2020年高考课标版高考理科数学 4.4 解三角形

4.4解三角形
挖命题
【考情探究】
分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
破考点
【考点集训】
考点一正弦定理和余弦定理
1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin
B,c=,且cos C=,则a=()
A.2
B.3
C.3
D.4
答案B
2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为()
A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
答案C
3.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则
=.
答案1
考点二解三角形及其综合应用
1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为()
A. B. C. D.
答案B
2.如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()
A.10m
B.5m
C.5(-1)m
D.5(+1)m
答案D
3.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.
答案20或24
炼技法
【方法集训】
方法1 利用正弦、余弦定理解三角形
1.(2017广东珠海调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=()
A. B. C. D.
答案A
2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.
答案
3.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD=.
答案
方法2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
1.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-=-,则这个三角形必含有()
A.90°的内角
B.60°的内角
C.45°的内角
D.30°的内角
答案B
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.
解析(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
所以cos A=-=,
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.
由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=,
所以sin B+sin120°cos B-cos120°sin B=.
所以sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1.
因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.
所以B+30°=90°,即B=60°.
所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.
方法3 与面积、范围有关的问题
1.(2018河南中原名校联考,9)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2absin C=(b2+c2-a2),若a=,c=3,则△ABC的面积为()
A.3
B.3
C.2
D.
答案B
2.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-cos A=sin Acos C,且a=2,则△ABC面积的最大值为.
答案3
过专题
【五年高考】
A组统一命题·课标卷题组
考点一正弦定理和余弦定理
1.(2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()
A.5
B.
C.2
D.1
答案B
2.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.
答案
考点二解三角形及其综合应用
1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()
A. B. C. D.
答案C
2.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
解析(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,所以sin∠ADB=.
由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=-=.
(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
3.(2017课标Ⅲ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解析(1)由已知可得tan A=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.
解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)解法一:由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,
所以△ABD的面积为.
解法二:由余弦定理得cos C=,在Rt△ACD中,cos C=,
∴CD=,∴AD=,DB=CD=,
∴S△ABD=S△ACD=×2××sin C=×=.
解法三:∠BAD=,由余弦定理得cos C=,
∴CD=,∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=.
解法四:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE 中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=.
4.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos
A)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解析(1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)
2cos Csin(A+B)=sin C.
故2cos Csin C=sin C.(4分)
可得cos C=,所以C=.(6分)
(2)由已知,得absin C=.
又C=,所以ab=6.(8分)
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.(10分)
所以△ABC的周长为5+.(12分)
B组自主命题·省(区、市)卷题组
考点一正弦定理与余弦定理
1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A
答案A
2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=.
答案;3
4.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos-.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.
(1)在△ABC中,
由正弦定理=,可得bsin A=asin B,
又由bsin A=acos-,得asin B=acos-,
即sin B=cos-,可得tan B=.
又因为B∈(0,π),可得B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,
有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.
由bsin A=acos-,可得sin A=.又a<c,故cos A=.
因此sin2A=2sin Acos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2Acos B-cos2Asin B=×-×=.
解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos-是求解第(1)问的关键;
(2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c确定cos A>0是求解第(2)问的关键.
失分警示(1)由于忽略a<c这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解;
(2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.
考点二解三角形及其综合应用
1.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.
答案9
2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.
答案;
3.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.
(1)求∠A;
(2)求AC边上的高.
解析(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B=-=.
由正弦定理得sin A==.
由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.
所以∠A=.
(2)在△ABC中,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以AC边上的高为asin C=7×=.
方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.
4.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin
B=.
(1)求b和sin A的值;
(2)求sin的值.
解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.
(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.
由正弦定理=,得sin A==.
所以,b的值为,sin A的值为.
(2)由(1)及a<c,得cos A=,
所以sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=-.
故sin=sin2Acos+cos2Asin=.
方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.
2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.
C组教师专用题组
考点一正弦定理与余弦定理
1.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()
A. B. C.- D.-
答案C
2.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.
答案8
3.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.
答案1
4.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=. 答案
5.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.
答案1
6.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于. 答案7
7.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.
答案-
8.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.
答案2
9.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若cos B=,求cos C的值.
解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,
所以,B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以,A=2B.
(2)由cos B=得sin B=,
cos2B=2cos2B-1=-,
故cos A=-,sin A=,
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.
评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
10.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD 的长.
解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sin B===,
由题设知0<B<,所以cos B=-=-=.
在△ABD中,由正弦定理得AD=
=
-
==.
11.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,
所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
BD===3,
所以BC=5.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
=82+52-2×8×5×=49.
所以AC=7.
评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识,考查分析推理、运算求解能力.
考点二解三角形及其综合应用
1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()
A.3
B.
C.
D.3
答案C
2.(2015课标Ⅰ,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.
答案(-,+)
3.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.
答案
4.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.
答案-
5.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为. 答案
6.(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.
7.(2016山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan
B)=+.
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
解析(1)证明:由题意知2=+,
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B.
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.
(2)由(1)知c=,
-
所以cos C=-=
=-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.
8.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
解析(1)由余弦定理及题设得cos B=-==.
又因为0<∠B<π,
所以∠B=.(6分)
(2)由(1)知∠A+∠C=.
cos A+cos C=cos A+cos-
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A
=cos-.(11分)
因为0<∠A<,
所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)
9.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB①,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC②.
①+2×②得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
10.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=,
由于0<A<π,所以A=.
(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC的面积为absin C=.
11.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.
又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.
(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,
所以A∈.
于是sin A+sin C=sin A+sin-
=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1
=-2-+.
因为0<A<,所以0<sin A<,
因此<-2-+≤.
由此可知sin A+sin C的取值范围是.
12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sin Ccos C,
解得tan C=2.
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.
又因为sin B=sin(A+C)=sin,
所以sin B=.
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.
评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 13.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得
cos∠CAD=-==.
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,
所以sin∠CAD=-=-=,
sin∠BAD=-=--=.
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=×--×=.
在△ABC中,由正弦定理,得=,
故BC===3.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sin C=sin A+sin B,cos C=且S△ABC=4,则c=()
A. B.4C. D.5
答案A
2.(2018山东菏泽3月联考,8)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-=0,a2=bc,b>c,则=()
A. B.2C.3D.
答案B
3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a的最小值为()
A.2
B.2
C.3
D.2
答案A
4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=,则△ABC的外接圆的半径为() A.1B.2C.3D.4
答案A
5.(2018河南郑州一模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为()
A.28
B.36
C.48
D.56
答案C
6.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=c,则tan(A-B)的最大值为()
A. B. C. D.
答案A
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2019届安徽黄山11月八校联考,15)在△ABC中,∠B=60°,b=,则当c+2a取最大值
时,sin C=.
答案
8.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cos A=,cos B=,c=,则a=.
答案
三、解答题(共45分)
9.(2019届广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B.
(1)证明:△ABC为等腰三角形;
(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.
解析(1)证明:由正弦定理得2bccos A+a2=2cb,
由余弦定理得2bc·-+a2=2bc,化简得b2+c2=2bc,所以(b-c)2=0,即b=c,故△ABC为等腰三角形.
(2)如图,由已知得BD=2,DC=1,
∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,
∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,
∴-=--,即-=--,
得2b2+c2=9,由(1)知b=c,∴b=.
10.(2019届湖北、山东重点中学一联,17)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知acos A=R,其中R为△ABC外接圆的半径,S为△ABC的面积,a2+c2-b2=S.
(1)求sin C;
(2)若a-b=-,求△ABC的周长.
解析(1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,∴sin2A=1.又∵0<2A<2π,∴2A=,则A=.
S=acsin B,∴a2+c2-b2=··acsin B,
由余弦定理得2accos B=acsin B,∴tan B=.
又0<B<π,∴B=.
∴sin C=sin(A+B)=sin=.
(2)由正弦定理得==,
∵a-b=-,∴
∴c=·=,
∴△ABC的周长为a+b+c=++.
方法总结本题主要考查正弦定理和余弦定理的边角互化与特殊角的三角函数值,属于简单题.对于余弦定理,一定要熟记两种形式:(1)a2=b2+c2-2bccos A;(2)cos A=-.
11.(2019届清华大学能力诊断测试,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
-=-.
(1)求角C的值;
(2)若a+b=4,当边c取最小值时,求△ABC的面积.
解析(1)由条件和正弦定理可得-=2b-a,整理得b2+a2-c2=ab,由余弦定理得cos C=.又∵C是三角形的内角,∴C=.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab.
∵a+b=4,∴c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=16-3ab,
∴c2=16-3ab≥16-3·=4(当且仅当a=b=2时等号成立).∴c的最小值为2,故S△ABC=absin
C=.
12.(2018河南顶级名校联考,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2+ac=b2,sin A+cos B=0.
(1)求cos C;
(2)若△ABC的面积S=,求b.
解析(1)由a2+c2+ac=b2,得a2+c2-b2=-ac,
∴cos B=-=-=-.
∵0<B<π,∴B=.又∵sin A+cos B=0,
∴sin A=-cos B=-×-=,又0<A<,
∴cos A=-=-=.
∴cos C=cos-=cos A+sin A=×+×=.
(2)由(1)可得sin C=-=-=.
由S=acsin B及题设条件,得acsin=,∴ac=5.
由==,得==,
∴b2=ac=×5=25,
∴b=5.。