的单调区间；
O
1
A 1
B C
B
A
M
N
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(2)求证：0＜1+n a ＜n a ＜1；
(3)若22
1=a 且1+n a ＜2
2
n a ，则当n≥2时，求证：n b ＞!n a n ⋅
九江市 2014届高三七校联考 数 学（理科）答案 一．选择题 二．填空题 11 、)(,3Z K K ∈=
∂π 12、 23 13、⎥⎦
⎤
⎝⎛23,1013 14、 6π 15、 26 三．解答题 16,
解
：（
1）易得
A
sin =
8
14
，（2）在
ABC
∆中，
C ab b a c cos 22
2
2
-+=,43cos ,1,2===C a c ， 可得2=b ，CA CB ⋅=C b a cos ⋅=2
3。

17.解：（1）1
(sin cos ,)2m n x x +=+，所以
21111
()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222
f x x x x x x x x x =+-=+-=-
即()f x )4
x π
=-
当[0,]2x π∈时，32[,]444
x πππ
-∈-，sin(2)[4x π-∈， 所以当[0,]2
x π
∈时，函数()y f x =的值域是1[2-；
（2）a a ++1在R a ∈时的最小值为1，所以函数()f x )4
x π
=
-42≤，既 21)4
2sin(≤
-
π
x ；由正弦函数图像易得不等式的解集为Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-∈,245,2411ππππ 18.解：（1）
)2,2
()2,0(),0,2(K
AB B K A =⇒-
,又)2,1(=AB ,所以K=2，又
4)()(+≥x g x f ，可得[]4,1-∈x ,4252+--=x x x y =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++521)2(21x x 因为[]6,12∈+x ，所以函数值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈127,23y
19.解：（1）a CM CM OC AO AM 31,=++=，所以
c a AM +-=32
，因为4=⋅c a ，所以=3
74
(2)OC OA OA OB OA ON +=+=
11),(2
1 ,)(21
c b a ON ++=∴
(3)=
•ON AM •+-)32(c a )(2
1
c b a ++,4,2=⋅=⋅=⋅a c c b b a
=
•ON AM 3
26,11=,COS 〈
=
〉ON AM ,ON AM =
154
77
13即为AM 与ON 所成的角的余弦值。

20.解：（1）函数)(x f 的单调递减区间（-)4ln ,∞，递增区间（ln4，+)∞。

极小值为f （ln4）=a+2-ln4，无极大值
（2）原不等式可化为：≥a 2x e x x 12+-，令g(x)= x e x x 12+-可得
2
'
1)1()(x
e x x x g x -+⋅-=，令x e x x M -+=1)(，可得x
e x M -=1)('在),0(+∞∈x 上恒小于等于零，所以函数g(x)= x
e x x 1
2+-在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减，所以函数g(x)
都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中
在),0(+∞∈x 上有最大值g(1)=2-e ，所求a 的范围是⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡+∞-∈,22e a 21.解：（1）利用导数可求得函数)(x f 的递减区间（-1,0），递增区间（0，+∞） （2）先用数学归纳法证明0＜n a ＜1，*
∈N n .
①当n=1时，由已知得结论成立.②假设k n =时，0＜k a ＜1成立.则当1+=k n 时由（1）
可得函数)1ln(
)(x x x f +-=在)1,0(∈x 上是增函数，所以)0(f ＜)(k a f ＜)1(f =1-2ln ＜
1，所以0＜1+k a ＜1，即n=k+1时命题成立，由①②可得0＜n a ＜1，*
∈N n 成立。

又)1ln(1n n n a a a +-=-+＜0，所以1+n a ＜n a 成立. 所以0＜1+n a ＜n a ＜1 （3）因为211=
b ，n n b n b )1(211+=+，所以2
1
1+=+n b b n n ， 所以!2
112211n b b b b b b b n n n n n n •=•=
--- ……① 因为221
n n a a <+则21n n n a a a <+，所以2
22121123121--•<•=n n n n a a a a a a a a a a a 因为2
2
1=
a ，当2≥n 时，101<<<+n n a a ， 所以n n n n n n a a a a a a a 2
122222*********=≤<••<
-- ……② 由①②两式可知!n a b n n •>。