2019-2020学年山东省潍坊市第三中学高三数学文月考试卷含解析

2019-2020学年山东省潍坊市第三中学高三数学文月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是
A. 492
B. 382
C. 185
D. 123
参考答案：
D
由题意满四进一，可得该图示是四进位制，
化为十进位制为：.
故选D
2. 对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，
则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
令，则，
所以为上单调递增函数，
因为，所以，即．
3. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，选A.
4. 已知实数x,y满足，则x+2y的最大值是（）
A．-1 B． C．0 D．1
参考答案：
D
略
5. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
6. 在中,已知,且,则( )
A.
B. C.
D.
参考答案：
A
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
参考答案：
8. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
不妨设双曲线的方程为，右焦点为，虚轴的端点为，则直线的斜率为，双曲线的一条渐近线为，渐近线的斜率为，因为两直线垂直，所以有，即，所以，整理得，即，解得双曲线的离心率，选D.
9. 函数是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．（0，1）B．C．D．
参考答案：
B
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据函数y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是减函数，再根据函数y=a x在[0，+∞）上是减函数，最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=a x的最小值即可．
【解答】解：由题意可得f（x）=a x是减函数
∴0＜a＜1
又∵是R上的减函数
∴当x=0时3a≥a0
即3a≥1
∴a
又∵0＜a＜1
∴
∴a的取值范围是
【点评】分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，再根据最值的大小保证函数在R上具有单调性．
10. 函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）
A．B． C．1 D．2
参考答案：
D
∵，∴，
当且仅当时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a2a3=5，a7a8a9=10，则
a19a20a21= ．
参考答案：
40
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知两式相除可得比为q满足q18=2，而所求式子等于a1a2a3（q18）3，代入计算可得．
解答：解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∴q18===2，
∴a19a20a21=a1q18a2q18a3q18
=a1a2a3（q18）3=5×23=40
故答案为：40
点评：本题考查等比数列的性质，得出q18=2是解决问题的关键，属基础题．
12. 给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；
②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是
④函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）
参考答案：
①②④
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．
②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断．
③根据几何概型的概率公式进行判断．
④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可．
【解答】解：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；故①正确，
②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；正确，当点P的坐标满足
y=时，函数f（x）为奇函数．故②正确，
③若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是．如图．所以③错误
④因为函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，
即：在[2，+∞）上恒成立，
令，
因为x≥2，所以，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，
所以．则实数a的取值范围是（﹣∞，）．故④正确，
故答案为：①②④
13. 已知数列{a n}满足a1=，a n+1=若b n=log2a n﹣2，则b1?b2?…?b n的最大值为．
参考答案：
【考点】数列递推式．
【分析】数列{a n}满足a1=，取对数可得：log2a n+1=1+．由b n=log2a n﹣2，代入可得：b n+1=b n，利用等比数列的通项公式可得：b n=﹣10×．代入b1?b2?…?b n=（﹣10）n×=（﹣10）n×=f（n）．作商=，只考虑n为偶数时，即可得出．
【解答】解：数列{a n}满足a1=，
∴log2a n+1=1+．
∵b n=log2a n﹣2，
b n+1+2=1+，变形为：b n+1=b n，
b1=﹣2=﹣10．
∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣10，公比为．
∴b n=﹣10×．
则b1?b2?…?b n=（﹣10）n×=（﹣10）n×=f（n）．
=，只考虑n为偶数时，
n=2时，=＞1．
n=4时，=＜1．
因此f（4）取得最大值．最大值为（﹣10）4×2﹣6=．
故答案为：．
14. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围
是 .
参考答案：
15. 设函数，则“为奇函数”是“”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
参考答案：
略
16. 在△ABC中，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若
=+λ，则λ的值为
．
参考答案：
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】方程思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】根据题意得出G是△ABC的重心，用、表示出向量，用表示出，写出的表达式，利用向量相等列出方程组求出λ的值．
【解答】解：由已知得G是△ABC的重心，因此=（+），
由于∥，因此设=k，
所以=（+），
那么=+=+（+1），
=+λ，
所以，
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，也考查平面向量的基本定理，是基础题目．
17. 已知数列中，，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为 .
参考答案：
11
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与
的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

参考答案：
（1）设椭圆方程为，则依题意有，，
得到：，所以椭圆方程为。

………………4分
（2）依题意，设直线的方程为，它与OA相距4,可以得到。

[………………8分
科.另一方面，联立，若直线与椭圆有交点，则，得到：，因为，所以不存在这样的直线满足题目要求。

………………12分
略
19. （12分）已知定义在上的三个函数，，
，且在处取得极值．w_w w. k#s5_u.c o*m
（Ⅰ）求a的值及函数的单调区间.
（Ⅱ）求证：当时，恒有成立.
参考答案：
解：（Ⅰ），，，∴．2分
而，，令得；令得．∴函数单调递增区间是；单调递减区间是．4分（Ⅱ）∵，∴，∴，
欲证，只需要证明，即证明，6分
记，∴，
当时，，∴在上是增函数，
∴，∴，即，
∴，故结论成立．
略
20. 在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

（1）求证：；（2）若AC=3，求的值。

参考答案：
解：（1），～，
又（5分）
（2）～，
（10分）
略
21. 已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；
（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时
ab=0；当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．
解答：解：（1）由函数f（x）=e x﹣ax+a，可知f′（x）=e x﹣a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，
故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，
+∞）；
（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；
当a=0时，此时ab=0；
当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min（x），
∵f min（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，
设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，
当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
所以，即当，时，ab的最大值为．
点评：本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
22. 已知函数．
（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；（2）设，已知在(0,+∞)上存在两个极值点，且，求证：（其中e为自然对数的底数）．
参考答案：
（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）函数关于原点对称的函数解析式为．函数与的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程在有解．即
，，令，，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
，
,，，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证.
【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，
即的图像与函数的图像有交点，
即在上有解.
即在上有解.
设，（），则
当时，为减函数；当时，为增函数，
所以，即.
（2），
在上存在两个极值点，，且，
所以
因为且，所以，
即
设，则
要证，即证，
只需证，即证
设，，
则在上单调递增，，
即
所以，即.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。