21-22版：1.2.1 命题与量词（步步高）

√C.我班绝大多数同学是团员
D.每一个方程都有实数解
解析 “我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学不是团员”， 是存在量词命题.
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2.给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数.
其中存在量词命题的个数为
√C.∃x∈R，x2＋1<0
D.以上都不正确 解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示.
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4.(多选)下列命题中是存在量词命题的是
√A.有些自然数是偶数
B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除
√D.存在一个x0∈R，满足|x0|≥0
解析 不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5. 令t＝x2－2x＋5， 若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin. 又t＝(x－1)2＋4， ∴tmin＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
3 随堂演练
PART THREE
1.下列命题不是全称量词命题的是 A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数
反思 感悟
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命 题或存在量词命题. (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题 是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题. (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
反思 感悟
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限 定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题 是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成 立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集 合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则 该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是 假命题.
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7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词 命题为_∃_x_<_0_，__(_1_＋__x_)(_1_－__9_x_)_2>_0__. 解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记 为“∃x∈M，s(x)”.
“存在集合M中的元素x， s(x)”，可用符号简记为 “_∃_x__∈__M___，__s_(_x_)__”
判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.“这盆花长得太好了！”是命题.( × ) 2.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( √ )
3.全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词.
2.(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是 A.有一个x∈R，使得x2>3 B.对有些x∈R，使得x2>3
√C.任意一个x∈R，使得x2>3 √D.所有x∈R，使得x2>3
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3.存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成 A.若x∈R，则x2＋1>0 B.∀x∈R，x2＋1<0
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是
A.不是命题
√C.是假命题
√B.是命题
D.是真命题
解析 能够判断真假，所以是命题， 而且x>1不一定有 x>2，∴是假命题.
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(2)存在实数x，满足x2≥2；
解 是存在量词命题， 表示为∃x∈R，x2≥2.
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； 解 是存在量词命题， 表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直.
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 解 是存在量词命题， 表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大.
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论 “存 在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般 要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结 合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之 解决；若导致矛盾，则否定了假设.
跟踪训练3 (1)若存在一个实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任 意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为_(_－__4_，__＋__∞__)_；
第一章 §1.2 常用逻辑用语
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断. 2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们
的真假.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
解析 不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故若存在一个实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立， 则m>－4.
(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，则实数m的取 值范围为_(_4_，__＋__∞__) _．
例3 已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值 范围.
解 ∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立， ∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立. 又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m. ∴1－m≥0. 解得m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1].
延伸探究 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
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解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中 的点是一一对应的，所以该命题是真命题. (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题. (3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题. (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的 实数x不存在，所以该命题是假命题.
(× ) 4.在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略.( × )
2 题型探究
PART TWO
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀” 或“∃”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零； 解 是全称量词命题， 表示为∀x∈N，x2≥0.
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符 号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； 解 全称量词命题. 表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)有的一次函数图像经过原点；
解 存在量词命题. ∃一次函数，它的图像过原点.
(3)所有的二次函数的图像的开口都向上.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)通过含量词的命题的真假求参数. 2.方法归纳：转化与化归、分离参数法. 3.常见误区： 有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量 词命题强调“个别、部分”.
知识梳理
知识点一 命题的概念
真假
陈述
知识点二 全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
_∀_
_∃_
含有 全称量词 的命题称为全 含有 存在量词 的命题称为存
命题
称量词命题
在量词命题
“对集合M中所有元素x， 命题形式 r(x)”，可用符号简记为
“_∀__x_∈___M__，___r_(_x_)_”
6.有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平 行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是 圆 的 切 线 . 其 中 是 全 称 量 词 命 题 的 为 _②__④__ ， 是 存 在 量 词 命 题 的 为 _①__③__.(填序号) 解析 ①③是存在量词命题，②④是全称量词命题.
解析 命题A含有存在量词； 命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题； 命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词 命题；
而命题D是存在量词命题.
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5.下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是 A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x∈R，x2＝x
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4.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若 x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为_①__③__. 解析 ①是真命题； ②平行四边形不是梯形，假命题； ③是真命题.
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5.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是_存__在__量__词__命__题__(填“全称量词命题” 或“存在量词命题”)，它是_假__命题.(填“真”或“假”) 解析 命题中含有量词“∃”，故为存在量词命题. 又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题.
解 全称量词命题. ∀二次函数，它们的图像的开口都向上.
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题， 并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
√D.当k>0时，一次函数y＝kx＋b在R上y随x的增大而增大
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2 ＋(b－1)2≥0，所以是假命题； B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“任意的”，菱形的对 角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题.
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A.1
B.2
√C.3
D.4
解析 ①③④为存在量词命题，②为全称命题的是
A.∀x∈R，x3>0
√B.∃x∈Z，x2>2
C.∀x∈N，x2∈N
D.∃x，y∈R，x2＋y2<0
解析 对于A，∀x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意； 对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意； 对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意； 对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意.
解 ∵“∃x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立， ∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上有解. 函数y＝2x－1－m在[1,2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m. ∴3－m≥0，故m≤3. ∴实数m的取值范围是(－∞，3].
反思 感悟
应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题 为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性 质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质.
跟踪训练2 判断下列命题的真假. (1)∀x∈R，x2＋1>0； 解 因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题. (2)存在一个四边形不是平行四边形； 解 真命题，如梯形. (3)∀x∈N，x2>0. 解 因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题.
三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数