【北师大版】九年级数学上期末一模试卷含答案

一、选择题
1．从1，2，3，4，5这5个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（）
A．4 5
B．
7
10
C．
3
5
D．
1
2
2．下列说法中正确的是（）
A．通过多次试验得到某事件发生的频率等于这一事件发生的概率
B．某人前9次掷出的硬币都是正面朝上，那么第10次掷出的硬币反面朝上的概率一定大于正面朝上的概率
C．不确定事件的概率可能等于1
D．试验估计结果与理论概率不一定一致
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数20801002004001000“射中九环
以上”的次
数
186882168327823
“射中九环
以上”的频
率（结果
保留两位
小数）
0.900.850.820.840.820.82
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
4．如图是一个圆形的地板图案，其中大圆直径恰好等于两个小圆直径的和．若在地板上任意扔一颗小玻璃珠，则小玻璃珠静止后，滚落在阴影部分的概率是（）．
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
π
5．如图，,
AB AC分别是O的直径和弦，OD AC
于点,D连接,
BD BC．若
10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）
A ．25
B ．4
C ．213
D ．245 6．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）
A ．37
B ．
3272+ C ．237+ D ．33722
+ 7．如图，A ，B ，C 三点在O 上，若120ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．120︒ 8．已知⊙O 的直径为6，圆心O 到直线l 的距离为3，则能表示直线l 与⊙O 的位置关系
的图是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（ ）
A ．5
B ．6
C ．26
D ．41 10．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ） A ．3 B ．-3
C ．-1
D ．1 11．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）
A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()1,2-
D ．()2,1 12．一元二次方程20x x -=的根是（ ）
A ．10x =，21x =
B ．11x =，21x =-
C ．10x =，21x =-
D ．121x x ==
二、填空题
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_____．
14．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35
，则m ＝__． 15．一只小鸟自由自在在空中飞翔，然后随意落在下图中，则落在阴影部分的概率是______。

16．ABC 是边长为5的等边三角形，点D 在ABC 的外部且30BDC ∠=︒，则AD 的最大值是______．
17．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．
18．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC ，交DC 与点E ，将△BCE 绕点C 顺
时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
y x向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐19．将抛物线2
标是__________．
20．已知a、b、c满足227
c a
-=-，则
-=-，2617
+=，221
b c
a b
++=_______．
a b c
三、解答题
21．有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有2个完全相同的小球，分别标有数字1，2（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
22．国庆假期，小悦一家商定去海南旅游，小悦利用航空公司官方网站预订飞机票，购票系统将随机分配座位，如图所示，飞机每一排座位编号以过道为界，过道左侧三个座位编号为A，B，C，过道右侧三个座位编号为J，K，L，若系统分配各个座位的概率一样．
（1）小悦很想坐在靠窗的位置上方便看云海，她在上飞机前换登机牌时提出“请给我靠窗的位置”（每排A，L的位置），若恰好剩下如图所示18，19，20三排中的18个座位，求她随机选中一个靠窗的座位的概率；
（2）若小悦的父亲已分配坐在第19排过道边的位置（C或J），求系统在第19排所剩5个位置中为小悦选中父亲邻座的概率（C与J属于邻座）．
23．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图1，若点E 在AB 上，F 是DE 上的一点，DF ＝BE ．
①求证：ADF ≌ABE ；
②求证：DE ﹣BE ＝2AE ．
（2）如图2，若点E 在AD 上，直接写出线段DE 、BE 、AE 之间的等量关系．
24．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A ，C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．
（1）求证：BD =CE ；
（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点．
25．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．
（1）求A B 、两点的坐标；
（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．
①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；
②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．
26．某校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m，纵向花带宽为1m，栽种鲜花后剩余空地面积为42m2，求原正方形空地的边长．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，其乘积为偶数的有14种情况，
∴其乘积为偶数的概率为：147
，
2010
故选：B．
【点睛】
本题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．D
解析：D
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，故选D．
【详解】
A. 错，应为：多次试验得到某事件发生的频率可以估计这一事件发生的概率；
B. 错，反面朝上的概率仍为0.5；
C. 错，概率等于1即为必然事件；
D. 正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了概率的意义，解题的关键是熟练的掌握概率的意义.
3．B
解析：B
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
小玻璃珠滚落在阴影部分的概率为该阴影部分的面积与总面积的比值．
【详解】
解：设小圆的半径为r，则大圆半径为2r
∴大圆面积为：π（2r）2=4πr2
阴影部分的面积为：大圆面积-2个小圆的面积=4πr2-2πr2=2πr2
∴滚落在阴影部分的概率是
2
2
21 42
r
r
π
π
=．
故答案为A．
【点睛】
本题考查几何概率的求法，确定大圆面积和阴影部分的面积是解答本题的关键．5．C
解析：C
【分析】
先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到
CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=
12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
6．D
解析：D
【分析】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；
【详解】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．
∵AQ ＝QP ，
∴OQ ⊥PA ，
∴∠AQO ＝90°，
∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,
∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°
在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=
12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH 2233OC OH +=，
在Rt△CKH中，CK＝
2 2
3
3
3
2
⎛⎫
+=
⎪
⎪
⎝⎭
3
7
2
，
∴CQ的最大值为337
22
+，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．D
解析：D
【分析】
在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ACB=180°，
∵120
ACB
∠=︒
∴∠D=60°
∴∠AOB=120°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
因为⊙O的直径为6，所以圆的半径是3，圆心O到直线l的距离为3即d=3，所以d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切．
【详解】
解：∵⊙O的直径为6，
∴r=3，
∵圆心O到直线l的距离为3即d=3，
∴d=r
∴直线l与⊙O的位置关系是相切．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
9．D
解析：D
【分析】
根据旋转的性质可得BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，进而可得△ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得∠EAD＝90°，根据勾股定理可求出DE的长，即为AC的长
【详解】
解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE
，即
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.
【详解】
∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=﹣3.
故选B.
【点睛】
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
11．B
解析：B
【分析】
由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
12．A
解析：A
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：∵x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
则x=0或x-1=0，
解得：x1=0，x2=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题
13．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数然后根据概率公式求解【详解】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种则
解析：5 8
【分析】
画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是1016＝58 ． 故答案为：
58
． 【点睛】
此题考查列树状图求概率问题，难度一般． 14．5【分析】根据概率公式列出方程即可求出答案【详解】解：由题意得解得m ＝5经检验m ＝5是原分式方程的根故答案为5【点睛】本题主要考查了概率公式根据概率公式列出方程是解题的关键
解析：5
【分析】
根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，
10m 3610m 45
+=+++ 解得m ＝5，
经检验m ＝5是原分式方程的根，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．
15．【分析】确定阴影区域的面积在整个长方形中占的比例根据这个比例即可求出小鸟停在阴影区域中的概率【详解】如图所示∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDOA=OC ∴∠DCA=∠BAC 又∠COE=∠AOF ∴△O
解析：14
【分析】
确定阴影区域的面积在整个长方形中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在阴影区域中的概率．
【详解】
如图所示，
∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD，OA=OC，∴∠DCA=∠BAC
又∠COE=∠AOF
∴△OEC≌△OFA，
∴S△OEC=S△OFA，
∵OA=OC，
∴S△ABO= S△BOC= S△AOD
∴S△ABO=1
4S矩形ABCD，即阴影部分占矩形面积的
1
4
，
∴小鸟落在阴影部分的概率是1
4
.
故答案为：1 4 .
【点睛】
此题主要考查了概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．16．【分析】作A点关于BC的对称点A以A点为圆心以BC的长为半径作圆连接AA交BC于E点延长AA交⊙A与点D连接BDCD则∠BDC＝∠BAC＝×60°＝30°此时AD为最大值根据等边三角形的性质可求解A
解析：5
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E
点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BDC＝1
2
∠BA'C＝1
2
×60°＝30°，此时AD
为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E＝AE，A'D＝A'B＝AB＝5，进而可求
解．
【详解】
作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E
点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BDC＝1
2
∠BA'C＝1
2
×60°＝30°，此时AD
为最大值，
∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴BC＝AB＝5，
∴BE=1
2BC=
5
2
∴A'E＝AE A'D＝A'B＝AB＝5，
∴AD ＝AE ＋A'E ＋A'D ＝53＋5．
故答案为53＋5．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识的综合运用，解题的关键是根据题意作出示意图进行求解．
17．【分析】连接DO 交AC 于点F 由垂径定理得F 是AC 中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB 就可以求出OF 的长就得到BC 的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴
解析：42
【分析】
连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12
OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．
【详解】
解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，
∵D 是AC 的中点，
∴OD AC ⊥，AF CF =，
∴90DFE ∠=︒，
∵OA OB =，AF CF =， ∴12OF BC =
， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，
在EFD △和ECB 中，
90DFE BCE DEF BEC
DE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()EFD ECB AAS ≅，
∴DF BC =，
∴12
OF DF =
， ∵3OD =， ∴1OF =，
∴2BC =，
在Rt ABC 中，2242AC AB BC =
-=．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 18．2+【详解】过点E 作EM ⊥BD 于点M 如图所示：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAC=45°∠BCD=90°∴△DEM 为等腰直角三角形∵BE 平分
∠DBCEM ⊥BD ∴EM=EC=1cm ∴DE=EM=cm 由
解析：2+2
【详解】
过点E 作EM ⊥BD 于点M ,如图所示：
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BAC =45°，∠BCD =90°，
∴△DEM 为等腰直角三角形．
∵BE 平分∠DBC ，EM ⊥BD ，
∴EM =EC =1cm ，
∴DE
EM cm .
由旋转的性质可知：CF =CE =1cm ，
∴BF =BC +CF =CE +DE +CF
cm .
故答案为
19．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-
解析：()2,1-
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．
故答案为：（-2，1）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
20．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=
解析：3
【分析】
题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．
【详解】
解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
2222267117a b b c c a ++-+-=--，
即222226110a b b c c a ++-+-+=，
∴()()()222
3110a b c -+++-=， ∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
三、解答题
21．（1）1
2
；（2）公平，理由见解析
【分析】
（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．【详解】
解：（1）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）＝3
6＝
1
2
，
∴小颖参加比赛的概率为：1
2
；（2）公平，
∵P（小颖）＝1
2，P（小亮）＝
1
2
．
∴P（小颖）＝P（小亮），
∴游戏公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（1）1
3
，（2）
2
5
.
【分析】
（1）根据题意求出第18、19、20三排的座位总个数以及靠窗的座位个数便可求得概率；（2）根据题意画出树状图便可求解.
【详解】
（1）第18、19、20三排共18个座位，其中靠窗的座位有6个，
∴小悦选一个靠窗座位的概率为：6=
181
3
；
（2）根据题意画出树状图
由树状图可知，共有10种情况，其中小悦与父亲相邻的有4种
∴小悦选中与父亲邻座的概率为：42
=105
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 23．（1）①见解析；②见解析；（2）BE ﹣DE ＝2AE
【分析】
（1）①易证AD ＝AB ，EB ＝DF ，所以只需证明∠ADF ＝∠ABE ，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
②易证AEF 是等腰直角三角形，所以EF ＝2AE ，所以只需证明DE ﹣BE ＝EF 即可，由BE ＝DF 不难证明此问题；
（2）类比（1）不难得出（2）的结论．
【详解】
（1）①证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，
∵∠1和∠2都对AE ，
∴∠1＝∠2，
在ADF 和ABE 中，
12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADF ≌ABE （SAS ）；
②由①有ADF≌ABE，
∴AF＝AE，∠3＝∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°．
∴∠BAF+∠3＝90°．
∴∠BAF+∠4＝90°．
∴∠EAF＝90°．
∴EAF是等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2+AF2．
∴EF2＝2AE2．
∴EF＝2AE．
即DE﹣DF＝2AE．
∴DE﹣BE＝2AE．
（2）BE﹣DE＝2AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF．
∵AB＝AD，BF＝DE，∠ABE＝∠EDA，
∴ADE≌ABF（SAS），
∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°．
∴∠BAF+∠DAF＝90°．
∴∠DAE+∠DAF＝90°．
∴∠EAF＝90°．
∴EAF是等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2+AF2．
∴EF2＝2AE2．
∴EF2AE．
即BE﹣BF2AE．
∴BE﹣DE2．
【点睛】
本题为圆的综合题，本题主要考查圆周角定理、全等三角形的判定及勾股定理的运用等，有一定的综合性，难度适中．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，AD=AE ，即可证△BAD ≌△CAE ，可得BD=CE ；
（2）过点C 作CG ∥BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD ，∠BDG=∠G ，∠BFD=∠GFC ，可证△BFD ≌△CFG ，可得结论；
【详解】
（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴△ADE 是等边三角形，
在等边△ABC 和等边△ADE 中，
∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ；
（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，
∴∠G=∠BDF ，
∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠G=30°，
由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，
∵AD ⊥BP ，
∴∠BDA=90°，
∴∠CEA=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠CED=30°=∠G ，
∴CE=CG ，
∴BD=CG ，
在△BDF 和△CGF 中，
BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDF ≌△CGF （AAS ），
∴BF=FC ，
即F 为BC 的中点．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤
【分析】
（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．
（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；
【详解】
（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=
+，
∴4x =-，
∴点A 的坐标是()4,2--， 设(),2B
b -，点A 与点B 关于1x =-对称，
则()()141b ---=--， ∴2b =，
∴()2,2B -；
（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，
此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-， 则222
b b x a =-
==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；
②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，
∴顶点坐标为(),2m m +，
∴抛物线的解析式可化为()2
2y x m m =--++， 把点()4,2A --代入解析式可得，
()2242m m -=---++，
13m =-，24m =-，
∴43m -≤≤-，
把点()
2.2B -代入解析式得， ()2
222m m ---++=-， 30m =，45m =，
∴0＜5m ≤；
综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．
26．原正方形空地的边长为8m ．
【分析】
观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．
【详解】
解：设正方形空地的边长为xm ，由题意得
()()2142x x --=， 化简得23400x x --=，
解得1285x x ==-，，
因为0x ＞，故8x =，
答：原正方形空地的边长为8m ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．。