七年级数学下册 第九章《因式分解》复习练习 北京课改版

第九章 因式分解
一、分解因式
1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4。

2. 5x n+1－15x n ＋60x n －1。

3.()()431241a b a b ---
4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2
5. x 4-1
6.－ａ2－b 2＋2ab ＋４分解因式。

7. 134+--x x x
8.()()422223612y y y y x y y x -++-+
9. ()()()()4
22223612y x y x y x x y x x +-+++-+
10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac
11.x 2-2x-8
12．3x 2+5x-2 13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.
15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。

16.把多项式5x 2―6xy―8y 2分解因式。

二证明题
17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。

18.设n为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：
2
1
27
8+
++n
n
是57的倍数.
19.求证：无论x、y为何值，
35
30
9
12
42
2+
+
+
-y
y
x
x的值恒为正。

20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。

三求值。

21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .
22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

因式分解精选练习答案
一分解因式
1. 解：原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2
=2xy2 (x3－2x2＋5y2)。

提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。

2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是x n-1，提公因式时x n+1提取x n-1后为x2，x n提取x n--1后为x。

解：原式=5 x n--1·x2－5x n--1·3x＋5x n--1·12
=5 x n--1 (x2－3x＋12)
3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)
=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)
提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)
立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)
所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)
4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2
=(ax+bx-ay+by)2
提示：将（a+b）x和（a-b）y视为一个整体。

5.解：原式=( x2+1)( x2-1)
=( x2+1)(x+1)(x-1)
提示：许多同学分解到(x2+1)( x2-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。

6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－４）
＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）
提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如－９x2＋４y２＝（－3x）２－（2y）2＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的错误。

7. 解：原式= x4-x3-(x-1)
= x3(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x3-1)
=(x-1)2(x2+x+1)
提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。

另外，本题的结果不可写成(x-1)(x-1)( x2+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。

*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)( x2+x+1)
8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4
=y2(x+y-6)2-y4
=y2[(x+y-6)2-y2]
=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)
= y2(x+2y-6)(x-6)
9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4
=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]
=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)
= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=（a2+b2 +2ab）+2bc+2ac+c2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=(a+b+c)2
提示：*将(a+b)视为 1个整体。

11.解：原式=x2-2x+1-1-8 *
=(x-1)2-32
=(x-1+3)(x-1-3)
=(x+2)(x-4)
提示：本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

12．解：原式=3(x2+5
3x)-2
=3(x2+5
3x+
25
36-
25
36)-2 *
=3(x+5
6)2-3×
25
36-2
=3(x+5
6)2-
49
12
=3[(x+5
6)2-
49
36]
=3(x+5
6+
7
6)(x+
5
6-
7
6)
=3(x+2)(x-1 3)
=(x+2)(3x-1)
提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。

对于任意二次三项式ax2+bx+c(a
≠0)可配成a(x+2b
a )2+244ac
b a .
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=( x 2+5x+4)( x 2
+5x+6)+1
令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1
=a 2+10a+25
=(a+5)2 =(x2+5x+5)
提示：把x 2
+5x 看成一个整体。

14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
=( x 2+5x+6)( x 2+5x+4)-120
令 x 2+5x=m, 代入上式,得
原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96
=(m+16)(m-6)=( x 2+5x+16)( x 2+5x-6)=( x 2+5x+16)(x+6)(x-1)
提示：把x 2+5x 看成一个整体。

15．解：原式＝(x+2)(3x+5)
提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分
成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。

分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。

需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。

⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

ax c
二次项常数项
bx d
adx+bcx=(ad+bc)x 一次项
ab x2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)
16. 解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)
x －2y
5x 4y
－6xy
二证明题
17．证明： 原式=31998(32－4×3＋10)= 31998×7， ∴ 能被7整除。

18.证明： 21278+++n n
=8（82n-7n ）+8×7n+7n+2
=8（82n-7n ）+7n(49+8)
=8（82n-7n ）+57•7n
21278+++n n 是57的倍数.
19.证明：3530912422+++-y y x x
=4 x 2-12x+9+9 y 2+30y+25+1
=(2x-3) 2+(3y+5) 2+1
≥1.
20.解：∵x 2+y 2-4x+6y+13=0
∴x 2-4x+4+y 2+6y+9=0
(x-2) 2+(y+3) 2=0
(x-2) 2≥0, (y+3) 2≥0. x-2=0且y+3=0
x=2,y=-3
三 求值。

21.解：∵a-b=8
∴a=8+b
又ab+c2+16=0
即∴（b+8）b+c 2+16=0
即(b+4)2+c 2=0
又因为，(b+4) 2≥0，C 2≥0,
∴b+4=0,c=0, b=-4,c=0,a=b +8=4
∴a+b+c=0.
22． 解：设它的另一个因式是x 2+px+6,则 X 4-6x 3+mx 2+nx+36
=(x 2+px+6)(x 2+3x+6)
=x 4+(p+3)x 3+(3p+12)x 2+(6p+18)x+36 比较两边的系数得以下方程组： 36
312618p p m
p n +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解得
9
15
36p m n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩。