高三一轮测试卷(解析几何)

高三一轮测试卷（解析几何）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
2．椭圆
2
2
14
x
y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点
为P ，则2PF
=（ ）
2
Ｂ．
Ｃ．
72
Ｄ．4
3．双曲线2
2
2
2
1124x
y
m m
-
=+-的焦距是（ ）
Ａ．8
Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关
4．焦点为(06)，且与双曲线2
2
12
x
y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．2
2
112
24
x
y -
=
Ｂ．
2
2
124
12
y
x
-
= Ｃ．
2
2
124
12
x
y
-
=
Ｄ．
2
2
11224
y
x
-=
5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x =
Ｂ．28y x =
Ｃ．24y x =-
Ｄ．28y x =-
6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ）
Ａ．216y x = 或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y = Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22
2
13x y
m
m
+
=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（ ）
Ａ．1
Ｂ．2-或1 2
Ｄ．5
3
8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ）
Ａ．
14
Ｂ．12
Ｃ．2
2
9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．
2
2
116
12
x
y
+
= Ｂ．
2
2
116
4
x
y
+
= Ｃ．
2
2
112
16
x
y
+
= Ｄ．
2
2
14
16
x
y
+
=
10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ）
3
Ｂ．
3
Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)，
Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)，
12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16
Ｂ．12
Ｃ．9 Ｄ．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13．已知椭圆
2
2
14924
x
y
+=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则
12PF PF =· ．
14．已知双曲线的渐近线方程为34
y x
=±
，则双曲线的离心率为 ．
15．已知圆x 2
+y 2
－6x －7=0与抛物线y 2
=2px （p >0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是 。

16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．在△ABC 中，顶点A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B （－1，0），C （1，0）且b 、
a 、c 成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。

18．如图，椭圆13
4
:
2
2
1=+
y
x
C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线13
4
:
2
2
2=-
y
x
C 右
支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.
19．设椭圆C ：
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的
直线交椭圆C
于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ， 且 AP =
⑴求椭圆C 的离心率；
⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：053=-+y x 求椭圆C 的方程.
20.椭圆C: 的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C 上，且
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线的方程.
21．如图所示，已知圆,8)1(:22=++y x C 定点A （1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。

（1）求曲线E 的方程；
（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λλ求,FH FG =的取值范围。

22．已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C
4:2
=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图. （I ）证明: OM OP ⋅
为定值;
（II ）若△POM 的面积为
2
5，求向量OM 与OP 的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.
第22题
高三一轮测试卷（解析几何）参考答案
一、选择题
CCAD DABD DBCC 二、 填空题 13. 48 14. 4
5或
3
5 15。

（1，0） 1
6 2√2
三 、解答题
17．解：∵b ,a ,c 成等差数列，∴2a =b +c ；又∵a =|BC|=2,∴b +c =4>a ,即|AB|+|AC|=4>|BC|，
则顶点A 的轨迹为椭圆（除长轴顶点）。

由已知得椭圆的c ′=1，a ′=2， ∴椭圆方程为
.13
4
2
2
=+
y
x
则顶点A 的轨迹方程为
.13
4
2
2
=+
y
x
（x ≠2）。

18．解：由题意得C 为AP 中点，设)0,2(),,(00-A y x C ，),2,22(00
y x P +
把C 点代入椭圆方程、P
点代入双曲线方程可得,12
4)22(3124320202
020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+y x y x 解之得：)
0,2(),3,4(),23,1(,231
00B P C y x 又故⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=
故直线PD 的斜率为2
32
40
3=
--
，直线PD 的方程为),2(2
3-=
x y
联立)23,1(1
34
)2(232
2-⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=+-=D y x x y 解得，故直线CD 的倾斜角为90°.
19．解：⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0） （0，b ）知),(),,(0b x AQ b c FA -== c b
x b
cx AQ FA 2
02
0,0,=
=-∴⊥ 设PQ AP y x P 5
8),,(11=
由，得2
1185,1313
b
x y b c
=
=
因为点P 在椭圆上，所以
1)
135
()
138(
22
22
2
=+
b
b a
c
b
整理得2b 2=3a c ，即2(a 2
－c 2
)=3a c ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e =
2
1
⑵由⑴知a c a
c a c
b
ac b 2
12
12
3322
2
=
=
=
=，得又
；，得，于是F （－2
1a ，0），
Q )0,23
(a
△AQF 的外接圆圆心为（2
1a ，0），半径r=
2
1|FQ|=a 所以a a =-2
|52
1
|
，
解得a =2，∴c=1，b=3，
所求椭圆方程为
13
4
2
2
=+
y
x
20．解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以，a=3.
在Rt △PF 1F 2中，故椭圆的半焦距c =,
从而b 2=a 2－c 2=4, 所以椭圆C 的方程为＝1.
(Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为:y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称.
所以 解得，
所以直线l 的方程为
即8x -9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）.
设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1x 2且
① ②
由①－②得
③
因为A 、B 关于点M 对称， 所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,
代入③得＝，
即直线l 的斜率为，
所以直线l 的方程为y －1＝（x+2），
即8x －9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
21．解解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|
又,22||||=+NM CN .222||||>=+∴AN CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为.22,222==c a 焦距.1,1,22
===
∴b
c a
∴曲线E 的方程为
.12
2
2
=+y
x
（2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12
,22
2
=++=y
x
kx y 代入椭圆方程
得.
034)2
1(
2
2
=+++kx x k
由.2
302>>∆k 得
设2
112
212211213,214),,(),,(k
x x k
k x x y x H y x G +=
+-=+则
又,FH FH λ= )2,()2,(2211-=-∴y x y x λ ,21x x λ=∴ 2221221,)1(x x x x x x λλ=+=+∴
λ
λ
2
12
2221)1(
x x x x x =
=++∴
,213))1(2
14(
2
2
2
2
λ
λk
k
k +=
++-
整理得
λ
λ2
2
)
1()
121(
316+=+k
,
23
2
>
k
.3
163
231642
<+<
∴k
.
33
1.3
1621
4<<<++
<∴λλ
λ解得
又,10<<λ .13
1<<∴
λ
又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,3
1,0=
=
=λFH FG x
,131
<≤∴λ即所求λ的取值范围是)1,3
1
[ 22．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4
(
),,4
(
22
212
1、M 、A 三点共线，
,4
4
1
4
,22
21
2121
1y
y
y y y
y k k DM AM -
-=
+=∴即
4,14
212
12
1
1=∴+=
+y y y y y y 即
.54
4
212
22
1=+⋅
=
⋅∴y y y y OP OM
(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM
.5sin ||||,2
5=⋅⋅∴=
∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1.
又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα
(Ⅲ)设点M y y Q ),,4
(
32
3、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴
31332
2
2
2
331313
2
3133131311,,
4
14
4
4
(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+=
=
-++-
∴++=-+++= 即
即
即分
,
0444,4,432
32
2
121=+++
⋅∴
=
=y y y y y y y y 即 即
.(*)04)(43232=+++y y y y
,44
4
3
223
22
32y y y
y
y y k PQ +=
-
-=
)4
(42
23
22y x y y y y PQ -
+=
-∴的方程是直线
即.4)(,4))((32322
2
322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即 由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.。