2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷(文科)

2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）
A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1} 2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）
A．1 B．2 C．D．
3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（）
A．6 B．5 C．1 D．﹣6
4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．（5分）函数的周期为（）
A．T=2πB．C．T=πD．T=4π
6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（）
A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n 7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（）
A．20 B．18 C．3 D．0
8．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，S n为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧
的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．
D．
10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m
的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=．
14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．
16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k
成等比数列，求正整数k的值．
+2
18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．
19．（12分）已知函数，x∈R
（1）求f（x）的对称中心；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．
21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）e x．
（1）求f（x）在x=0处的切线；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．
[选修4-4]参数方程与极坐标系
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角
坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
[选修4-5]不等式选讲
23．已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．
2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）
A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}【分析】由二次不等式的解法，可得集合B，再由交集、并集的定义即可得到所求集合．
【解答】解：集合A={x|x＜1}，
B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，
则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，
A∪B={x|x＜3}，
故选：D．
【点评】本题考查集合的交集和并集的求法，考查二次不等式的解法，运用定义法解题是关键，属于基础题．
2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）
A．1 B．2 C．D．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．
【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，
∴|z|==，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．
3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（）
A．6 B．5 C．1 D．﹣6
【分析】直接利用向量的坐标运算，化简求解即可．
【解答】解：向量，=（﹣1，2），
=（3，0），
则=6＞
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查．
4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=（）∈（0，1），b=2＞1，c=log2＜0，
则c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）函数的周期为（）
A．T=2πB．C．T=πD．T=4π
【分析】利用二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，根据正弦函数的周期公式即可计算得解．
【解答】解：∵=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∴函数f（x）的周期T==π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦
函数的周期公式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（）
A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（）
A．20 B．18 C．3 D．0
【分析】求出f（x）的导数和极值，以及区间端点处的函数值，比较可得最值，即可得到|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，进而得到t的范围，可得所求最小值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣1的导数为f′（x）=3x2﹣3，
令f′（x）=0，解得x=±1，
所以1，﹣1为函数f（x）的极值点．
因为f（﹣3）=﹣19，f（﹣1）=1，f（1）=﹣3，f（2）=1，
所以在区间[﹣3，2]上，M=f（x）max=1，N=f（x）min=﹣19，
对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=20，
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求极值和区间端点处的函数值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，S n为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：a n=a1﹣2（n﹣1），
S1=a1，S2=2a1﹣2，S4=4a1﹣12，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴=a1（4a1﹣12），
解得a1=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧
的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．
【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；
当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；
当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，
在正△AED中，AE=ED=DA=1，
∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．
又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．
故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）
【分析】根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．
【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，
解得：﹣3＜x＜1，
而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，
故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，
由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，
得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，
故选：B．
【点评】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，
是一道基础题．
11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．
【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，
假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，
故选：A．
【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m
的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）
【分析】令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；⇒t≥
3，再求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3即可．
【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；
⇒t≥3
下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，
⇒﹣2≤m≤1，
⇒1＜m≤2+，
⇒m无解，
⇒m≥4，
综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了复合函数的不等式问题，换元分段求解是常规办法，也可以利用图象求解，属于难题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=﹣．
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣2）=﹣f（2），代入x＞0的解析式，计算即可得到所求值．
【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
即有f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+）=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用转化思想和定义法解题，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=﹣．
【分析】用表示出，得出x，y的值即可得出答案．
【解答】解：∵BD=2DC，
∴==﹣，
∴=+=+．
∴x=，y=．
∴x﹣y=﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，
3sinA=5sinB，则角C=．
【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
∴cosC==﹣
∵C∈（0，π）
∴C=
故答案为：
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）
成立的x的取值范围是．
【分析】由已知可得函数为偶函数，且x＞0时函数为增函数，则将f（x）＞f（2x ﹣1）可化为：|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，解得答案．
【解答】解：∵函数，
f（﹣x）===f（x），
故函数为偶函数，
当x＞0时，
=＞0恒成立
函数为增函数，
若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，
则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，
解得：x∈，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
成等比数列，求正整数k的值．（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k
+2
【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得
，解可得a1与d的值，代入等差数列的通项公式中即可得
答案；
（2）由（1）可得a1与d的值，代入等差数列的前n项和公式可得S n=n（n+1），成等比数列，可得（a k）2=2（k+2）（k+3），解可得k的值，即又由a1，a k，S k
+2
可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设数列{a n}的公差为d，
由题意知，
解得a1=2，d=2，
则a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；
（2）由（1）可得a1=2，a n=2n，
则S n==n2+n=n（n+1），
若a1，a k，S k
成等比数列，
+2
则有（a k）2=2（k+2）（k+3），
即4k2=2k2+10k+12，
变形可得：k2﹣5k﹣6=0，
解可得k=6或k=﹣1（舍）；
故k=6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的通项公式．
18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA由正弦定理得，
sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
由于：sinC≠0，
所以：．
即：，
由于：0＜A＜π，
解得：A=．
（2）因为△ABC的面积为，
所以：①，
所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，
a2=b2+c2﹣2bccosA，
，所以b2+c2=8②；
联立①②两式可得，b=c=2．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型．
19．（12分）已知函数，x∈R
（1）求f（x）的对称中心；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数．
（2）直接利用整体思想求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）由已知，
所以：
令，
得
对称中心为，k∈Z
（2）令，（k∈Z）
解得：，（k∈Z）
所以：单调递增区间为
令，k∈Z
得，k∈Z
增区间为，
上的增区间为，
减区间为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．
【分析】（1）利用数列的和，直接求解数列a n，利用递推关系式求解b n；（2）利用错位相减法求解数列{a n b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）由可得，当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，，
而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，
故a n=4n﹣1，
又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1，
∴…（6分）
（2）由（1）知，
，
，
∴
=
=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]
=（4n﹣5）•2n+5．…（12分）
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）e x．
（1）求f（x）在x=0处的切线；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．
【分析】（1）求出导函数以及切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，利用二次导数为0，判断导函数的单调性，通过（i）a≥1时，（ii）0＜a＜1时，（iii）a≤0时，求出函数的最值，然后求解a≥1．
【解答】解：（1）f'（x）=（1﹣x）e x，f'（0）=1，f（0）=2，切线的斜率为：1，切点坐标（0，2），
所以切线方程y﹣2=x，即y=x+2．
（2）g（x）=ax+2﹣（2﹣x）e x，g'（x）=a+（x﹣1）e x
∵（g'（x））'=xe x k≥0且仅有x=0，（g'（x））'=0，
∴g'（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g'（x）≥g'（0）=a﹣1，
（i）a≥1时，g'（x）≥g'（0）=a﹣1≥0g（x）在[0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）=0满足题意，
（ii）0＜a＜1时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a＞0，
而g'（x）连续且递增，所以存在唯一x0∈（0，1）使g'（x0）=0∀x∈[0，x0），g'（x）＜0，在[0，x0）上g（x）单调递减，
取x1∈（0，x0），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意．
（iii）a≤0时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a≤0，
而g'（x）连续且递增，∀x∈[0，1），g'（x）＜0在[0，1）上g（x）单调递减，
取x1∈（0，1），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意，
综上所述，a≥1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及二次导函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
[选修4-4]参数方程与极坐标系
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【分析】（Ⅰ）设θ为参数，把曲线C1的普通方程化为参数方程；
根据直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C1上求一点P（cosθ，2sinθ），
利用三角函数的性质求P到直线l的距离d的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，
设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，
则曲线C1的参数方程为（θ为参数）；
又直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，
即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，
化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；
（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），
则P到直线l的距离为d==，
∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，
点P到直线l的距离最大，最大值为=2．
【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，是中档题．
[选修4-5]不等式选讲
23．已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得≥=
=4．
（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，由于的最小值为4，故有x的
范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．
【解答】解：（1）∵≥==4，
故的最小值为4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，
即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于
的最小值．（4分）
由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，
∴的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．
解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）
【点评】本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．。