2018年人教版全国中考数学复习高频集训(八)以圆为背景的综合计算与证明题

[高频集训(八)以圆为背景的综合计算与证明题]
类型一圆与切线有关的问题
1．[2016·黄石]如图G8－1，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
图G8－1
2．[2017·南充]如图G8－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
图G8－2
类型二圆与平行四边形结合的问题
3．[2015·衡阳]如图G8－3，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
图G8－3
4．[2016·河南]如图G8－4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；
②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形．
图G8－4
类型三圆与三角函数结合的问题
5．[2017·咸宁]如图G8－5，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
2
(2)若AE＝4，cosA＝，求DF的长．
5
图G8－5
6．[2016·长沙]如图G8－6，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．
图G8－6
类型四圆与相似三角形结合的问题
7．[2017·天门]如图G8－7，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD 交⊙O于点E，连接CE，CB，AC.
(1)求证：CE＝CB；
(2)若AC＝25，CE＝5，求AE的长．
图G8－7
8．如图G8－8，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.
(1)求证：BO⊥CO；
(2)求BE和CG的长．
图G8－8
参考答案
1．解：(1)∵AB是⊙O的直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4.
(2)证明：如图，连接OC，
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠CBA.
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，
∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
，，
2．[解析] (1)连接OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE＝90°而∠ACB＝90°连接CD，
根据“等边对等角”可知∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，进而得出∠ODE＝90°，从而得证．
(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．
解：(1)证明：连接OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.
又E为BC的中点，
1
∴DE＝BC＝CE.
2
∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝90°.∴DE是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为x.
在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.
∴⊙O的直径为6.
3．解：(1)证明：如图，连接OD，
∵点C，D为半圆O的三等分点，
∴∠AOD＝∠COD＝∠COB＝60°.
∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO＝60°，
∴AE∥OC.
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线．
(2)四边形AOCD为菱形．
理由：∵OD＝OC，∠COD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝CO.
同理：AD＝AO.
∵AO＝CO，
∴AD＝AO＝CO＝DC，
∴四边形AOCD为菱形．
4．解：(1)证明：在Rt△ABC中，
∵点M是AC的中点，
∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA.
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE＋∠ABE＝180°，
又∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA.
同理可证：∠MED ＝∠A ，
∴∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME.
(2)①2
[解析]由MD ＝ME ，MA ＝MB ，得DE ∥AB ，
MD DE ∴＝，又AD ＝2DM ，
MA AB MD 1DE 1∴＝，∴＝，
MA 363∴DE ＝2.
②60°
[解析]当∠A ＝60°时，△AOD 是等边三角形，这时易证∠DOE ＝60°，△ODE 和△MDE 都是等边三角形，且全等，∴四边形ODME 是菱形．
5．解：(1)证明：连接OD.
∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠B.
又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B.
∴∠ODB ＝∠C ，
∴OD ∥AC.
∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°，
∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°，
∴DF 是⊙O 的切线．
(2)过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G .
∴AG ＝1
2AE ＝2.
∵cosA ＝AG
OA ，
∴OA ＝AG
cosA ＝5，
∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.
∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，
∴四边形OGFD 是矩形，
∴DF ＝OG ＝21.
6．解：(1)∵对角线AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC ＝90°，
∴∠EDC ＝90°；
(2)证明：连接DO ，
∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，
∴DF ＝FC ，
∴∠FDC ＝∠FCD ，
∵OD ＝OC ，
∴∠OCD ＝∠ODC ，
∵∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；
(3)由图可得∠ABD＝∠ACD，
∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝∠E.
又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴DC DE
＝，AD DC
∴DC2＝AD·DE.
∵AC＝25DE，
∴设DE＝x(x>0)，则AC＝25x，
则AC2－AD2＝AD·DE，
即(25x)2－AD2＝ADx，
整理得：AD2＋ADx－20x2＝0，
解得：AD＝4x或AD＝－5x(负值舍去)，则DC＝（25x）2－（4x）2＝2x，
故tan∠ABD＝tan∠ACD＝AD4x
＝＝2. DC2x
7．解：(1)证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3.
又∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2.∴CE＝CB.
(2)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵AC＝25，CB＝CE＝5，
∴AB＝AC2＋CB2＝（25）2＋（5）2＝5.
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB.
AD AC DC AD25DC
∴＝＝，即＝＝，
AC AB CB5
255
∴AD＝4，DC＝2.
在Rt△DCE中，DE＝EC2－DC2＝（5）2－22＝1，∴AE＝AD－ED＝4－1＝3.
8．解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
11
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
22
11
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°，
22
∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.
(2)如图，连接OF，则OF⊥BC.
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，∴BF BO
＝. BO BC
∵在Rt△BOC中，BO＝6 cm，CO＝8 cm，∴BC＝62＋82＝10(cm)，
BF6
∴＝，∴BF＝3.6 cm.
610
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，
∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF.
∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，
∴CG＝CF＝6.4 cm.。