河南省南阳市第一中学高三数学上学期第八次考试试题 理(含解析)
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，由已知 ，可得 ，整理可得 ，即
即可求得 的值
试题解析：
（1）由已知 ， 结合正弦定理得：
，于是 ．
因为 ，所以 ，取
（2）由题意可知 ，得：
南阳一中2015级高三第八次考试
理数试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
故选A.
2. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 .
∴ 的最小值为6.
考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.
14. 若二项式 的展开式中 的系数为 ，常数项为 ，若 ，则 ________.
【答案】60
【解析】由题二项式 展开式的通项公式为
令 ，得展开式中 的系数为
令 ，得展开式中常数项为
由 可得 又a ，所以 所以
即答案为60．
15. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取4个顶点，则这4个顶点为“三节棍体”的概率是________.
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】 由约束条件作出可行域（如图），当目标函数 经过可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得
故选C.
11. 设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左、右支交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
16. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若 ， ，
给定四个命题① ；② ；③ ；④ .
则上述四个命题中真命题的序号为____.
【答案】故数列 为等差数列，且公差 故 故①错误； 故②正确；由题意知
若 ，则 而此时， 不成立，故③错误； .，故④成立.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为
矩形的面积为2，故点 取自阴影部分的概率为 .
故选B.
6. 函数 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，则函数在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且
故选C
7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形， 是直角梯形， ，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即 平面 所以几何体的体积为：
故选A．
【点睛】本题考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
8. 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在下列区间中使 是减函数的是( )
【答案】
【解析】
本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是 ，以 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有： ，共6个，同理以 为顶点的也各有6个，但是，所有列举的三棱锥均出现2次， 四个面都是直角三角形的三棱锥有 个， 所求的概率是 ，故答案为 .
【方法点睛】本题考查古典概型概率公式、空间线面关系以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题新定义“三节棍体”达到考查古典概型概率公式、空间线面关系的目的.
故函数g（x）的减区间为 。
故答案为B 。
9. 下图是求样本 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本 平均数 ，
由于“输出 ”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，
故应为 .
故选D.
10. 若函数 满足 且 的最小值为4，则实数 的值为( )
故选C.
3. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( )
A.8B.12C.16D.20
【答案】B
【解析】由题，等差数列 中，
则
故选B.
4. 抛物线 的焦点到准线的距离是( )
A. B.1C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是 ，故选D.
5. 从图中所示的矩形 区域内任取一点 ，则点 取自阴影部分的概率为( )
当 时， 设 ，则 当 时 当 时， 故 在 上单调递增，在 上单调递减；
分别画出 与 的图像如图所示，由题意得 ，故选A
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为____________.
【答案】6
【解析】试题分析：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
即答案为②④
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知 的内角 的对边分别是 ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， 边上的高为 ，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由已知 ， 由正弦定理可得 ，结合 可得 的值：
（2）由题意 边上的高为 ，可知 ，根据余弦定理，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣ cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于 ，
函数f（x）=sin4x﹣ cos4x=2sin（4x﹣ ）；
若将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象．
令2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ ，可得 k∈Z，当k=0时，
【解析】∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，
设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，
由对称性可知，F1PFQ为矩形，且
故 。
故答案为：A。
12. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 函数 有三个不同的零点等价于方程 有三个不同的实根，当 时， 设 ，则 为减函数，
即可求得 的值
试题解析：
（1）由已知 ， 结合正弦定理得：
，于是 ．
因为 ，所以 ，取
（2）由题意可知 ，得：
南阳一中2015级高三第八次考试
理数试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
故选A.
2. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 .
∴ 的最小值为6.
考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.
14. 若二项式 的展开式中 的系数为 ，常数项为 ，若 ，则 ________.
【答案】60
【解析】由题二项式 展开式的通项公式为
令 ，得展开式中 的系数为
令 ，得展开式中常数项为
由 可得 又a ，所以 所以
即答案为60．
15. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取4个顶点，则这4个顶点为“三节棍体”的概率是________.
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】 由约束条件作出可行域（如图），当目标函数 经过可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得
故选C.
11. 设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左、右支交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
16. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若 ， ，
给定四个命题① ；② ；③ ；④ .
则上述四个命题中真命题的序号为____.
【答案】故数列 为等差数列，且公差 故 故①错误； 故②正确；由题意知
若 ，则 而此时， 不成立，故③错误； .，故④成立.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为
矩形的面积为2，故点 取自阴影部分的概率为 .
故选B.
6. 函数 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，则函数在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且
故选C
7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形， 是直角梯形， ，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即 平面 所以几何体的体积为：
故选A．
【点睛】本题考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
8. 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在下列区间中使 是减函数的是( )
【答案】
【解析】
本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是 ，以 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有： ，共6个，同理以 为顶点的也各有6个，但是，所有列举的三棱锥均出现2次， 四个面都是直角三角形的三棱锥有 个， 所求的概率是 ，故答案为 .
【方法点睛】本题考查古典概型概率公式、空间线面关系以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题新定义“三节棍体”达到考查古典概型概率公式、空间线面关系的目的.
故函数g（x）的减区间为 。
故答案为B 。
9. 下图是求样本 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本 平均数 ，
由于“输出 ”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，
故应为 .
故选D.
10. 若函数 满足 且 的最小值为4，则实数 的值为( )
故选C.
3. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( )
A.8B.12C.16D.20
【答案】B
【解析】由题，等差数列 中，
则
故选B.
4. 抛物线 的焦点到准线的距离是( )
A. B.1C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是 ，故选D.
5. 从图中所示的矩形 区域内任取一点 ，则点 取自阴影部分的概率为( )
当 时， 设 ，则 当 时 当 时， 故 在 上单调递增，在 上单调递减；
分别画出 与 的图像如图所示，由题意得 ，故选A
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为____________.
【答案】6
【解析】试题分析：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
即答案为②④
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知 的内角 的对边分别是 ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， 边上的高为 ，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由已知 ， 由正弦定理可得 ，结合 可得 的值：
（2）由题意 边上的高为 ，可知 ，根据余弦定理，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣ cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于 ，
函数f（x）=sin4x﹣ cos4x=2sin（4x﹣ ）；
若将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象．
令2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ ，可得 k∈Z，当k=0时，
【解析】∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，
设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，
由对称性可知，F1PFQ为矩形，且
故 。
故答案为：A。
12. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 函数 有三个不同的零点等价于方程 有三个不同的实根，当 时， 设 ，则 为减函数，