高三数学上学期适应性考试试题四理扫描 试题

师范大学附属中学2021届高三数学上学期适应性考试月考试题〔四〕
理〔扫描版〕
师大附中2021届高考适应性月考卷〔四〕
理科数学参考答案
第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
【解析】
1．因为{|02}A x x =<<，{|11}B x x x =-R ≤或≥，所以(){|12}A B x x =<R ≤，应选B ． 2．
11(1i)(1i)1
i i i i
zz ---+-===，应选A ． 3．由题意
||a b b 12=，故12
=a b ，于是222
23+=++=a b a b a b ()，所以+=||a b 选C ．
4．第一次循环：12S =
，4n =，2k =；第二次循环：11
24
S =+，6n =，3k =；…，第十次循环：10
11
2n S n
==∑
，22n =，11k =，完毕循环，应选B ． 5．拨打 的所有可能结果一共有10330⨯=种，所以玲玲输入一次号码可以成功拨对的概率是
1
30
，应选D ． 6．该多面体是棱长为6的正方体，截去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，那么该多面体的体积为331162614432⎛⎫
-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，应选C ．
7．sin()sin cos cos sin 1C A C A C A -=-=，π2C A -=
，π
2
C A =+，sin sin()B C A =+ 1sin cos cos sin 3C A C A =+=
，两式相减得1cos sin 3C A =-，从而π1cos sin 23A A ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，
即21sin 3
A =，又sin 0A >，∴3
sin A =，应选A ．
8．设球O 的半径为R ，那么34
π288π3R =，6R =．如图1，当点C 位于
垂直于平面AOB 的直径的端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，
31
366
O ABC C AOB V V R --===，应选A ．
9．令(ln )
()(0)f x g x x x
=
>，那么2
2
1
(ln )
(ln )
(ln )(ln )()0f x x f x f x f x x g x x x '-'-'=>=，所以()g x 是增函数，从而有
(ln 2017)(ln 2016)
20172016
f f >
，即2017(ln 2016)2016(ln 2017)f f <，应选A ．
10．由双曲线定义可知222
122222(2)448t a t a t a a t t t +=
=++≥，当且仅当22t a =时，212
t t 获得最小值8a ，此时14t a =．由题意2t c a -≥，即2a c a -≥，解得3c
e a
=≤．又因为1e >，故13e <≤，应选D ．
11．πsin 2cos 2224y x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得ππ3π2444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，令
πππ
2442
x --≤≤，得函数的增区间为3π08⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故①正确；()f x 的图象向左平移π12个
单位得到函数πππcos 2cos 2sin 21232y x x x ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫=++
=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确；由统计学知识，可得12n x x x nx +++=，
12m y y y my ++
+=，那么nx my n m z x y m n m n m n +=
=++++，故1
2
n a m n =>+，所以2n m n >+，即n m >，故③不正确，应选C ．
12．当0x ≤时，()e x f x =，值域为(01]，，所以(())ln e x f f x x ==；当01x <≤时，()ln f x x =，值域为(0]-∞，，所以ln (())e x f f x x ==；当1x >时，()ln f x x =，值域为(0)+∞，，那
么(())ln(ln )f f x x =，故1(())ln(ln )1x x f f x x x ⎧=⎨>⎩
，≤，
，.当1x ≤时，(())f f x 值域为(1]-∞，；
当1x >时，(())f f x 值域为()-∞+∞，．因为0a >，所以()1g t at =-在(e )+∞，上是增
函数，那么()g t 在(e )+∞，上的值域为(e 1)a -+∞，，由题意知，e 11a -≥，解得2
e a ≥，
故a 的取值范围是2e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，，应选D ．
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
【解析】
13．两曲线交点坐标为(11)-，，作出它们的图象易知，所求面积分为两局部，一局部为三角
形，另一局部为曲边三角形，所以面积03113
11()d 24
S x x -=⨯⨯+-=⎰．
14．121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-(1)
92382
n n n +=+++
+=+
，那么2n
a n
n
=+ 16
19n +≥，当且仅当4n =时取等号，所以2n
a n 的最小值为9．
15．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理得
sin sin sin b c a B C A ==
从而sin )b c B C +=
+=
6=，由余弦定理可知，22π
2cos 163
b c bc +-=，
即2()316b c bc +-=，得20
3
bc =
，所以1sin 2ABC S bc A ==△．
16．由212y x y px
=+⎧⎨=⎩，
得22(1)10x p x +-+=，令24(1)40p ∆=-->，得2p >．设11()A x y ，，
22()B x y ，，那么11()C x y -，，122(1)x x p +=-，121x x =，1212(1)(1)2y y x x p =++=，
于是由2313
3144FA FB p p =-++=，解得1p =〔舍去〕，或者3p =，∴
121226y y x x +=++=，2212121()423x x x x x x -+-=，直线BC 的斜率
21
21
3y y x x +=-． 三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕
〔Ⅰ〕解：由212n n n a a S --=，得2
112n n n a a S ++-=，
两式相减整理得11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，∴11(2)n n a a n +-=≥，
又由2
2
212a a S -=，20a >，得22a =，故211a a -=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴1(1)1n a n n =+-⨯=． …………………………〔6
分〕
〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知n a n =，故1111(2)22n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++⎝⎭
，
1111111
11223
345
211113111122124212n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=
++++-++++
⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫⎛⎫
=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
，
∵n *∈N ，∴
11012
n n +>++， ∴3
<4n T ． ………………………………………………………………〔12
分〕
18．〔本小题满分是12分〕
〔Ⅰ〕证明：如图2，不妨设12(0)AA a a =>． ∵D 是棱1AA 中点， ∴1AD A D a ==.
在Rt
ACD 中，AC AD a ==，
∴45ADC ∠=︒．
同理1145A DC ∠=︒，故190C DC ∠=︒，∴1DC DC ⊥， 又1DC BD ⊥，DC
BD D =，
∴1DC ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC . ∴1DC BC ⊥． ……………………………〔6
分〕
〔Ⅱ〕解法一：由〔Ⅰ〕知1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，从而BC AC ⊥，
以C 为原点，直线CB ，1CC ，CA 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图3所示空间直角坐标系，
那么(00)B a ，，，1(020)C a ，，，(0)D a a ，，， ()BD a a a =-，，，1(0)C D a a =-，，．
设1()n x y z =，，为平面1BDC 的一个法向量， 那么00x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩，，
取1y z ==，得1(211)n =，，．
依题意，2(100)n =，，是平面1DC C 的一个法向量， 从而1212126
cos ||||3
n n n n n n 〈〉=
=，，
∴二面角1B DC C --6
． ………………………〔12分〕
解法二：由〔Ⅰ〕知1DC DC ⊥，又1DC BD ⊥， ∴BDC ∠是二面角1B DC C --的平面角.
又1BC DC ⊥，1BC CC ⊥，1
11DC CC C =，
∴BC ⊥平面11ACC A ，从而BC CD ⊥
，且DC
，BD =，
于是cos DC BDC BD ∠=
=， ∴二面角1B DC C --
…………………………〔12分〕
19．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕2
3 1.89 5.4t y t t y ====，，，，55
211
30.355i i i i i t y t ====∑∑，，
5
1
1
5
2
2
2
1
1
()()
530.327 3.3
ˆ0.33554510()5n
i
i i i
i i n
i
i
i i t
t y y t y
t y
b
t
t t
t ====----==
===---∑∑∑∑，
ˆˆ 1.80.3330.81a
y bt =-=-⨯=， 所以回归方程为ˆ0.330.81y
t =+． ………………………………〔6分〕
〔Ⅱ〕假设满五年换一次设备，那么由〔Ⅰ〕知每年每台设备的平均费用为： 155 1.8
2.85
y +⨯=
=〔万元〕
， 假设满十年换一次设备，那么由〔Ⅰ〕知每年每台设备的平均费用大概为： 250.33(1210)100.81
3.12510
y +++⋅⋅⋅++⨯=
=〔万元〕
， 因为12y y <，所以甲更有道理． …………………………………〔12分〕
20．〔本小题满分是12分〕
解：
〔Ⅰ〕把点1M ⎫⎪⎪⎝⎭
代入22
1y x m +=，可得2m =，
所以椭圆C 的方程为2
2
12
y x +=，焦点坐标分别为1(01)F -，
，2(01)F ，
． …………………………………………………………………………〔5分〕
〔Ⅱ〕直线l 过焦点2(01)F ，
，由1M ⎫
⎪⎪⎝⎭
知2MF y ⊥轴， 记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ， 当直线2MF 平分AMB ∠时，120k k +=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，
由221,
12
y kx y x =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消去y 整理得，22(2)210k x kx ++-=，
故122
22k x x k -+=+，1221
2
x x k -=+， 所
以
122k k k ⎛⎫+=
+
=12124
02x x k x x -==-
， 即12124)0x x x x
+=， 故
224022
k k -+=++，解得k = 从而
221212123
()()42
x x x x x x -=+-
=
，即12||x x -=
∴1ABF △的面积121211||||222S F F x x =-=⨯=
………………〔12分〕
21．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕3
()e
x
x m f x +-'=
，
当3m ≥时，由(03)x ∈，知()0f x '>，所以，()f x 在(03)，上单调递增；
当03m <<时，由(03)x ∈，，令()0f x '<，得03x m <<-，令()0f x '>，得33m x -<<， 所以，()f x 在(03)m -，上单调递减，在(33)m -，上单调递增；
当0m ≤时，由(03)x ∈，知()0f x '<，所以，()f x 在(03)，上单调递减． ………〔5分〕
〔Ⅱ〕当1m =时，由()()()0F x f x g x =-=知，0x ≠，故21e x
x
k x -=
， 令21()(0)e x x
h x x x -=≠，得232()e x x h x x -'=．
由()0h x '<
，得x <
或者0x << 由()0h x '>
，得0x <
或者x
所以()h x
在(-∞，
，(0
上单调递减，在(0)
，)+∞上单调递增．
当0x <时，()h x
在x =
(0h =，
且当x →-∞时，()h x →+∞；当0x →时，()h x →+∞．
当0x >时，()h x
在x =
处获得极小值0h =，
且当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()0h x →． 综上所述，结合()h x 的图形可得，
010()203k k k n k k k k ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎪
⎛⎪=< ⎪⎪⎝
=⎨⎛⎫⎪=< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎪> ⎪⎝
⎩，≤，
，. ………………………………………〔12
分〕
22．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：〔Ⅰ〕动抛物线C 的顶点坐标为2cos 12sin )([02π))θθθ+∈，，，
那么曲线E 的参数方程为2cos ([02π))12sin x y θθθθ⎧=⎪
∈⎨
=+⎪⎩
，为参数,，，. 由直线l 的极坐标方程是πcos 26ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
1
cos sin 22
θρθ-=，
那么直线l 40y --=． …………………………
〔5分〕
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，曲线E 的普通方程为22((1)4x y +-=，
曲线E 是以1)为圆心，2为半径的圆，
那么圆心1)到直线l 40y --=的间隔 为1d ==，
∴直线l 被曲线E 截得的弦长为= ………………………………〔10分〕
23．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】
解：〔Ⅰ〕当1a =-时，不等式()+33f x x ≤，可化为|1|33x x ++≤，
∴10+133x x x +⎧⎨+⎩≥，≤或者10133x x x +<⎧⎨--+⎩，
≤，
解得1
12
x -≤≤或者1x <-，
∴不等式()+33f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭≤． ………………………………………〔5
分〕
〔Ⅱ〕()1f x ≤即11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[24]，，
∴1=21=4a a -⎧⎨
+⎩，，
解得3a =， ∴
11
2m n
+
=3(00m n >>，)， 从而(2m n +)112=2+2=4222n m
m m n m n
n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，
∴423m n +≥〔当且仅当2=2n m
m n
，且1132m n +=，即23m =，13n =时等号成立〕
， ∴2m n +的最小值为4
3
． ………………………………〔10
分〕。