高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算(第3课时)向量数乘运算及其几何性质课下能力提升(十

2018-2019学年高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算（第3课时）向量数乘运算及其几何性质课下能力提升（十六）（含解析）新人教A 版必修4
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课下能力提升（十六)
[学业水平达标练]
题组1 向量的线性运算
1。

错误!错误!等于( ）
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B 原式＝1
6
(2a＋8b）－错误!(4a－2b)
＝错误!a＋错误!b－错误!a＋错误!b＝－a＋2b＝2b－a。

2．已知m，n是实数，a,b是向量，则下列命题中正确的为（)
①m（a－b)＝m a－m b；②（m－n）a＝m a－n a;③若m a＝m b,则a＝b；④若m a＝n a，则m＝n。

A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
题组2 用已知向量表示未知向量
3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于（）
A。

错误!b＋错误!c B.错误!c－错误!b
C.错误!b－错误!c D。

错误!b＋错误!c
解析:选A 依题意BD＝2DC，
∴AD＝AB＋BD＝AB＋错误!BC
＝AB＋错误!(AC－AB）＝错误!AB＋错误!AC
＝错误!b＋错误!c，选A。

4．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝错误!CA＋错误!CB,又AP＝t AB，则t的值为( )
A。

错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!
解析：选A 由题意可得AP＝CP－CA＝错误!CA＋错误!CB－CA＝错误!（CB－CA）＝错误!AB，又AP＝t AB，∴t＝错误!.
5．设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点,AD＝错误!AB，BE＝错误!BC。

若DE＝λ1AB＋λ
2
AC（λ1，λ2∈R),则λ1＋λ2的值为________．
解析：由DE＝BE－BD＝错误!BC－错误!BA＝错误!(AC－AB）＋错误!AB＝－错误! AB＋错误!AC，得λ1＝－错误!，λ2＝错误!，从而λ1＋λ2＝错误!.
答案：错误!
6。

如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L,且AK＝e1，
AL＝e2，试用e1,e2表示BC，CD.
解：法一:设BC＝x，则BK＝错误!x，
AB＝e1－错误!x，DL＝错误!e1－错误!x,
又AD＝x，由AD＋DL＝AL得
x＋错误!e
1
－错误!x＝e2，解方程,得x＝错误!e2－错误!e1,
即BC＝错误!e2－错误!e1，
由CD＝－AB，AB＝e1－错误!x，得CD＝－错误!e1＋错误!e2.
法二：设BC＝x，CD＝y，则BK＝错误!x，DL＝－错误!y.
由AB＋BK＝AK，AD＋DL＝AL得
错误!
－2×②＋①得错误!x－2x＝e1－2e2，
解得x＝错误!（2e2－e1）,
即BC＝2
3
（2e2－e1）＝错误!e2－错误!e1，
同理得y＝错误!（－2e1＋e2）,
即CD＝－错误!e 1＋错误!e2。

法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E.
则△DLA≌△CLE，
从而AE＝2AL，CE＝AD，KE＝错误!BC，
由KE＝AE－AK，得错误!BC＝2e2－e1，
即BC＝错误!（2e2－e1)＝错误!e2－错误!e1.
同理可得CD＝错误!（－2e1＋e2)＝－错误!e1＋错误!e2.题组3 共线向量定理的应用
7．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2,b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－2
5
e
2
，b＝e1－错误!e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2。

其中，向量a，b一定共线的有（）
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A 对于①，a＝－b；对于②,a＝－错误!b；对于③，a＝4b;对于④，若a＝λb （λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2),即（1－2λ）e1＋（1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．
8．设D,E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC ( ）
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A 由AC－AD＝2（AD－AB)，得AD＝错误!AC＋错误!AB.同理可得，BE ＝错误!BC＋错误!BA，CF＝错误!CA＋错误!CB,所以AD＋BE＋CF＝－错误!BC，故选A。

9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋错误!e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.
解析：由题设知错误!＝错误!，
所以3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或错误!.
答案:－2或错误!
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD ＝－5e－3f.
(1）用e，f表示AD；
（2)证明:四边形ABCD为梯形．
解:（1）AD＝AB＋BC＋CD＝（e＋2f）＋(－4e－f）＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
（2）证明：因为AD＝－8e－2f＝2（－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD 的长度为BC长度的2倍,即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[能力提升综合练］
1．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD,则( )
A．AD＝－错误!AB＋错误!AC
B．AD＝错误!AB－错误!AC
C．AD＝4
3
AB＋
1
3
AC
D．AD＝4
3
AB－错误!AC
解析：选A AD＝AB＋BD＝AB＋错误!BC
＝AB＋错误!（AC－AB）
＝－错误!AB＋错误!AC.
2．已知向量a，b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a，b共线的是（）
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e;
②存在相异实数λ，μ,使λa－μb＝0；
③x a＋y b＝0（其中实数x,y满足x＋y＝0）；
④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
解析：选A 由2a－3b＝－2(a＋2b）得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有x a＋y b＝0,但b与a不一定共线，故③不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行，故④不可以．
3．已知△ABC 和点M 满足MA ＋FC ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ,
依据平行四边形法则可得MC ＋FC ＝MD ，又MA ＋FC ＋MC ＝0，则AM ＝MD ，两向量有公共点M ，则A ,M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平
行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线,同理可证BM ，CM 也在△ABC
的中线上,即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四
边形法则可得AB ＋AC ＝AF ＝2AE ＝2×32AM ＝3AM ，则AB ＋AC ＝3AM 。

4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界）（ )
①OA ＋2OB ；②错误!OA ＋错误!OB ；
③错误!OA ＋错误!OB ；④错误!OA ＋错误!OB .
A ．①②
B ．①②④
C ．①②③
D ．③④ 解析：选A 依题意，在题图中的阴影区域内任取点
E ，连接OE 交AB 于点
F ,则有OE ＝λOF ＝λ［x OA ＋(1－x ) OB ]＝λx OA ＋（1－x )λOB ,其中0＜x ＜1，λ＞1,注意到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1,错误!＋错误!＞错误!＋错误!＝1，错误!＋错误!＝错误!＜1，错误!＋错误!＝错误!＜1，故选A. 5．在四边形ABCD 中，AB ＝3e ，CD ＝－5e ，且|AD ｜＝|BC ｜，则四边形ABCD 的形状为________．
解析：由已知可得AB ＝－错误!CD ，所以AB ∥CD ，且| AB ｜≠｜CD ｜.又｜AD |＝｜BC ｜，所以四边形ABCD 为等腰梯形．
答案:等腰梯形
6．如图，在△ABC中，延长CB到D,使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB ＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________．
解析：设AE＝k AD，0≤k≤1，
则AE＝k（AC＋2CB)
＝k［AC＋2（AB－AC)]＝2k AB－k AC，
∵AE＝λAB＋μAC，
∴错误!∴t＝λ－μ＝3k。

又0≤k≤1，
∴当k＝1时，t取最大值3。

故t＝λ－μ的最大值为3.
答案:3
7．如图,已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝错误!BC，设AB＝a，AD＝b,试用a，b分别表示AM，MH,AF。

解：∵ABCD是平行四边形,BF＝MC＝错误!BC，
∴FM＝BC－BF－MC＝错误!BC.
∴FM＝1
2
BC＝错误!AD＝AH.
∴FM綊AH。

∴四边形AHMF也是平行四边形．
∴AF＝HM.
又BM＝错误!BC＝错误!AD＝错误!b，而FB＝－错误!BC＝－错误!b，
∴AM＝AB＋BM＝a＋错误!b。

MH＝FA＝FB＋BA＝－错误!b－a。

AF＝HM＝－MH＝错误!b＋a.
8．已知O，A，M,B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ) OA (λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1）求证：A，B，M三点共线;
（2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
解：（1）证明:∵OM＝λOB＋(1－λ）OA，
∴OM＝λOB＋OA－λOA，
OM－OA＝λOB－λOA，
∴AM＝λAB (λ∈R,λ≠0且λ≠1)．
又AM与AB有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
(2)由（1)知AM＝λAB,
若点B在线段AM上,
则AM与AB同向且｜AM｜＞| AB|(如图所示)．
∴λ＞1.。