4【课件(人教版)】第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．cos4 1π2－sin4 1π2等于
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
解析：选 D.原式＝cos2
1π2－sin2
1π2cos2
1π2＋sin2
π
12
＝cos π6＝ 23.
()
2．求下列各式的值．
(1)1－tatnan3203°0°；
(2)sin
110°－cos
3 10°.
解：(1)1－tatnan3203°0°＝121×－2ttaann23300°°
(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x ＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x； ②cos 2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x ＝2sinπ4－xcosπ4－x.
1．已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝
A．274
2．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于
7
12
12
24
A.5
B. 5
C.25
D.25
答案：D
()
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于
1 A.2 答案：B
2 B. 2
3 C. 3
3 D. 2
()
4．已知 tan α＝43，则 tan 2α＝________． 答案：－274 5．已知 sin α＋cos α＝13，则 sin 2α＝________． 答案：－89
公式
推导
正弦
sin 2α＝ __2_s_in__α_c_o_s_α_____
S(α＋β)令―β―＝→αS2α
记法 S2α
名称 余弦 正切
公式
cos 2α＝ __c_o_s_2α__－__si_n_2_α_____ ＝___2_c_o_s_2_α_－__1______ ＝____1_－__2_s_i_n_2_α_____
所以 cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×132＝79.
答案：13
7 9
3.cos
1π2－sin
1π2cos
1π2＋sin
1π2的值为________．
解析：原式＝cos21π2－sin21π2
＝cos
π6＝
3 2.
答案：
3 2
4．已知
α∈π2，π，sin
α＝
5 5.
(1)求 sin 2α，cos 2α 的值；
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
二倍角的正弦、余弦、正切 会推导二倍角的正弦、余
公式
弦、正切公式
能够灵活运用二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切
tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α _________________
推导 C(α＋β)令―β―＝→αC2α 利用 sin2α＋cos2α＝1 消去 sin2α 或 cos2α
T(α＋β)令―β―＝→αT2α
记法 C2α T2α
■微思考 (1)所谓的“二倍角”公式，就是角 α 与 2α 之间的转化关系，对吗？
A．118
B．－118
C．1178
D．－1187
解析：选 D.cos 2α＝sinπ2－2α
＝sin 2π4－α
()
＝2sinπ4－αcosπ4－α，代入原式， 得 6sinπ4－α·cosπ4－α ＝sinπ4－α.因为 α∈π2，π， 所以 cosπ4－α＝16， 所以 sin 2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1178.
sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×－53＝－2245.
所以 cos2α－π4＝cos 2α·cos
π4＋sin 2α·sin
π4＝－275×
22＋－2254×
2 2
＝－3150 2.
三角函数求值问题的一般思路 (1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、 函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)求 cos56π－2α的值．
解：(1)因为 α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以 cos α＝－
1－sin2α＝－2
5
5 .
sin 2α＝2sin αcos α＝2× 55×－255＝－45，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35.
பைடு நூலகம்
(2)由(1)知 cos56π－2α＝cos56πcos 2α＋sin56πsin 2α
提示：不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这 就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．
(2)公式中的角 α 是任意角吗？
提示：对于公式 S2α，C2α 中的角 α 是任意角，但是 T2α 中的角 α 要保证 tan α 有意义且分母 1－tan2α≠0.
探究点 2 给值求值 已知π2<α<π，sin α＝45.
(1)求 tan 2α 的值； (2)求 cos2α－π4的值．
【解】 (1)由题意得 cos α＝－35， 所以 tan α＝－43， 所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－－83196＝274.
(2)因为 sin α＝45，所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×452＝－275，
探究点 3 化简与证明 (1)化简2tanπ42－cosα2αsi－n21π4＋α；
(2)证明 tanπ4＋α－tanπ4－α＝2tan 2α.
【解】 (1)原式＝2tanπ4－αcocso2s2απ2－π4－α ＝2tanπ4－coαsc2oαs2π4－α ＝2sinπ4－coαsc2oαsπ4－α ＝sinc2o×sπ42－α2α＝ccooss 22αα＝1.
B．－274
C．274
D．－274
()
解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatannx2x＝12－×－－34342 ＝－274，故选 D.
2．若 α∈π2，π，且 3cos 2α＝sinπ4－α，则 sin 2α 的值为
＝cosπ3＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°
＝－ 3.
π π 2π
2π 2π
2sin (4)原式＝
5cos
5cos π
5
sin ＝
5 cos π
5
2sin 5
2sin 5
sin ＝
4π 5 π
＝
sin
π 5π＝14.
4sin 5 4sin 5
1．若 α 为第三象限角，则
1＋cos cos α
2α－
1－cos sin α
2α＝________．
解析：因为 α 为第三象限角，所以 cos α＜0，sin α＜0，
所以
1＋cos cos α
2α－
1－cos sin α
2α＝
c2ocsosα2α－
2sin2α sin α
－ ＝
2cos cos α
探究点 1 给角求值 求下列各式的值．
(1)sinπ8cosπ8； (2)cos2π6－sin2π6； (3)1－2tatann125105°0°；
π 2π (4)cos 5cos 5 .
【解】
(1)sinπ8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12× 22＝
2 4.
(2)cos2π6－sin2π6＝cos2×π6
＝12tan
60°＝
3 2.
(2)原式＝cossi1n01°0°－co3ssi1n0°10°
＝212cossin1100°°－co2s31si0n°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4sisnin（（320°×－10°10）°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
α－－
2sin sin α
α＝0.
答案：0
2．求证：41s＋incαocso2sαα·cos2cαo－s2αsin2α＝tan 2α. 证明：左边＝22scions22αα·ccooss22αα＝tan 2α＝右边．
1.12－sin215°＝
6 A. 4
6－ 2 B. 4
3
3
C. 2
D. 4
解析：选 D.12－sin215°＝1－2s2in215°
给角求值问题的两类解法 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系 对已知式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公 式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得 问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
(2)证明：法一：左边＝csoinsπ4π4＋＋αα－csoinsπ4π4－－αα＝
sinπ4＋αcosπ4－α－sinπ4－αcosπ4＋α cosπ4＋αcosπ4－α
＝csoisnπ4π4＋＋ααs－inπ4π4＋＋αα
＝12sisninπ2＋2α2α＝2csoisn22αα＝2tan 2α＝右边． 所以等式成立． 法二：左边＝11－＋ttaann αα－11－ ＋ttaann αα＝1－4tatannα2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．
＝cos230°＝
3 4.
()
2．(一题两空)已知 sin θ2＋cos θ2＝233，那么 sin θ＝________，cos 2θ＝ ________．
解析：因为 sin θ2＋cos θ2＝233，
所以sin
θ2＋cos
θ22＝43，
即 1＋2sin θ2cos θ2＝43，
所以 sin θ＝13，
三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论： (sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法 左边
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，右边 ＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α 是 5α 的倍角，5α 是52α的倍角． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角． (3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立． (4)对于任意角 α，总有 tan 2α＝1－2tatannα2α.
(√ ) (× ) (√ ) (× )
解决求值、化简和证明等问 公式的应用
题
核心素养 逻辑推理
数学运算、 逻辑推理
问题导学 预习教材 P220－P223，并思考以下问题： 1．在公式 C(α＋β)，S(α＋β)和 T(α＋β)中，若 α＝β，公式还成立吗？ 2．在上述公式中，若 α＝β，能得出什么结论？
二倍角的正弦、余弦、正切公式
名称
＝－
23×35＋12×－54＝－4＋130
3 .
word部分：
请做：应用案 巩固提升
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