七年级初一数学下学期第六章 实数单元专题强化试卷学能测试

七年级初一数学下学期第六章 实数单元专题强化试卷学能测试
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A ．实数包括正有理数、0和无理数
B ．有理数就是有限小数
C ．无限小数就是无理数
D ．无论是无理数还是有理数都是实数
2．3164的算术平方根是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．12
± 3．下列结论正确的是（ ）
A ．无限小数都是无理数
B ．无理数都是无限小数
C ．带根号的数都是无理数
D ．实数包括正实数、负实数
4．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N 5．若a 2=(-5)2 ，b 3=(-5)3 ，则a+b 的值是（ ） A ．0或-10或10 B ．0或-10 C ．-10 D ．0 6．下列各数中，比-2小的数是（ ）
A ．-1
B ．-5
C ．0
D ．1 7．下列各式正确的是( )
A 164=±
B 1116493=
C 164-=-
D 164=
8．若a ，b 均为正整数，且7a >
32b <+a b 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
9．有下列说法：①在1和22,3一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④
2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②
10．实数310,25 ） A 310325<<
B ．331025<
C 310253<<
D 325310<<
二、填空题
11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )
–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．
12．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．
13．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
14．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这
三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝
123433
-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______. 15．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112()()55
k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为________；第2011棵树种植点2011x ________.
16．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，
，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________．
17．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____．
18．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： [10]3[3]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．
19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b =+．例如89914*=+=，那么*(*16)m m =__________．
20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．
三、解答题
21．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
22．先阅读然后解答提出的问题：
设a 、b 是有理数，且满足2322+=-a b b a 的值．
解：由题意得(3)(20-++=a b ，
因为a 、b 都是有理数，所以a ﹣3，b+2也是有理数，
是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以3(2)8=-=-a b ．
问题：设x 、y 都是有理数，且满足2210x y -+=+x+y 的值．
23．对于实数a,我们规定用}{a}为 a 的根整数.如
}=4.
(1)计算？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；
(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次
}=4,再进行第二次求根整数}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2.
24．计算：
（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
（23 25．阅读下列材料： 问题：如何计算1111122334910++++⨯⨯⨯⨯呢？ 小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下：
解：原式1
111111(1)()()()22334910
=-+-+-++- 1110=-
910
= 请根据阅读材料，完成下列问题： （1）计算：
111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯； （2）计算：111126129900
++++； （3）利用上述方法，求式子
111115599131317
+++⨯⨯⨯⨯的值． 26．观察下列解题过程： 计算231001555...5+++++
解：设231001555...5S =+++++①
则23410155555....5S =+++++②
由-②①得101451S =-
101514
S -∴= 即10123100511555 (54)
-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
A 、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；
B 、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；
C 、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；
D 、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
2．A
解析：A
【分析】
【详解】
14，
12
=． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
.
3．B
解析：B
【分析】
利用无理数，实数的性质判断即可．
【详解】
A、无限小数不一定是无理数，错误；
B、无理数都是无限小数，正确；
C、带根号的数不一定是无理数，错误；
D、实数包括正实数，0，负实数，错误，
故选：B．
【点睛】
考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.
4．C
解析：C
【分析】
.【详解】
<<，
∵91516
<<
<<，
即：34
3与4之间，
故数轴上的点为点M，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握相关方法是解题关键.
5．B
解析：B
【分析】
直接利用平方根和立方根的计算得出答案.
【详解】
∵a2=(-5)2，b3=(-5)3,
∴a=±5,b=-5, ∴a+b=0或-10，故选B.
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质是关键．
6．B
【分析】
根据正数大于零，零大于一切负数，两个负数比大小，绝对值越大负数反而小，可得答案【详解】
解：1＞0＞-1，|＞|-2|＞-1，
∴-2＜-1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.
【详解】
=，故原选项错误；
4
=，故原选项错误；
D. 4
=，计算正确，故此选项正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.
8．B
解析：B
【分析】
的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】
23．
∵a a为正整数，∴a的最小值为3．
12．
∵b b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
9．D
解析：D
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】
①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④
2
π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3做比较即可得到答案.
【详解】
解：∵3==
∴3=<
3=>
3<<，
故D 为答案.
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.
二、填空题
11．③，④
【分析】
①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x 变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义
解析：③，④
【分析】
①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x )<x≤[x )+1，[385-)<385-<-8，[385
-)=-9即可，
②由定义得[x)<x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)<x联立即可判断．【详解】
由定义知[x)<x≤[x)+1，
①[
3
8
5
-)=-9①不正确，
②[x)表示小于x的最大整数，[x)<x，[x) -x<0没有最大值，②不正确
③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，
④由定义知[x)<x≤[x)+1，
由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，
∵[x)<x，
∴x1
-≤[x)<x，
④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．
12．±2
【分析】
先根据立方根得出x的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x+1=，解得：x=4
∴x的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正
解析：±2
【分析】
先根据立方根得出x的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x=4
∴x的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．
13．-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可. 【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
（y+2）2=0
∴
10
20 x
y
-=
+=⎧
⎨
⎩
1
2 x
y
=
⎧
∴⎨
=-
⎩
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.
14．或
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{ 2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1
解析：1
2
或
1
3
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=32141
3
x x
+++-
=2x+1，
∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，
∴有如下三种情况：
①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，52，52
}=2，成立； ②2x+1=-x+3，x=
23，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立； ③2x+1=5x ，x=
13，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立， ∴x=12或13
， 故答案为
12或13. 【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．
15．403
【解析】
当k=6时，x6=T （1）+1=1+1=2，
当k=2011时,=T()+1=403.
故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达
解析：403
【解析】
当k=6时，x 6=T （1）+1=1+1=2，
当k=2011时,2011
x =T(20105
)+1=403. 故答案是:2,403. 【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达式并写出用T 表示出的表达式是解题的关键．
16．；
【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有， 又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是，
所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运
解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+
【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n -，
又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，，所以第n 个数的绝对值是
21n +，
所以第9个数是92(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2
(1)(1)n n -⋅+，故答案为-82，2(1)(1)n n -⋅+.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律． 17．【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a ⊗b=a2﹣2b+1，
∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正
解析：【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a ⊗b =a 2﹣2b +1，
∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.
18．255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：
∴对255只需要进行3次操作后变成1，
∴对256需要进行4次操作
解析：255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：25515,3,1,⎡⎤===⎣⎦ ∴对255只需要进行3次操作后变成1，
25616,4,2,1,⎡⎤====⎣⎦ ∴对256需要进行4次操作后变成1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．
19．+1
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．
【详解】
m*（m*16）
=m*（+1）
=m*5
=+1．
故答案为：+1．
【点睛】 此题考查实数的运算，解题的关键是要
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．
【详解】
m*（m*16）
=m*）
=m*5
=．
．
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．
20．1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1
解析：1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1,
∴这个正数是22
(2)11a +==，
故答案为：1.
【点睛】
此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题
21．不能，说明见解析.
【分析】
根据长方形的长宽比设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ，结合长方形ABCD 的面积为300cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可求出x 的值，从而得出AB 的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm 2 ，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB 的长进行比较即可得出结论．
【详解】
解：设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ．
由题意，得 3x•2x=300，
∵x ＞0，
∴x =
∴AB=，BC=cm ．
∵圆的面积为147cm 2，设圆的半径为rcm ，
∴πr 2=147，
解得：r=7cm ．
∴两个圆的直径总长为28cm ．
∵382428<=⨯=<，
∴不能并排裁出两个面积均为147cm 2的圆．
【分析】
根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x 、y 的值，进而可求x+y 的值.
【详解】
解：∵2210x y -=+
∴()22100x y --+-=，
∴2210x y --=0-=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y 的值是7或-1.
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
23．(1)3；(2)2，3，4(3)3
【分析】
（1的大小，再根据新定义可得结果；
（2）根据定义可知12，可得满足题意的m 的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.
【详解】
解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；
（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m 的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4； （3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.
24．（1）-34；（2）3
【分析】
（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．
【详解】
解：（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ ()()118444
=-+-⨯+-⨯
()
1321
=--+-
=-34；
（23
3
=-+-+-
3
=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（1）原式＝2019
2020
（2）原式＝
99
100
（3）原式＝
4
17
【分析】
（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；
（2）先把原式拆分成题（1）原式的样子，再根据（1）的拆项方法，类比得出答案即可；（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个
自然数差的1
4
即可．
【详解】
解：（1）原式＝（1－1
2
）＋（
1
2
－
1
3
）＋（
1
3
－
1
4
）＋……＋（
1
2019
－
1
2020
）
＝1－
1 2020
＝2019 2020
；
（2）原式＝
1111 12233499100 ++++
⨯⨯⨯⨯
＝（1－1
2
）＋（
1
2
－
1
3
）＋（
1
3
－
1
4
）＋……＋（
1
99
－
1
100
）
＝1－
1 100
＝
99 100
（3）原式＝1
4
×（
4444
155********
+++
⨯⨯⨯⨯
）
＝1
4
×（1－
1
5
＋
1
5
－
1
9
＋
1
9
－
1
13
＋
1
13
－
1
17
）
＝1
4
×（1－
1
17
）
＝1
4
×
16
17
＝417
【点睛】
本题考查算式的规律，注意分子、分母的特点，解题的关键是根据规律灵活拆项，并进一步用规律解决问题．
26．22020−1
【分析】
根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．
【详解】
设S ＝2320191222...2+++++①
则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②
②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．。