江苏省扬中市第二高级中学2019年暑期高中数学复习自测系列(13. 基本不等式)(有答案)

高中数学暑假复习自测系列 姓名
13. 基本不等式
【知识要点】一、不等式的基本性质：
①若ab>0，b a
<，则
b
a 1
1>。

即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若0,>b
a ，则
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2
)2
(b a ；
②若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+，
222)2
(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当p ab =（常数），当且仅当 时， ；
当S b
a =+（常数）
，当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方；
三、常用的基本不等式：
（1）设R b a ∈,，则0)(,022
≥-≥b a a
（当且仅当 时取等号）
（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）
（3）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<b
a 1
1 ；
【自测训练】
1. 已知： （1）x x y 4+= （2）)0(sin 4
sin π<<+=x x x y （3）9
1322++=
x x y （4）x
x y -+⋅=224 （5）)10(3log 4log 3<<+=x x y x
则其中最小值是4的函数有 (填入正确命题的序号)
2.已知+
∈R b a ,,如果1=ab ，那么b a +的最小值为 ；如果12
2=+b a ，那么ab 的最大值为 .
3．已知,a b R ∈，且满足31a b +=，则ab 的最大值为___________________.
4．函数)1(1
2
2)(2->+++=x x x x x f 的图象的最低点的坐标是 。

5．已知正实数y x ,满足12
1=+y
x ，则y x 2+的最小值为_________________。

6.已知10<<x 时，则x
x x y 22
22log 5
log log 2++=的最大值为 .
7．若3x >-，则2
3
x x ++的最小值为
8.若,1->x 则函数2
1
++=x x y 的最大值为 .
9.设11
0,0,1,x y x y x y
><-=-则
的最小值为 10.设x ≥0, y ≥0, x 2+22
y
=1,则21x y +的最大值为＿＿
11.若0>x ，则函数12++=x x x
y 的最大值为 .
12．已知,x y 是正实数，则162y x
x x y
++的最小值为 .
13．已知,x y 是正实数，且满足1x y +=，则4121
x y +++的最小值为 . 14．若已知0,,>c b a ，则bc
ab c b a 22
22+++的最小值为 （待定系数法）
15．（1）若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的取值范围.
（2）设y x xy y x R y x +=++∈+求且,2,,的的取值范围.
16.（1）设a ，b >0，a ＋b ＝5，求a ＋1＋b ＋3的最大值．
（2）若,,R y x ∈若142
2=++xy y x ，求y x +2的最大值.
17．（1）设,x y 均为正实数，且111223
x y +=++，求xy 的最小值.
（2）若0,0,a b >>且11
121
a b b +=++，求2a b +的最小值.
（3）若存在正实数y x ,，使得
y
x x y xy 451
+=-成立，求实数x 的最大值.
18．某公司设计如图所示的环形绿化景观地带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中AB,DC ）和两个半圆构成，设m x xm AB 80,≥=且．（1）若内圈周长为400m,则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为222500
m π
,则x 取何值时，内圈周长最小？
【参考答案】 【知识要点】
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若0,>b
a ，则
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a
+2
)2
(b a ab ；
②若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+，
222)2
(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当p ab
=（常数）
，当且仅当 a
b = 时， min ()a b += 当S b
a =+（常数）
，当且仅当 a b = 时， 2
max ()()2
S ab = ； 常用的方法为：拆、凑、平方；
三、常用的基本不等式：
（1）设R b a ∈,，则0)(,022
≥-≥b a a
（当且仅当 a b = 时取等号）
（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a -≥||（当且仅当 0a ≤ 时取等号）
（3）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<b
a 1
1
0a b ab -> ； 【自测训练】
1. 已知： （1）x x y 4+= （2）)0(sin 4
sin π<<+=x x x y （3）9
1322++=
x x y （4）x
x y -+⋅=224 （5）)10(3log 4log 3<<+=x x y x
则其中最小值是4的函数有 (4) (填入正确命题的序号)
2.已知+
∈R b a ,,如果1=ab ，那么b a +的最小值为 2 ；如果122=+b a ，那么ab 的最大值为
1
2
. 3．已知,a b R ∈，且满足31a b +=，则ab 的最大值为_______
1
12
_____. 4．函数)1(1
2
2)(2->+++=x x x x x f 的图象的最低点的坐标是 (0,2) 。

5．已知正实数y x ,满足12
1=+y
x ，则y x 2+的最小值为_____9______。

6.已知10<<x 时，则x
x x y
22
22log 5
log log 2++=的最大值为 2-
7．若3x >-，则2
3
x x ++的最小值为 3
8.若,1->x 则函数21
++=x x y 的最大值为 12
.
9.设11
0,0,1,x y x y x y
><-=-则的最小值为 4
10.设x ≥0, y ≥0, x 2+2
2
y
=1,
则的最大值为＿＿
4
11.若0>x ，则函数1
2++=x x x
y 的最大值为 13 .
12．已知,x y 是正实数，则162y x
x x y
++的最小值为 6 .
13．已知,x y 是正实数，且满足1x y +=，则41
21x y +++的最小值为 94
. 14．若已知0,,>c b a ，则bc ab c b a 22
22+++的最小值为 5
（待定系数法）
15．（1）若正数,a b 满足3
ab a b =+
+，求ab 的取值范围. 解：
3,33,9.ab a b a a b ab =++∴-=+≥≥≥即ab
（2）设y x xy y x R y x +=++
∈+求且,2,,的的取值范围. 解：
2
,,2,2(
) 2.2
x y x y R x y xy x y xy x y ++∈++=∴+-=≤⇒+≥且 16.（1）设a ，b >0，a ＋b ＝5，求a ＋1＋b ＋3的最大值．
解：解析：令t ＝
a ＋1＋
b ＋3，
则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)
＝9＋2
(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3
＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，
此时a ＝72
，b ＝3
2
.
∴t max ＝18＝32，即a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.
（2）若,,R y x ∈若142
2=++xy y x ，求y x +2的最大值.
解：2222222max 33241(2)13(2)(),222
3810,,2855
x y x y xy x y xy x y t t x y t +++=⇒+-==
≤∴--≤∴≤∴+==设2x+y=t t
17（1）设,x y 均为正实数，且
111223
x y +=++，则xy 的最小值为 . 解：设11111
2,2,20,20333
a b x a y b x a
y b a b ab a b ab ++=+=∴=->=->+=⇒
=⇒+=，即 21
(2)(2)2()44432
xy a b ab a b ab ab ab ∴=--=-++=-+=+
11136,163ab xy a b =+≥∴≥∴≥，所以xy 的最小值为16. （2）若0,0,a b >>且11
121
a b b +=++，求2a b +的最小值.
解：设111
2,1,10,12
x y a b x b y a b y x y -++=+=∴
+=∴=>=-，
1333113
22(1)()()2222222
133331
2332222222
x y x y x y a b y x y x y y x -+∴+=+-=+-=++-
=+++-≥+-=+
所以2a b +的最小值为1
3.2
+
（3）若存在正实数y x ,，使得y
x x y xy 451
+=-成立，求实数x 的最大值. 解：221
(5)054xy x x y x y x x y
=+-+=-+可化为关于y 的一元二次方程(4)y 有正数解， 222
211=(51)16015051555
08x x x x x x x x ⎧⎧≥≤∆--≥⎪⎪⎪⎪∴⇒∴<≤⎨⎨-->⎪⎪-<<⎪⎪⎩
或0<，所以实数x 的最大值为为1.5. 18．某公司设计如图所示的环形绿化景观地带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中AB,DC ）和两个半
圆构成，设m x xm AB 80,≥=且．（1）若内圈周长为400m,则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为
222500
m π
,则x 取何值时，内圈周长最小？
（1）设中间矩形长xm,宽ym. 2x ＋πy ＝400
面积＝xy ＝x （400-2x ）/π 设f （x ）＝x （400-2x ）/π
则f （x ）对称轴为x ＝-(400/π)/[2×(-2/π)]＝100 此时f （100）＝2×10^4/π
∴当x ＝100m 时面积可达到最大为2×10^4/π㎡ （2）设圆周长为y ，则圆半径为
π
2，内圈总面积为ππππ22500
22)2(
2=
⋅⋅+⋅x y y 1800804
22500≤<⇒≥-=∴y y y x
则内圈周长为：)300(2122
y
y x y +
=+在]180,0(∈y 上递减， 所以当180=y ，m x 80=时，内圈周长最小.。