高考数学二轮复习 第3部分 不等式选讲考点整合 选修4-5 文-人教版高三选修4-5数学试题

选修4－5 不等式选讲
考点整合
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；
(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式
|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2
＋b 2
≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则
a ＋b
2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理3：如果a ，b ，c 为正数，则
a ＋
b ＋c
3
≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则
a 1＋a 2＋…＋a n
n
≥n
a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式
(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *
)为实数，则(∑n
i ＝1a 2
i )(∑n
i ＝1b 2
i )≥(∑n
i ＝1a i b i )2
，
当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
类型一 绝对值不等式
[例1] (2016·高考全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.
(1)画出
y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1
3x －2，－1＜x ≤
32－x ＋4，x ＞3
2
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3或x ＝5.
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，
f (x )<－1的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <1
3或x >5
. 所以|f (x )|>1的解集为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <1
3或1<x <3或x >5. [解后反思] 根据绝对值的意义，分段讨论去绝对值号
1．(2016·高考全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥ |2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，
当x ＝1
2时等号成立，所以当
x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①
当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值X 围是[2，＋∞)．
类型二 不等式证明
[例2] (2016·高考全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，
M 为不等式f (x )＜2的解
集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤－1
2
，
1，－12＜x ＜1
2，
2x ，x ≥12
.
当x ≤－1
2
时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；
当－12＜x ＜1
2
时，f (x )＜2；
当x ≥1
2时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.
所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2
－(1＋ab )2
＝a 2
＋b 2
－a 2b 2
－1＝(a 2
－1)(1－b 2
)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |.
[解后反思] 不等式的证明可以用综合法、作差法、分析法等．
2．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；
(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．
证明：(1)因为(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2
＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ， 得(a ＋b )2
＞(c ＋d )2.
因此a＋b＞c＋d.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得a＋b＞c＋d.
②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，
即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
限时规X训练十选修4－1、4－4、4－5
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC，
由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA，
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而＝，因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA 2
＝PB ·PC . 因为PA ＝PD ＝DC ， 所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .
由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2
.
2.(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，
N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．
(1)证明：EF ∥BC ；
(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积． 解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ， 所以AD 是∠CAB 的平分线．
又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .
(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ， 故AD 是EF 的垂直平分线． 又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝1
2MN ＝3，所以OD ＝1.
于是AD ＝5，AB ＝103
3
.
所以四边形EBCF 的面积为12×⎝
⎛⎭
⎪⎫10
33
2
×32－12×(23)2
×32＝163
3. 3．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝
22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
4．已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a －2t ，
y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，某某数a 的取值X 围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，
故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |
5≤4，
解得－25≤a ≤2 5.
5．设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)＜5，求a 的取值X 围．
解：(1)证明：由a ＞0，得f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪
⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a
－x －a ＝1
a
＋a ≥2，所以
f (x )≥2.
(2)f (3)＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.
当a ＞3时，f (3)＝a ＋1
a
，
由f (3)＜5得3＜a ＜5＋21
2.
当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1
a
，
由f (3)＜5得1＋5
2＜a ≤3.
综上，a 的取值X 围是⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋52
，5＋212.
6．若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1
b
＝ab . (1)求a 3
＋b 3
的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
解：(1)由ab ＝1a ＋1b
≥2
ab
，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．
故a 3＋b 3≥2a 3b 3
≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3
＋b 3
的最小值为4 2.
(2)不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.理由如下： 由①知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.
由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.。