2018数学理一轮课件：11-1-1 两个基本原理 精品

【解题法】 两个原理的使用策略 在解决实际问题过程中，经常综合应用这两个计数原理．即分类时，每一类方法可能要运用分步完成； 而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想去求解．对本类问题应该按照问题的特点去决定先分类后 分步，还是先分步后分类．分类的关键在于做到“不重不漏”，标准统一；分步的关键在于要正确设计分 步的程序，即合理分类，正确分步．
2．某商场共有 7 个大门，东、南、西侧各 2 个，北侧 1 个，1 人到该商场购物，则他进出门的走法有( )
A．8 种
B．7 种
C．24 种
D．49 种
解析 完成“进出门”这件事，需分两步，'第一步，进商场门，有 7 种走法；第二步，购物后出门， 也有 7 种走法，根据分步乘法计数原理可得进出门的走法有 7×7＝49(种)．
2 分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种方法……做第 n 步有 mn 种方法．那么，完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种方法．
3 两个计数原理的联系与区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 把握两个原理的区别与联系，正确进行分类与分步，往往与排列组合相结合考查． 命题法 应用两个原理解决问题 典例 用 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成___4_2_0___个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．
[解析] 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以首位数字不能为 0，末位数字必 须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复，因此应先分类，再分步．
每类办法 都能 独立完成这件 每一步得到的只是中间结果，任何
区别 事，它是独立的、一次的，且每次 一步 都不能 独立完成这件事，
一 得到的是最后结果，只需一种方法 缺少任何一步也不可，只有各步骤
就可完成这件事
都完成了才能完成这件事
区别 各类办法之间是互斥的、并列的、 各步之间是相互依存的，并且既不
二 独立的
第 1 类，当首位数字为奇数，即取 1,3,5 中的任意一个时，末位数字可取 0,2,4,6 中的任意一个，百位 数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240 种取法． 第 2 类，当首位数字为偶数，即取 2,4,6 中的任意一个时，末位数字可以取除首位数字的任意一个偶 数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字． 根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180 种取法． 根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝420 个无重复数字的四位偶数．
高考数学·理
第十一章 计数原理
第1讲 排列与组合
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 考点一 两个基本原理
撬点·基础点 重难点
1 分类加法计数原理的概念 完成一件事可以有 n 类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中有 m1 种不同方法，在第二类方案中 有 m2 种不同方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同方法．那么，完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种 方法．
3．如图所示，用五种不同的颜色分别给 A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允 许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有__1_8_0____种．
解析 按区域分四步： 第一步，A 区域有 5 种颜色可选； 第二步，B 区域有 4 种颜色可选； 第三步，C 区域有 3 种颜色可选； 第四步，D 区域也有 3 种颜色可选． 由分步乘法计数原理，共有 5×4×3×3＝180 种不同的涂色方法．
能重复也不能遗漏
注意点 两个原理应用的不同方法 (1)应用分类计数原理时，将各类办法中的方法数相加即得完成事情的方法总数． (2)应用乘法计数原理时，将各步骤中的方法数相乘即得完成事情的方法总数.
1．思维辨析 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × ) (2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法都能直接完成这件事．( √ ) (3)在分步乘法计数原理中，各种方法中完成某个步骤的方法是各不相同的．( × ) (4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( × )
撬题·对点题 必刷题