2018年高考浙江卷数学答案解析

2018 年一般高等学校招生全国一致考试
数学（浙江卷）
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．
1．已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，则C U A （）．
A．B．1,3C．2,4,5D． 1,2,3,4,5【答案】： C
【分析】：∵全集 U1,2,3,4,5 ， A1,3
∴ A的补集C U A2,4,5
∴正确答案为C
2．双曲线x
2y2 1 的焦点坐标是（）．3
A．( 2,0)， (2,0)B． (2,0) ， (2,0)
C．(0,2) ， (0,2)D． (0,2)， (0,2)
【答案】： B
【分析】：双曲线x2y21，此中 a2 3 ， b21
3
∴c2 a2 b 2 3 1 4
∴双曲线的焦点坐标为( 2,0) 和 (2,0)
∴正确答案是B
3．某几何体的三视图以下图（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）．A．2B．4C．6D．8
【答案】： C
【分析】：由三视图可知，原图以下：
V S底 h 【注意有文字】
(1 2)
2
2
6
2
∴正确答案为C
4．复数2（ i为虚数单位）的共轭复数是（）．
1i
A 1 i
B
C 1 i
D 1 i
．． 1 i．．【答案】： B
【分析】：
2
(12(1 i )2(1i )1i
1i i )(1 i )1i 2
∴其共轭复数为1i
∴正确答案为 B
5．函数y 2 x sin2x 的图象可能是（）．A．B．
C．D．
【答案】： D
【分析】：函数 y2x sin 2x 是奇函数，其函数图象对于原点对称
∴清除 A,B选项
又∵ 当 x ( ,0)时，函数有零点x
2
∴正确答案为 D
6．已知平面，直线m ， n 知足m， n，则“m∥n ”是“m∥”的（）．
A．充足不用要条件C．充足必需条件B．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件
【答案】： A
【分析】：∵ m
∴“
， n
m∥n ”是“
， m∥n 能够推出 m∥
m∥”的充足条件
又∵ m
∴“
， n，m∥
m∥n ”不是“ m∥
不可以推出 m∥n
”的必需条件
综上“ m∥n ”是“
∴正确答案是A
m∥”的充足不用要条件
7．设 0 p 1 ，随机变量的散布列
012
P 1p1p 222
则当 p 在(0,1)内增大时，（）．
A．D( )减小B．D( )增大
C． D ( ) 先减小后增大D． D ( ) 先增大后减小
【答案】： D
【分析】： E( ) 0 1 p
112p1p 2222
2
1 p 2
1 1 2
D ( )
1
1
p
p
1
p
2
2
p
2
2
2 2
2
2
1 p
p 4
1 2
1
p
2
2
∴ p 在 (0,1) 上增大时， D ( ) 先增大后减小
∴正确答案为 D
8．已知四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，
E 是线段 AB 上的点（不含端
点），设 SE 与 BC 所成的角为 1 ， SE 与平面 ABCD 所成的角为 2 ，二面角 S
AB C 的平
面角为
3 ，则（
）．
A ．1≤2≤3
B ．3≤2≤1
C ．1≤3≤2
D ． 2≤3≤1
【答案】： D
【分析】：∵线线角大于或等于线面角，二面角大于或等于线面角
∴ 1≥2，3
≥
2
∴正确答案是 D
9．已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量
a 与 e 的夹角为
π
，向量 b 知足
3
2
，则 a b 的最小值是（ ）．
b 4e b 3 0
A ．31
B ． 3
1
C ． 2
D ．2 3
【答案】： A
r r r r r r
r
【分析】： b 4e b 3 ( b e)(b 3e) 0
r r
( x, y)
设 e (1,0)， b
∴ (x 1)(x 3) y 2 0
∴ ( x 2)2
y 2
1
r r uuur uuur
OA 时最短，
如图 a b BA而BA在OA
r r uuur uuur uuur
此时 a b BA OA OB
3 1
∴正确答案是A
10．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1a2a3a4ln(a1a2 a3 ) ，若 a1 1 ，则（）．A．a1a3， a2a4B．a1a3， a2a4
C．a1a3， a2a4D．a1a3， a2a4
【答案】： B
【分析】：若 q0，则 a1a2a3a4a1a2a31
∴ a1a2a3a4ln( a1a2a3a4 )ln(a1a2a3 )
∴ ln( a1 a2a3 )0
∴ a1a2a3a4a1 (1 q q2q3 ) 0
q41
∴0
q 1
∴a2 0
∴ a1a1q2a3， a2a2q 2a4
∴正确答案是 B
非选择题部分
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．我国古代数学着作《张丘建算经》中记录百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五．鸡母一，
值钱三．鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁．母．雏各几何”设鸡翁，鸡母，鸡
x y z100
雏个数分别为 x ，，z，则1，当z81时，x__________， __________ ．y100y
5 x 3 y z
3
【答案】： x8 ，y 11
【分析】：将 z81 代入，得x y19
5x 3 y73
∴x 8 y
11
x y≥0
12 ．若x，y知足拘束条件2 x y≤6 ，则 z x 3 y 的最小值是 __________ ，最大值是
x y≥2
__________．
【答案】： 2 ； 8
【分析】：经过不等式组，画出可行域，如图：
∴A(2,2) , B(4, 2)
∴ z x 3 y 的最小值是 2 ，最大值是 8
13．在△ABC 中，角A，B， C 所对的边分别为 a ，b， c ．若a7 ， b 2 ， A60 ，则 sinB__________，c __________．
【答案】：
21
；3
7
【分析】：
∵ a 7 ， b 2 ， A 60 ，
∴ sin A
3
2
∵
a
b
sin B sin A ∴ sin B
21
7
∴ sin C sin( A B)
3
2 7 1
7 3 21
7
2
7
14
2
∴ c
a
2 21
sin A
3
sin C
∴ c
3
8
14．二项式
3 x
1 的睁开式的常数项是 __________ ．
2 x
【答案】： 7
1 r
【分析】：由通项公式 T r 1
C 8r (3 x )8 r
，
2x
∴求常数项可得：
8 r ( r )
0 ，
3
∴ r 2
∴常数项是 C 82 1 7 4
x 4
≥
R ，函数 f (x)
2 时，不等式 f ( x)
0 的解集是
15 ．已知
x
2
4 x 3 ，当
x
__________．若函数 f (x) 恰有 2个零点，则
的取值范围是 __________．
【答案】： 1 x 4 ； 1 ≤3 或
4
【分析】当
2 时， f ( x) x 4
x 2
x 2
4x 3 x ，图象以下：
2
则 f ( x) 0 的解集为 1 x 4
若函数 f (x) 恰有 2 个零点：
① 二次函数有两个零点，一次函数没有零点，则 4 ； ②
二次函数有一个零点，一次函数有一个零点，则
1 ≤3；
综上可得 1 ≤3 或 4
16．从 ， 3， 5， 7， 9中任取
2个数字，一共能够构成
__________个没有重复数字的四位
1
数．（用数字作答） 【答案】： 1260
【分析】：分两种状况：
① 包括 0 的四位数： C 52 C 31 ( A 44 A 33 ) 540 ;
②
不包括 0 的四位数： C 52 C 32 A 44
720
∴一共有 1260 种．
17．已知点 P(0,1) ，椭圆
x
2
y
2
uuur uuur
m(m
1) 上两点 A ，B 知足 AP 2 PB 则当 m __________
4
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
【答案】： 5
【分析】：设直线 AB : y kx 1
2
x
y 2 m
y kx 1
∴ x 2
k 2 x 2 2kx
1 m 0
4
∴ x 1
x 2
8k
4 4m
4k
2
， x 1x 2 4k
2
1 1 uuur
uuur ∵ AP
2 PB
∴ x12x2
∴ x16k， x
28k
114k214k
2∴ 32k 2(1m)(14k 2 )
若 B 的横坐标的绝对值最大，则x2
88
≥2，14k21
4 k
k
当且仅当 k 1
时， m 5 ．2
三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．18．（此题满分 14 分）已知角的极点与原点 O 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终
边过点 P3,4 ．
55
（Ⅰ）求 sin(π)的值．
（Ⅱ）若角知足 sin()5，求 cos的值．
13
4
4
【分析】： (1) sin5
22
5
34
55
cos 3 5
sin()sin 4 5
(2) ∵sin()5
13
∴ cos()12 13
①当 cos()12 时，
13
cos cos()
cos() cos sin() sin
12354
135135
56
65
②当 cos()12 时，
13
cos 12354 135135
16
65
综上： cos56或16
．
6565
19．此题满分
15
分如图，已知多面体ABCAB C， A A，BB，CC均垂直于平面
ABC
，() 1 1 1111
∠ABC=120 ， A1 A=4 ， C1C1， AB BC B1B 2 ．（Ⅰ）证明：AB1平面A1B1C1．
（Ⅱ）求直线AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．
【分析】： (1) 过B1作B1E AA1于点E
过C1作 C1F BB1于点F
B1E AB 2
AE BB1 2
AE12
∴ A1B1A1 E2B1E 2 2 2
AB1BB12AB222
AA14
∴A1B12 AB12 AA12
∴AB1 A1 B1
又 C1F BC 2,B1F 1
∴ B C C F 2 B F 25
1111
AC 23
∴ AC1AC 2CC1213
∴A1B12 B1C12 AC12
∴AB1 B1C1
∵B1C1平面 A2 B1C1
A1B1平面A1B1C1
∴AB1平面 A1 B1C1
(2)以 A为原点，AC为 y 轴，AA1为z轴成立空间直角坐标系则： A(0,0,0)
A1 (0,0,4)
B(1, 3,0)
B1 (1, 3,2)
C1 (0,2 3,1)
uuuur
∴AC1 (0,2 3,1)
uuuur
AB1(1, 3,2)
uuur
AA1(0,0,4)
r
设 n ( x, y,z) 的法向量
x3y 2z 0
r
4z0
(3,1,0)∴ n
uuur r uuur r
sin
AC n AC n uuur r
AC n
2 3
2 13
39
13
∴正弦值是
39 ．
13
20．(此题满分15 分)已知等比数列a n的公比q1 ，且a3a4a528 ，a4 2 是 a3，a5的等差中项，数列b n知足b11，数列(b n 1 b n )a n的前n项和为2n2n ．
（Ⅰ）求 q 的值．
（Ⅱ）求数列 b n的通项公式．
【分析】：
(1)∵ a3 a4 a5 28 ，
2(a42)a3a5
∴ a3a3 q a3q 228
2a3q4a3
2 a3q
∴a3 4 ，q 2
∴ a n2n 1， q2
(2) 设S n为 (b n 1 b n )a n的前n项和即 S n2n2n
(b n 1b n ) a n S n S
n 1(n 2)
∴
(b2b1 ) a1S13(n 1)∴ (b n 1b n ) a n4n1
∴ b n 1 b n
4n 1
2n 1
b n
b
n 1
4n
5
2
n 2
M
b 2
3
b 1
20
累加得： b
b 3
7 L
4 n 1
n 1
1
20
21 2
n 1
令 T n
3 7 4n 1
20 21
L
2n 1
1 3
7
4n 5 4n 1
2
T
n
21
22 L 2n 1
2 n
∴ T n 14
4n 7
2n 1
∴ b n 1 154n 7
2
n
1
∴ b n 15
4n 3
2 n 2
21． (此题满分 15 分 )如图，已知点 P 是 y 轴左边（不含 y 轴）一点，抛物线 C : y 2
4 x 上存
在不一样的两
点
A ，
B 知足 PA ， PB 的中点均在
C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴．
（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x 2
y 2
1(x 0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．
4
【分析】：（Ⅰ）设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 )
M ( x m , y m ) ， P(x p , y p )
y 12 4 x 1 (1)
∴
2 4 x
(2)
y
2
2
(1) (2) 得：
( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 4( x 1 x 2 )
∴ y 1
y 2 y 14 y 2 4 2 x 1
x 2 2 y m y m
x 1 x p y 1
y p
又∵ E(
,
2 )
2 x 2 x p
y 2 y p
F ( ,
2 )
2
E ,
F 在抛物线上 ( y 1 y p ) 2 4( x 1 x p ) ∴ 4 2
y 12 2 y 1 y p y p 2
8( x 1 x p )
∵ y 12 4x 1
∴ 2 y 2 y p y p 2 4 x 1 8x p
(3)
同理 2y 2 y p 2
4 x 2 8x p (4)
y p (3) (4) 2y p (y 1 y 2 ) 4( x 1 x 2 )
∴ y 1
y 2 2
x 1
x 2
y p
∴
2
2
y m y p
∴ y m y p
∴ PM y 轴
（Ⅱ） S
1 x p
y 1 y 2
PAB x
m
V
2
1
2 y 2
2
y 1
x p y 1 y 2
2
8
1
( y 1
y 2 )2 - 2 y 1 y 2 - 8 x p
( y y
2
- 4 y y
)
2
8
1
2
1 2
y 1 2 2 y 1 y p y p 2
y 12
y 2 2 2 y 2 y p y p 2 y 2
2
由第（Ⅰ）问可知
4
2 2 x p ，
4
2x p
2
可知 y 1
y 2
2 y p ， y 1 y 2
8x 0
y 0 2
3 2
( y p 2
3
∴ S
4x p )
2
4
又∵
x p 2 y p
2
1 ， x p
1,0
4
∴ S
6 2 x p
2
x p 1
∴ △PAB 面积的取值范围是
6 2,
15
10
4
22．（此题满分 15 分）已知函数 f ( x) x ln x ．
（Ⅰ）若 f ( x) 在 x x 1 ， x 2 ( x 1 x 2 ) 处倒数相等，证明：
f (x 1 ) f ( x 2 ) 8 8ln 2．
（Ⅱ）若 a ≤3
4ln2 ，证明：对于随意 k
0 ，直线 y kx
a 与曲线 y
f (x) 有独一公共点．
【分析】：（Ⅰ） f (x)
x ln x
1 1 1 x 2
f ( x)
x
x
2 x
2
当 x ≥4 时， f ( x) 单一递加
0 x 4 时， f (x) 单一递减
∵ f (x 1 )
f (x 2 )
x 1 2
x 2
2
∴
2 x 2
2x 1 ∴ x 1 x 2
2( x 1
x 2 ) ∴ x 1 x 2 4( x 1 x 2
2 x 1x 2 )
x 1x 2 8 x 1 x 2
4(x 1 x 2 ) 8 x 1x 2 ( x 1 x 2 )
∴ x 1 x 2 16 x 1 x 2
∴ x 1 x 2 16
∵ f (x1 ) f (x 2 )x1x2 ln x1 ln x2
1
x1 x2ln( x1 x 2 )
2
令x1 x2t 16 f (x1) f ( x2 ) g (t )
g(t)1t ln t 2
2
t4
g (t)
2t
当t 4 时，g (t)单一递加
∴ g(t) g (16) 8 8ln 2
∴ f ( x1 ) f ( x2 )88ln 2
（Ⅱ）设函数 g( x)x ln x
112kxx 2 kx，则g ( x)
x
k
2 x 2 x
①当116k≤0 时，即k≥
1
16此时 g ( x)0 恒成立
则 g( x) 在,单一递减
∴x ln x kx a 只有一个实数根
②当116k0 时，即0
1 k
16
设 x1， x2为 g (x)0 的两个根
∴ g( x) 在 (0, x1 ) 单一递减，在( x1 , x2 ) 单一递加，在 (x2 ,) 单一递减∵ g( x1 )x1ln x1kx1
2kx1x1 2 0
∴ g( x1 )x1
ln x1 1 ，a≤3 4ln2 2
∴x11116k , k0, 1
4k16∴x12,4
令x1t
则 g(t)t ln t 21
2
t4
g (t)
2t
∴g(t ) 在 2,4 上单一递减
∴ g(t ) g 4 3 2ln 2
∴ a≤3 4ln2 时，x ln x kx a 只有一个实数根综合得证。