2020高考文科数学总复习：数系的扩充与复数的引入课时作业
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C．1 D．3
解析：由题得z＝|1＋ i|－i2 018＝ ＋1
＝2＋1＝3、∴|z|＝3.故选D.
答案：D
图1
12．(20xx年河南省天一大联考)在如图1所示的复平面内、复数z1、z2、z3对应的向量分别是 、 、 、则复数 对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题图知z1＝3＋2i、z2＝－2＋2i、z3＝1－2i、则 ＝ ＝－ － i、
∴ ∴a> .
解：∵z＝1＋mi、∴ ＝1－mi.
∴ ·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i.
又∵ ·(3＋i)为纯虚数、
∴ 解得m＝－3.∴z＝1－3i.
(1)z1＝ ＝－ － i、
∴|z1|＝ ＝ .
(2)∵z＝1－3i、i2 017＝i、
∴z2＝ ＝ ＝ .
又∵复数z2所对应的点在第一象限、
所以其在复平面内对应的点为 、在第三象限．
答案：C
二、填空题
13．(20xx年江苏省高考冲刺预测卷)若复数z＝ 、则z的虚部为________．
解析：z＝ ＝ ＝ 、∴其虚部为－ .
答案：－
14．(20xx年河南省豫南九校下学期高二第二次联考)设复数z满足(1＋2i)z＝4－3i3、则|z|＝________．
2020高考文科数学总复习：第12章数系的扩充与复数的引入课时作业
编 辑：__________________
时 间：__________________
一、选择题
1．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)在下列命题中、正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②复数z＝i－1对应的点在第四象限；
答案：1
三、解答题
17．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)m为何实数时、复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)满足下列要求：
(1)z是纯虚数；
(2)z在复平面内对应的点在第二象限；
(3)z在复平面内对应的点在直线x－y－5＝0上．
解：(1)z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数、则实数x＝±1；
④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0、则z1＝z2＝z3.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于选项①、不能说两个复数不能比较大小、如复数3和4就可比较大小、所以该命题是错误的．对于选项②、复数z＝i－1对应的点在第二象限、所以该命题是错误的．对于选项③、若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数、则x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0、所以x＝1、所以该命题是错误的.对于选项④、若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0、可以z1＝i、z2＝0、z3＝1、所以该命题是错误的.故选A.
(2)由(1)知、z1＝1＋i、z2＝－1＋i、 ＝ ＝－i、
∴ ＝1.
19．(20xx年江苏省邗江中学高二下学期期中)已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位、m∈R)、且 ·(3＋i)为纯虚数( 是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝ 、求|z1|；
(2)设复数z2＝ 、且复数z2所对应的点在第一象限、求实数a的取值范围．
答案：二
16．(20xx年江苏省邗江中学高二下学期期中)若复数z满足|z|＝1(i为虚数单位)、则|z－2i|的最小值是________．
解析：由复数满足|z|＝1、设z＝cosθ＋isinθ、
θ∈[0、2π)、
则|z－2i|＝ ＝ ≥1、
当且仅当sinθ＝1时等号成立、
所以|z－2i|的最小值为1.
答案：A
3．(20xx年××市××区高三下学期二模)已知i为虚数单位、若复数(a＋i)2i为正实数、则实数a的值为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：∵(a＋i)2i＝(a2＋i2＋2ai)i＝(a2－1＋2ai)i＝－2a＋(a2－1)i、且复数(a＋i)2i为正实数、
∴ ⇒a＝－1、即实数a的值为－1、故选D.
18．(20xx年广西××市高级中学高二下学期第二次月考)复数z1＝ ＋(10－a2)i、z2＝ ＋(2a－5)i(a>0)、且 1＋z2是实数．
(1)求实数a的值；
(2)求 的模．
解：(1)z1＋z2＝ ＋(a2－10)i＋ ＋(2a－5)i＝ ＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝ ＋(a2＋2a－15)i.因为z1＋z2是实数、所以a2＋2a－15＝0、解得a＝－5或a＝3.因为a>0、所以a＝3.
答案：D
9．(20xx年东北三省三校一模)已知复数z满足(－i B．1＋i
C. － i D. ＋ i
解析：因为z＝ ＝ ＝1－i、所以应选答案A.
答案：A
10．(20xx年内蒙古集宁一中期末考试)已知 是z的共轭复数、若复数z＝ ＋2、则 在复平面内对应的点是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：z＝ ＝ ＝1－mi、虚部为1、
即z＝1＋i、故对应点(1、1)在第一象限．
答案：A
7．(20xx年陕西省西安市高三考试)已知i为虚数单位、若复数z＝ (a∈R)的虚部为－3、则|z|( )
A．5 B.
C．2 D.
解析：因为z＝ ＝ ＝
＝ － i、
答案：D
4．(20xx年衡水金卷调研卷理)复数z＝x＋(x＋2)i(其中i为虚数单位、x∈R)满足 是纯虚数、则|z|＝( )
A. B．2
C. D.
解析：根据题意可设 ＝bi(b∈R且b≠0)、
∴2＋i＝[x＋(x＋2)i]·bi＝－b(x＋2)＋xbi、
∴ 解得x＝－ 、
∴z＝－ ＋ i、∴|z|＝ 、故选D.
A．(2、1)B．(2、－1)
C．(－2、1) D．(－2、－1)
解析：由z＝ ＋2＝ ＋2＝ ＋2＝2－i、得 ＝2＋i、所以 在复平面内对应的点为(2、1)、故选A.
答案：A
11．(20xx年江西省××市高二下学期期中)复数z＝|1＋ i|－i2 018、i为虚数单位、则|z|＝( )
A．2 B.
解析：∵(1＋2i)z＝4－3i3＝4＋3i、
∴z＝ ＝ ＝2－i、
∴|z|＝ ＝ .
答案：
15．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)复数z＝cos75°＋isin75°(i是虚数单位)、则在复平面内z2对应的点位于第________象限．
解析：由题得z2＝cos150°＋isin150°＝－ ＋ i、所以在复平面内z2对应的点位于第二象限．
所以－ ＝－3、所以a＝5、所以z＝－2－3i、
所以|z|＝ ＝ .故选B.
答案：B
8．(20xx年陕西省××市试题)设i是虚数单位、若复数z＝ 、则z的共轭复数为( )
A. ＋ i B．1＋ i
C．1－ i D. － i
解析：复数z＝ ＝ 、根据共轭复数的概念得到、共轭复数为 － i.故答案为D.
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由 得m＝－ 、
即m＝－ 时、z是纯虚数．
(2)由 得－ <m<1、
即m∈ 时、z在复平面内对应的点在第二象限．
(3)由(2m2－3m－2)－(m2－3m＋2)－5＝0、
得m＝±3、
即m＝±3时、z在复平面内对应的点在直线x－y－5＝0上．
答案：A
2．(20xx年衡水金卷(全国卷Ⅰ)(A)数学理)已知复数z满足z·(i－1)＝i(其中i为虚数单位)、则其共轭复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：由z·(i－1)＝i得到z＝ ＝ － i、
故其共轭复数z为 ＋ i、其对应的点 位于第一象限、故选A.
答案：D
5．(20xx年山东省××市高三诊断性测试)已知复数z＝ (i是虚数单位)、则z的共轭复数 ＝( )
A. － i B. ＋ i
C. － i D. ＋ i
解析：z＝ ＝ ＝ － i、 ＝ ＋ i、选D.
答案：D
6．(20xx年山西省平遥中学高三高考适应性调研)已知复数z满足zi＝i＋m(m∈R)、若z的虚部为1、则z在复平面内对应的点在( )
解析：由题得z＝|1＋ i|－i2 018＝ ＋1
＝2＋1＝3、∴|z|＝3.故选D.
答案：D
图1
12．(20xx年河南省天一大联考)在如图1所示的复平面内、复数z1、z2、z3对应的向量分别是 、 、 、则复数 对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题图知z1＝3＋2i、z2＝－2＋2i、z3＝1－2i、则 ＝ ＝－ － i、
∴ ∴a> .
解：∵z＝1＋mi、∴ ＝1－mi.
∴ ·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i.
又∵ ·(3＋i)为纯虚数、
∴ 解得m＝－3.∴z＝1－3i.
(1)z1＝ ＝－ － i、
∴|z1|＝ ＝ .
(2)∵z＝1－3i、i2 017＝i、
∴z2＝ ＝ ＝ .
又∵复数z2所对应的点在第一象限、
所以其在复平面内对应的点为 、在第三象限．
答案：C
二、填空题
13．(20xx年江苏省高考冲刺预测卷)若复数z＝ 、则z的虚部为________．
解析：z＝ ＝ ＝ 、∴其虚部为－ .
答案：－
14．(20xx年河南省豫南九校下学期高二第二次联考)设复数z满足(1＋2i)z＝4－3i3、则|z|＝________．
2020高考文科数学总复习：第12章数系的扩充与复数的引入课时作业
编 辑：__________________
时 间：__________________
一、选择题
1．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)在下列命题中、正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②复数z＝i－1对应的点在第四象限；
答案：1
三、解答题
17．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)m为何实数时、复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)满足下列要求：
(1)z是纯虚数；
(2)z在复平面内对应的点在第二象限；
(3)z在复平面内对应的点在直线x－y－5＝0上．
解：(1)z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数、则实数x＝±1；
④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0、则z1＝z2＝z3.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于选项①、不能说两个复数不能比较大小、如复数3和4就可比较大小、所以该命题是错误的．对于选项②、复数z＝i－1对应的点在第二象限、所以该命题是错误的．对于选项③、若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数、则x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0、所以x＝1、所以该命题是错误的.对于选项④、若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0、可以z1＝i、z2＝0、z3＝1、所以该命题是错误的.故选A.
(2)由(1)知、z1＝1＋i、z2＝－1＋i、 ＝ ＝－i、
∴ ＝1.
19．(20xx年江苏省邗江中学高二下学期期中)已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位、m∈R)、且 ·(3＋i)为纯虚数( 是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝ 、求|z1|；
(2)设复数z2＝ 、且复数z2所对应的点在第一象限、求实数a的取值范围．
答案：二
16．(20xx年江苏省邗江中学高二下学期期中)若复数z满足|z|＝1(i为虚数单位)、则|z－2i|的最小值是________．
解析：由复数满足|z|＝1、设z＝cosθ＋isinθ、
θ∈[0、2π)、
则|z－2i|＝ ＝ ≥1、
当且仅当sinθ＝1时等号成立、
所以|z－2i|的最小值为1.
答案：A
3．(20xx年××市××区高三下学期二模)已知i为虚数单位、若复数(a＋i)2i为正实数、则实数a的值为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：∵(a＋i)2i＝(a2＋i2＋2ai)i＝(a2－1＋2ai)i＝－2a＋(a2－1)i、且复数(a＋i)2i为正实数、
∴ ⇒a＝－1、即实数a的值为－1、故选D.
18．(20xx年广西××市高级中学高二下学期第二次月考)复数z1＝ ＋(10－a2)i、z2＝ ＋(2a－5)i(a>0)、且 1＋z2是实数．
(1)求实数a的值；
(2)求 的模．
解：(1)z1＋z2＝ ＋(a2－10)i＋ ＋(2a－5)i＝ ＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝ ＋(a2＋2a－15)i.因为z1＋z2是实数、所以a2＋2a－15＝0、解得a＝－5或a＝3.因为a>0、所以a＝3.
答案：D
9．(20xx年东北三省三校一模)已知复数z满足(－i B．1＋i
C. － i D. ＋ i
解析：因为z＝ ＝ ＝1－i、所以应选答案A.
答案：A
10．(20xx年内蒙古集宁一中期末考试)已知 是z的共轭复数、若复数z＝ ＋2、则 在复平面内对应的点是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：z＝ ＝ ＝1－mi、虚部为1、
即z＝1＋i、故对应点(1、1)在第一象限．
答案：A
7．(20xx年陕西省西安市高三考试)已知i为虚数单位、若复数z＝ (a∈R)的虚部为－3、则|z|( )
A．5 B.
C．2 D.
解析：因为z＝ ＝ ＝
＝ － i、
答案：D
4．(20xx年衡水金卷调研卷理)复数z＝x＋(x＋2)i(其中i为虚数单位、x∈R)满足 是纯虚数、则|z|＝( )
A. B．2
C. D.
解析：根据题意可设 ＝bi(b∈R且b≠0)、
∴2＋i＝[x＋(x＋2)i]·bi＝－b(x＋2)＋xbi、
∴ 解得x＝－ 、
∴z＝－ ＋ i、∴|z|＝ 、故选D.
A．(2、1)B．(2、－1)
C．(－2、1) D．(－2、－1)
解析：由z＝ ＋2＝ ＋2＝ ＋2＝2－i、得 ＝2＋i、所以 在复平面内对应的点为(2、1)、故选A.
答案：A
11．(20xx年江西省××市高二下学期期中)复数z＝|1＋ i|－i2 018、i为虚数单位、则|z|＝( )
A．2 B.
解析：∵(1＋2i)z＝4－3i3＝4＋3i、
∴z＝ ＝ ＝2－i、
∴|z|＝ ＝ .
答案：
15．(20xx年河南省××市第一中学高二下学期第一次月考)复数z＝cos75°＋isin75°(i是虚数单位)、则在复平面内z2对应的点位于第________象限．
解析：由题得z2＝cos150°＋isin150°＝－ ＋ i、所以在复平面内z2对应的点位于第二象限．
所以－ ＝－3、所以a＝5、所以z＝－2－3i、
所以|z|＝ ＝ .故选B.
答案：B
8．(20xx年陕西省××市试题)设i是虚数单位、若复数z＝ 、则z的共轭复数为( )
A. ＋ i B．1＋ i
C．1－ i D. － i
解析：复数z＝ ＝ 、根据共轭复数的概念得到、共轭复数为 － i.故答案为D.
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由 得m＝－ 、
即m＝－ 时、z是纯虚数．
(2)由 得－ <m<1、
即m∈ 时、z在复平面内对应的点在第二象限．
(3)由(2m2－3m－2)－(m2－3m＋2)－5＝0、
得m＝±3、
即m＝±3时、z在复平面内对应的点在直线x－y－5＝0上．
答案：A
2．(20xx年衡水金卷(全国卷Ⅰ)(A)数学理)已知复数z满足z·(i－1)＝i(其中i为虚数单位)、则其共轭复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：由z·(i－1)＝i得到z＝ ＝ － i、
故其共轭复数z为 ＋ i、其对应的点 位于第一象限、故选A.
答案：D
5．(20xx年山东省××市高三诊断性测试)已知复数z＝ (i是虚数单位)、则z的共轭复数 ＝( )
A. － i B. ＋ i
C. － i D. ＋ i
解析：z＝ ＝ ＝ － i、 ＝ ＋ i、选D.
答案：D
6．(20xx年山西省平遥中学高三高考适应性调研)已知复数z满足zi＝i＋m(m∈R)、若z的虚部为1、则z在复平面内对应的点在( )