苏教版九年级数学上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]

苏教版九年级数学上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 2．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A ．（－2，1）
B ．（－2，－1）
C ．（2，1）
D ．（2，－1）
3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC
的值为（ ）
A ．
12
B ．
13 C ．14 D ．19
4．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ）
A ．265cm π
B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．55°
D ．45°
6．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =--
7．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点． A ．三条边垂直平分线 B ．三条中线 C ．三条角平分线 D ．三条高 8．二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ）
A ．（4，5）
B ．（﹣4，5）
C ．（4，﹣5）
D ．（﹣4，﹣5）
9．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=
（ ）， A ．
19
B ．
14
C ．
16
D ．
13
10．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
11．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．
35
B ．
38
C ．
58
D ．
34
12．如图，AB 为
O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，
6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）
A ．2.5
B ．2.8
C ．3
D ．3.2
二、填空题
13．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
14．已知二次函数2
22y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．
15．若记[]
x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，21=，…，则
123420192020⎡⎡⎡⎤⎡⎡⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎣⎣⎦⎣⎣⎣⎦
（其中“+”“－”依次相间）的值
为______.
16．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表
x…－10123…
y…－3－3－139…
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝
________．
18．数据2，3，5，5，4的众数是____．
19．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
20．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
21．已知⊙O半径为4，点,A B在⊙O上，
213
90,sin
13
BAC B
∠=∠=，则线段OC
的最大值为_____．
22．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为_____．
23．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接
CP，以 CP 为边，在 PC 的右侧作等边△CPQ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．
24．若a b
b
＝
2
3
，则
a
b
的值为________．
三、解答题
25．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
26．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？
27．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．
（1）直接写出A、B、C、D坐标；
（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值
范围．
28．4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是______；
（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．
29．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
30．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为
2d ，且∠MAN ＝∠ANB ，求点N 的坐标．
31．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，1AF =，连结CE .CP ，求
证：EF 为四边形AECF 的相似对角线．
（2）在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，3AB =，6AC =
，AC 平分BAD ∠，且
AC 是四边形ABCD 的相似对角线，求BD 的长．
（3）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，点E 是线段AB （不取端点A ．B ）上的一个动点，点F 是射线AD 上的一个动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，求BE 的长．（直接写出答案）
32．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21
(2)12
y x =
-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：∵DE∥BC，∴AD DE
AB BC
=，∵1
3
AD
AB
=，∴
3
1
DE
BC
=．故选B．
考点：平行线分线段成比例．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案. 【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O 的度数，再进一步根据圆周角定理求解． 【详解】
解：∵OA=OB ，∠ABO=35°， ∴∠BAO=∠ABO=35°， ∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=
1
2∠O=55°． 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为2
3(2)3y x =++，故答案选A ．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可． 【详解】
解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标． 【详解】
∵二次函数()2
345y x +=-
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5）， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2
y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：9． 【详解】 解：如图：
∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：DB=1：2， ∴AD ：AB=1：3，
∴S △ADE ：S △ABC =1：9． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比． 【详解】
解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°， 设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()
22
14
2a a ππ=
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出球的总个数，根据概率公式解答即可． 【详解】
因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是
38
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．B 解析：B 【解析】【分析】
连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DB
DB AD
=，从而
求出DE的长，最后利用AE AD DE
=-即可得出答案．【详解】
连接BD,CD
∵AB为O的直径
90
ADB
∴∠=︒
2222
6511
BD AB AD
∴=-=-
∵弦AD平分BAC
∠
11
CD BD
∴==
CBD DAB
∴∠=∠
ADB BDE
∠=∠
ABD BED
∴
DE DB
DB AD
∴=
11
5
11
=
解得
11
5
DE=
11
5 2.8
5
AE AD DE
∴=-=-=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y ＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为 y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数2
22y x x -=-，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，
∵−1≤x≤4，
∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，
故答案为：-3．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．-22
【解析】
【分析】
先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算.
【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数 解析：-22
【解析】
【分析】
2020的整数部分的规律，根据题意确定算式
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-的运算规律，再进行实数运算. 【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算
数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、
⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=1-2+3-4+…+43-44= -22 【点睛】
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
16．【解析】
【详解】
∵，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，
∴它的内切圆半径，
解析：【解析】
【详解】
∵22251213+=，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ∴它的内切圆半径5121322
r +-==，
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
3 1 3c
a b c a b c
-=⎧
⎪
-=++⎨
⎪-=-+⎩，解得
1
1
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
=
=−1±
2
，
∵1x<0,
∴1x=−1
-
2
＜0，
∵-4≤
-3，
∴
3
2
22 -≤-≤-，
∴-
≤ 2.5 -，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
18．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即
可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
19．2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+8
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1
n
[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣
x）2]，计算方差即可．【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴1
5
(9+10+12+x+8)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝1
5
[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝1
5
×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．【点睛】
本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1
n
[（x1﹣
x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2
解析：272
-
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=1
2
MD=1，
∴FM=DM×cos30°=3，
∴2227
MC FM CF
=+=，
∴A′C=MC﹣MA′=272-．
故答案为272
-．
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 21．
【解析】
【分析】
过点A 作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
解析：413833+ 【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
【详解】
解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,
∵OAE BAC AEO ABC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
, ∴ABC
AEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠=
=, ∵213sin B ∠=, ∴2213313cos 11313B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
, ∴213
sin 213tan cos 3
313B B n B ∠∠===∠,
∴
23
AO AE =， 又∵4AO =,
∴6AE =,
∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴ =EAB OAC ∠∠， 又∵
AC AO AB AE
=， ∴AEB AOC ∆∆, ∴23
OC AC BE AB ==, ∴23
OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,
∵OE =
==，
∴4OE OB +=,
∴BE 的最大值为：4，
∴OC 的最大值为：
()
284333=+. 【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 22．【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求
【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD 的长，从而求出CE ，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】
过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，
在Rt △ACD 中，CD =
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝2
，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴
1
3 CE AC
DE BD
==，
∴CE＝1
4
CD＝
10
4
，
在Rt△ECF中，sin∠AEC＝
225
10
CF
CE
=⨯=，
故答案为：25
．
【点睛】
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
23．【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，
∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相
解析：
7 7
【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝
∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．
【详解】
如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵△ABC ，△PQC 是等边三角形，
∴BC ＝AC ，PC ＝CQ ，∠BCA ＝∠PCQ ＝60°， ∴∠BCP ＝∠ACQ ，且AC ＝BC ，CQ ＝PC ， ∴△ACQ ≌△BCP （SAS ）
∴AQ ＝BP ，∠CAQ ＝∠CBP ，
∵AC ＝6，AD ＝2，
∴CD ＝4，
∵∠ACB ＝60°，DF ⊥BC ，
∴∠CDF ＝30°，
∴CF ＝12
CD ＝2，DF ＝CF ÷tan30°3＝3 ∴BF ＝4，
∴BD 22DF BF +1612+7， ∵△CPQ 是等边三角形，
∴S △CPQ 32， ∴当CP ⊥BD 时，△CPQ 面积最小，
∴cos ∠CBD ＝
BP BF BC BD =， ∴627
BP =， ∴BP 127， ∴AQ ＝BP 127， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ，
∴△ADE ∽△BDC ， ∴AE AD BC BD
=， ∴627
AE =， ∴AE 67，
∴QE＝AQ−AE
＝
7
．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP的长是本题的关键．24．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．三、解答题
25．m
【解析】
【分析】
设BC 的长度为x ，根据题意得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ，进而利用相似三角形的性质列出关于x 的方程.
【详解】
解：设BC 的长度为x m
由题意可知CE ∥AB ∥DF
∵CE ∥AB
∴△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ∴GC CE GB AB =，即11x +＝2AB HD HB ＝FD AB ，即()3316x +- ＝2AB
∴11x +＝()
3316x +- ∴x ＝4
∴AB ＝10
答：路灯AB 的高度为10 m.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA 是解题关键．
26．（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元
【解析】
【分析】
（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可.
【详解】
（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x +=
解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.
（2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克
根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=
整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =
∵要减少库存
∴11y =不合题意，舍去，∴3y =
答：售价应降低3元.
【点睛】
本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.
27．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣3
2
)；（2）存在，(
1
2
，﹣
15
4
)；（3）
﹣157
36
＜t＜﹣1
【解析】
【分析】
（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；
（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E
（x，0），H（x，1
2
x﹣
3
2
），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；
（3）求出直线y＝1
3
x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝
1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣
3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】
解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，
当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∵D为OC的中点，
∴D（0，﹣3
2
）；
（2）存在，理由如下：
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线BD的解析式为y＝mx﹣3
2
，
将点B（3，0）代入y＝mx﹣3
2
，
解得m＝1
2
，
∴直线BD的解析式为y＝1
2
x﹣
3
2
，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，1
2
x﹣
3
2
），G（x，x﹣3），
∴EH＝﹣1
2
x+
3
2
，HG＝
1
2
x﹣
3
2
﹣（x﹣3）＝﹣
1
2
x+
3
2
，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣
x2+3x，
当EH＝HG＝GP时，﹣1
2
x+
3
2
＝﹣x2+3x，
解得x1＝1
2
，x2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（1
2
，﹣
15
4
）；
（3）当直线y＝1
3
x+t经过点B时，
将点B（3，0）代入y＝1
3
x+t，
得，t＝﹣1，
当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程
1
3
x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个
解，
即x2﹣7
3
x﹣3﹣t＝0，
△＝（7
3
）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，
解得t＝﹣157 36
，
∴由图2可以看出，当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t
的取值范围为：﹣157
36
＜t＜﹣1时．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.
28．（1）1
2
；（2）
2
3
．
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出a、b异号的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）∵共由4种可能，抽到的数字大于0的有2种，
∴从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是1
2
，
故答案为：1 2
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中a、b异号有8种结果，
∴这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为
8
12
＝
2
3
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握a、b异号时，对称轴在y轴右侧是解题关键．
29．（1）相切，证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出
r=3，由tan∠E=OB CD
EB DE
=，推出
3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问
题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，
∵CB=CD ，CO=CO ，OB=OD ，
∴△OCB ≌△OCD ，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD ⊥DC ，
∴DC 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为r ，
在Rt △OBE 中，∵OE 2=EB 2+OB 2，
∴（8﹣r ）2=r 2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan ∠E=
OB CD EB DE
=， ∴348
CD =， ∴CD=BC=6， 在Rt △ABC 中，22226662AB BC ++=
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键． 30．（1）y ＝x 2
+2x ﹣3；（2）存在，点P 坐标为1133313++⎝⎭或5371533722⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭
；（3）点N 的坐标为（﹣4，1） 【解析】
【分析】
（1）分别令y ＝0 ,x ＝0,可表示出A 、B 、C 的坐标，从而表示△ABC 的面积，求出a 的值继而即可得二次函数解析式；
（2）如图①，当点P 在x 轴上方抛物线上时，平移BC 所在的直线过点O 交x 轴上方抛物线于点P ，则有BC ∥OP ，此时∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线得解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解；当点P 在x 轴下方时，取BC 的中点D ，易知D 点坐标为（12，32
-），连接OD 并延长交x 轴下方的抛物线于点P ，由直角三角形斜边中线定理可知，
OD ＝BD ，∠DOB ＝∠CBO 即∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线的解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解．
（3）如图②，通过点M 到x 轴的距离可表示△ABM 的面积，由S △ABM ＝S △BNM ，可证明点A 、点N 到直线BM 的距离相等,即AN ∥BM ，通过角的转化得到AM ＝BN ，设点N 的坐标，表示出BN 的距离可求出点N ．
【详解】
（1）当y ＝0时，x 2﹣（a +1）x +a ＝0，
解得x 1＝1，x 2＝a ，
当x ＝0，y ＝a
∴点C 坐标为（0，a ），
∵C （0，a ）在x 轴下方
∴a ＜0
∵点A 位于点B 的左侧，
∴点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（1，0），
∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ，
∵△ABC 的面积为6， ∴()()1162
a a --=， ∴a 1＝﹣3，a 2＝4（因为a ＜0，故舍去），
∴a ＝﹣3，
∴y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）设直线BC ：y ＝kx ﹣3，则0＝k ﹣3，
∴k ＝3；
①当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y ＝3x ，
则2323y x y x x =⎧⎨=+-⎩
，
∴1132x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，2232
x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，
∴点P
坐标为1322⎛+ ⎝⎭
； ②当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y ＝﹣3x ，
则2323y x
y x x =-⎧⎨=+-⎩
∴
1
1
537
2
15337
2
y
x
⎧-+
=
⎪⎪
⎨
-
⎪=
⎪⎩
，
2
2
537
2
15337
2
y
x
⎧--
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
∴点P坐标为
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
，
综上可得，点P坐标为
1133313
,
⎛⎫
++
⎪
⎪
⎝⎭
或
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
；
（3）如图，过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB＝
11
42
22
AB d d d
⨯⨯⨯
==
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴
11
22
BM AE BM NF
⨯=⨯，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB 和△NBM 中AMB NB AM NB MB BM M =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩
= ∴△AMB ≌△NBM （SAS ），
∴∠ABM ＝∠NMB ，
∵OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，
又∵AN ∥BM ，
∴∠ABM ＝∠OAC ＝45°，
∴∠NMB ＝45°，
∴∠ABM +∠NMB ＝90°，
∴∠BHM ＝90°，
∴M 、N 、H 三点的横坐标相同，且BH ＝MH ，
∵M 是抛物线上一点，
∴可设点M 的坐标为（t ，t 2+2t ﹣3），
∴1﹣t ＝t 2+2t ﹣3，
∴t 1＝﹣4，t 2＝1（舍去），
∴点N 的横坐标为﹣4，
可设直线AC ：y ＝kx ﹣3，则0＝﹣3k ﹣3，
∴k ＝﹣1，
∴y ＝﹣x ﹣3，
当x ＝﹣4时，y ＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N 的坐标为（﹣4，1）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，还涉及到全等三角形的判定及其性质、三角形面积公式等知识点，综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
31．（1）见解析（2）33193）
53或163
或3 【解析】
【分析】
（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF ∽△ECF 即可；
（2）AC 是四边形ABCD 的相似对角线，分两种情形：△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC ，分别求解即可；
（3）分三种情况①当△AEF 和△CEF 关于EF 对称时，EF 是四边形AECF 的相似对角线．②取AD 中点F ，连接CF ，将△CFD 沿CF 翻折得到△CFD′，延长CD′交AB 于E ，则可得出 EF 是四边形AECF 的相似对角线．③取AB 的中点E ，连接CE ，作EF ⊥AD 于F ，延长CB 交FE 的延长线于M ，则可证出EF 是四边形AECF 的相似对角线．此时BE=3；
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E 为AD 的中点，1AF
=，
∴AE=DE=2， 12
∴==AF AE DE CD ∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF ∽△DCE ，
∴∠AEF=∠DCE ，
12
==EF AF CE DE ∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°， 12
==AF EF AE EC ∴△AEF ∽△ECF ，
∴EF 为四边形AECF 的相似对角线．
（2）∵AC 平分BAD ∠，
∴∠BAC=∠DAC =60°
∵AC 是四边形ABCD 的相似对角线，
∴△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC
①如图2，当△ACB ~△ACD 时，此时，△ACB ≌△ACD
∴AB=AD=3，BC=CD ，
∴AC 垂直平分DB ，
在Rt △AOB 中，∵AB=3，∠ABO=30°，。