二叉排序树

二叉排序树
二叉排序树(Binary Sort Tree：BST)
1、二叉排序树的定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。

其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

2、二叉排序树的特点
由BST性质可得：
（1）二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。

（2）二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。

注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"小于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"大于等于"，甚至可同时修改这两个性质。

（3）按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。

【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。

3、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType；//假定关键字类型为整数
typedef struct node{//结点类型
KeyType key；//关键字项
InfoType otherinfo；//其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
struct node*lchild，*rchild；//左右孩子指针
}BSTNode；
typedef BSTNode*BSTree；//BSTree是二叉排序树的类型
二叉排序树的基本操作（pascal）：
1.中序遍历所有元素
procedure tree_walk(x:longint);
begin
if x<>0then
begin
tree_walk(left[x]);
write(key[x]);
tree_walk(right[x]);
end;
2.查找给定的元素
function tree_search(x,k:longint):longint;
begin
if(x=0)or(k=key[x])then exit(x);
if k<key[x]then exit(tree_search(left[x],k))
else exit(tree_search(right[x],k));
end;
非递归版本
function tree_search(x,k:longint):longint;
begin
while(x<>0)and(k<>key[x])do
begin
if k<key[x]then x:=left[x]
else x:=right[x];
end;
exit(x);
end;
3.查找最小元素
function tree_minimum(x:longint):longint;
begin
while left[x]<>0do
x:=left[x]；
exit(x);
end;
查找最大元素
function tree_maximum(x:longint):longint;
begin
while right[x]<>0do
x:=right[x];
exit(x);
end;
4.求后继
function tree_successor(x:longint):longint;
var
y:longint;
begin
if right[x]<>0then exit(tree_minimum(right[x]));//若右子树不空，则返回右子树中的最小值
y:=p[x];//若右子树为空，则后继y为x的最低祖先节点，且y的左儿子也是x的祖先while(y<>0)and(x=right[y])do
begin
x:=y;
y:=p[y];
end;
exit(y);//注意，若y为0，则x无后继
end;
//注意，函数返回值为节点编号，并不是节点本身的值
5.插入
procedure tree_insert(z:longint);//注意z为节点编号，并非树中的值
var
x,y:longint;
begin
y:=0;
x:=root;
while x<>0do//查找z的父节点，y记录
begin
y:=x;
if key[z]<key[x]then x:=left[x]
else x:=right[x];
end;
p[x]:=y;
if y=0then root:=z//若z为根节点
else begin
if key[z]<key[y]then left[y]:=z//更新父节点的left和right
else right[y]:=z;
end;
end;
6.删除
删除操作是最麻烦的，分3种情况：
（1）若z无子树，则就删除z节点，更新p[z]的值为空
（2）若z有一个子树，删除z节点，更新p[z]的值为z的儿子节点，更新left[p[z]]或right[p[z]]
（3）若z有两棵子树，先找到z的后继y（后继节点无左子树，可证），删除y节点，更新p[y]与left[p[y]]或right[p[y]],最后用节点y的数据覆盖z节点
procedure tree_delete(z:longint);
var
x,y:longint;
begin
if(left[z]=0)or(right[z]=0)then y:=z
else y:=tree_successor(z);
if left[y]<>0then x:=left[y]
else x:=right[y];
if x<>0then p[x]:=p[y];
if p[y]=0then root:=x
else begin
if y=left[p[y]]then left[p[y]]:=x
else right[p[y]]:=x;
end;
if z<>y then key[z]:=key[y];
end;
7.查找数中第k大元素
需要对每个节点新开一个域v[x]，记录该节点的有多少子节点，
查找时分三种情况：
（1）k=v[left[x]]+1则当前x节点为所求
（2）k<=v[left[x]]则在左子树中继续查找
（3）k>v[left[x]]+1则在右子树中继续查找,k更新为k-left[x]-1; function find(x,k:longint):longint;
begin
if v[left[x]]+1=k then exit(key[k])
else if v[left[x]]>=k then exit(find(left[x],k))
else exit(find(right[x],k-v[left[x]]-1));
end;。