2019 河北衡水中学绝密理数押题卷
河北省衡水金卷2019届高三第一次押题考试数学(理)试卷
河北省衡水金卷2019届高三第一次押题考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合M={}，集合N={}，(e为自然对数的底数)则=（）A. {}B. {}C. {}D.【答案】C【解析】试题分析：，，故＝．考点：集合的运算．2.已知复数，则复数的模为（）A. 2B.C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴．故选C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．3.若命题p为：为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。
《2019年衡水金卷先享题押题卷》理科数学(理)(Ⅰ)(答案)
2+ (-2)2 1 1 2 =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACBCCBDDBDBA1. 【答案】A【解析】由题意，N ={y |y >0}=(0,+∞) ，又∵ M = [-1,2]，∴M ∩N =（0，2]．故选 A ．2. 【答案】C【解析】由（i –2）z =4+3i ，得z =4+3(43i +2i -5-10- -= i -22-(+i2-i -5= =--12， 则 | z |= (-1)=5 ，故选 C ．3. 【答案】B【解析】∵sin α = 3 ，∴sin （ π - 2α）=cos2α=1–2sin 2α=1–2×（ 3 7 ） ．故选 B ．4. 【答案】C5. 【答案】C52 5 25【解析】由三视图还原原几何体如图，可以看作正方体的一部分，该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，正方体的棱长为 2，∴该几何体的表面积为 S =2⨯ ⨯ 2×2+2⨯ ⨯ 22 ⨯2=4+4 2 ． 故 选 C ．2 26. 【答案】B【 解 析 】 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1S =+ + + 的值，S = + + + =（1 - ）+（ - ）+…+（ - ） 1⨯ 2 2 ⨯ 3 10⨯11 1⨯ 2 2 ⨯ 3 10⨯11 2 2 3 10 11 =1 - 1 = 10．故选 B ．学科/网11 11 7. 【答案】Dππππ π【解析】所有的基本事件构成的区间长度为 - （ - ） = ，当 x ∈[- , ] 时 ， 由 0≤sin2x <，4 4 2 4 4 2π π 解 得 0≤2x <， 则 0≤x <，所以由几何概型公式可得 sin2x 的值介于 0 到之间的概率为362π- 0 P = 6= 1 ，故选 D ． π 328. 【答案】D【解析】由题意， 2a = x + y ≥ 2 xy ，∴ a 2 ≥ xy ，又9. 【答案】Bxy = bc，∴a 2≥bc ，故选 D ．10. 【答案】D【解析】如图，连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 CN 交 BM 于点 G ，连接OG ，由 AN ∥平面 BDM ，可得AN ∥OG ，∵OA =OC ，∴CG =NG ，∴G 为 CN 的中点，作 HN ∥BM ，∴CM =HM ，∵PM ∶MC =3∶1，∴PH =HC ，∴PN ∶NB =PH ∶HM =2∶1，故选 D ．11. 【答案】B12. 【答案】A【解析】由题意，f'(x ) = 6x 2- 2(6a + 3)x +12a = 6(x -1)(x - 2a ) ，a <0，当 x <2a 或 x >1 时，f'(x ) >0，函数 f (x ) 单调递增，当 2a <x <1 时，f' x <0，函数f (x ) 单调递减，故（f x ）的极小值是（ ）f 1 =16a 2+6a –1， ∴16a 2+6a –1>0，又 a <0，所以 a13. 【答案】31，故选 A ．21【解析】根据题意，计算这组数据的平均数为：x =3．学科&网14. 【答案】39⨯（20×2+15×3+10×4+5×5）=3．故答案为： 50 【解析】∵数列{a n }是等差数列，∴ a 2 + a 6 + a 7 + 2a 10 = (a 2 + a 10 ) + (a 6 + a 10 ) + a 7 = 2a 6 + 2a 8 + a 7 =5a = 15 ，∴ a = 3 ，∴ S = 13(a + a ) = 13a = 13⨯ 3 = 39 ．故答案为：39． 7 7 13 2 1 13715. 【答案】–4【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 A （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2），设 P （x ，y ），则 PA + PB = （–x ，–y ）+（2–x ，–y ）=（2–2x ，–2y ）， PC + PD =（2–x ，2–y ）+（–x ，2–y ）π π 1 ∵=（2–2x ，4–2y ），所以（ PA + PB ）•（ PC +PD ）=（2–2x ）2–2y （4–2y ）=4[（x –1）2+（y –1）2]–4，当 x =y =1 时上式取得最小值–4．故答案为：–4．16. 【答案】3π8π π π【解析】函数 y =3sin （2x + ）的图象向左平移 φ（0<φ < ）个单位长度后，可得函数 y =3sin （2x +2φ + ）4 2 4的图象，再根据所得函数图象关于原点成中心对称，∴sin （2φ + ）=0，∴2φ + = k π，k ∈Z ，∴ 4 4 φ= π k π ， k ∈ Z ，∵0<φ < π ，∴取 k =1，得 φ = 3π ，故答案为： 3π ． - 8+ 22 8 817．（本小题满分 12 分）18．（本小题满分 12 分）ABCD【解析】（ ） 底面 是边长为2 的菱形，∠BAD = 60 ，∴ AC ⊥ BD ，且 AC = 2 3 ， BD = 2 ． ∵四边形 BDEF 是矩形，∴ DE ⊥ BD ∵ ABCD ．平面 BDEF ⊥ 平面，平面 BDEF ABCD = BD平面，，如图，以 为原点，分别以1 ∴ DE ⊥ 平面ABCD AC ⊥平面 BDEF ．（2 分） 记 AC BD = O ，取 EF 的中点 H ，连接OH ，则OH ∥DE ，∴OH ⊥ 平面ABCD．OOB OC OH 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系O - xyz ．（2）由（1）知 AC ⊥平面 BDEF ，∴ AC ⊥平面 DMB ，即 AC = (0, 2 3, 0)DMB为平面的一个法向量．AD = (-1, 3, 0) ， AM = (1, 3,1) ．（8 分 ）设平面 ADM 的法向量为n = (x , y , z ) ．⎧ ⋅ =⎧- + 3y = 0 由 ⎪⎨n AD 0 ，得⎪⎨ x ．取 y = 1，则n = ( 3,1,-2 3)．（10 分） ⎪n ⋅ AM = 0 ⎩∵ cos <n ， AC >= ⎪x + 3y + z = 0⎩ n ⋅ AC = 2 3 = ，| n || AC | 4 ⨯ 2 3 4∴由图可知二面角 A - DM - B 的余弦值为 1．（12 分）419．（本小题满分 12 分）【解析】（1）利用分层抽样，选取 40 名基层干部，则这 40 人中来自 C 镇的基层干部有2 80⨯40(60 + 60 + 80)= 16（人）．（2 分）学科#网∵x = 10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5．∴估计 A ，B ，C 三镇的基层干部平均每人走访 28.5 个贫困户．（5 分）20．（本小题满分 12 分）【解析】（1）依题意，知 c = 1 ， a 2 = b 2 + c 2 ，1+ 9= 1，（2 分）a 2a 2 4b 2C x 2 y2解得a = 2,b = 3,c = 1，故椭圆 的标准方程为 + 4 3 = 1.（4 分）（2）显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为 y = k (x + 2).（5 分）设点 N (x , y ) ，直线 MN 的方程为 y = k (x + 2)x 2 +y 2 = 1NN4 3，联立(3+ 4k 2 )x 2 +16k 2 x +16k 2 -12 = 0 ，（6 分）16k 2 -12-8k 2 + 6 ∴-2x N =3 + 4k 2， 即 x N =，3 + 4k2∴ 12k-8k 2 + 6 12ky N = k (x N + 2) = 3 + 4k 2 ，即 N ( 3 + 4k 2, ) ．3 + 4k 2易 知 F 2 (1,0) ， k NF= 4k 1- 4k 2 ， k PF 1= - 1 ，（8 分） k得，6 6 6 ⎪ 由 4k1所以直线 NF 2 ， PF 1 的方程分别为 y = 1- 4k 2 (x -1) ， y = - k(x +1) ，⎧y = - 1 (x +1) ⎨ k 4k ，解得 P (8k 2 -1,-8k ) ，（10 分） ⎪ y = (x -1) ⎪ 1- 4k 2⎩ x 2 y 22 2 21 代入 + = 1，得192k 4 + 208k2 - 9 = 0 ，即(24k -1)(8k + 9) = 0 ，得 k = ，4 3 24所以k = ±，故直线l 的方程为 y = (x + 2) 或 y = - (x + 2)．（12 分）12 12 1221．（本小题满分 12 分）①当 e+1–a ≥0，即 a ≤e+1 时，x ∈（1，+∞）时， F'(x ) > F'(1) ≥0， F (x ) 在（1，+∞）单调递增，又 F （1）=0，故当 x ≥1 时，关于 x 的方程 e x –ax +ln x –e+a =0 有且只有一个实数解 1；（9 分） ②当 e+1–a <0，即 a >e+1 时，F'(1) <0，F'(ln a ) =a –a +1ln a> a –a =0，又ln a >ln （e+1）>1， 故存在 x 0∈（1，ln a ）， F'(x 0) =0，当 x ∈（1，x 0）时， F'(x ) <0 ，F （x ）单调递减，又 F （1）=0，a 故当 x ∈（1，x 0]时，F （x ）<0，在[1，x 0）内，关于 x 的方程 e x –ax +ln x –e+a =0 有一个实数解 x =1．（10 分）又 x ∈（x 0，+∞）时， F'(x ) >0，F （x ）单调递增，且 F （a ）=e +a ln a –a +2 a –e>e –a a +2 1，令 k （x ）=e x –x 2+1（x ≥1），则k'(x ) = e x - 2x ，易知 在（1，+∞）单调递增，k'(x )又 k'(1) = e - 2 > 0 ，故k'(x ) > 0 ，从而k (x ) 在（1，+∞）单调递增， 故 k (a ) > k (1) = e > 0 ，所以 F （a ）>0，学^科网又 a > > x 0，由零点存在定理可知，存在 x 1∈（x 0，a ），F （x 1）=0，e故在（x 0，a ）内，关于 x 的方程 e x –ax +ln x –e+a =0 有一个实数解 x 1，所以此时方程有两个解．综上可得，实数 a 的取值范围为(-∞,e +1]．（12 分）22．（本小题满分 10 分）选修 4–4：坐标系与参数方程23．（本小题满分 10 分）选修 4–5：不等式选讲【解析】（1）不等式 f (x ) ≤ 7x ，即 2x - 6 + 2x +1 ≤ 7x ，① ⎧⎪x < - 1 ⎪⎧- 1≤ x ≤ 3 ③ ⎨⎧x > 3 可化为 ⎨2 ，或② ⎨ 2 ，或， ⎪⎩-2x + 6 - 2x -1 ≤ 7x⎩⎪ -2x + 6 + 2x +1 ≤ 7x⎩2x - 6 + 2x +1 ≤ 7x 解① 无解，解② 得 x ，解③ x > 3，（4 分）得综合得：x ≥1，即原不等式的解集为{ | ≥ 1}．（5 分）（2）由绝对值不等式的性质可得 f (x)=2x -6 +2x +1 ≥(2x -6)-(2x +1)=7 ，（7 分）∵关于x 的方程()=f x m∴m ≥ 7 ，解得：m ≥ 7 或存m在≤实-7数．解学，科/网∴实数 m 的取值范围为 m ≥ 7 或 m ≤-710 分）．（。
河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷(八)数学(理)试题 含答案
绝密★启封前河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷（八）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合{}ln(1)M x y x ==-, 集合{|,}xN y y e x R ==∈(e 为自然对数的底数),则M N =( )A.{|1}x x <B.{|1}x x >C.{|01}x x <<D.∅ 2.已知复数11iz i+=-，则复数z 的模为（ ）A. 2B.C. 1D. 03.若命题p 为：为（ ）A ．B ．C ．D ．4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3696+π B ．4872+π C ．9648+πD ．4824+π5.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是( ) A .0.3 B .0.4C .0.6D .0.76.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为( )A.4B.2C.0D.14 7.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( ) A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π对称 B.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012-，π对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称9.在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－110.已知四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，△P AD 为等腰直角三角形，P A ＝PD ＝2，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积为( ) A.10π B.4π C.16π D.8π11.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.43312.已知函数f (x )＝e －x －2x －a ，若曲线y ＝x 3＋x ＋1(x ∈[－1,1])上存在点(x 0，y 0)使得f (y 0)＝y 0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e －3－9)∪[e ＋3，＋∞) B ．[e －3－9，e ＋3]C ．(e －3－9，e 2＋6) D ．(－∞，e －3－9)∪(e ＋3，＋∞)二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.的展开式的常数项为__________．14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是______.15.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．16.设函数()()e 2122x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A , B , C 的对边,c a sin C +c cos A ．(1)求角A ;(2)若a =ABC ∆求ABC ∆的周长．18.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．19.（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB=BC=P A=1,AD=2,∠P AD=∠DAB=∠ABC=90°,点E 在棱PC 上,且CE=λCP (0<λ<1). (1)求证:CD ⊥AE.?若存在,求出(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D 的余弦值为实数λ的值；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233，在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.21.（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立，求正数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为22ρcos⎪⎭⎫⎝⎛+4πθ＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.理科答案选择题：1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B填空题：13.-15 14.6 15.5 16.31,4e2⎡⎫⎪⎢⎣⎭17.(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.解:(1)证明:过点C作CF∥AB交AD于点F,∵AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC=.在Rt△CFD中,CD=,在△ACD中,CD2+AC2=4=AD2,∴CD⊥AC.∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由题知,PA,AB,AD两两垂直,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴=(-1,1,0),=(0,2,0).假设存在实数λ(0<λ<1),使得二面角C-AE-D的余弦值为,设E(x,y,z),∵=λ,∴(x-1,y-1,z)=λ(-1,-1,1),∴E(1-λ,1-λ,λ),则=(1-λ,1-λ,λ).∵CD⊥平面PAC,∴平面AEC的一个法向量为n==(-1,1,0).设平面AED的法向量为m=(a,b,c),则即令c=1,则a=,b=0,∴m==(-λ,0,1-λ),∵≠0,∴可取m=(-λ,0,1-λ),∴|cos<m,n>|===,化简得3λ2-8λ+4=0,∵λ∈(0,1),∴λ=,∴存在实数λ=,使得二面角C-AE-D 的余弦值为.20.解 (1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，(3)2a 2＋(3)24b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OM 的方程为y ＝12x .当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12) ＝48(3＋4k 2－m 2)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，因为N 在直线y ＝12x 上，所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－32，所以Δ＝48(12－m 2)>0，得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫322|x 2－x 1|＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝132·m 2－4×m 2－33＝39612－m 2，又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13＝36(12－m 2)m 2≤36(12－m 2＋m 2)24＝3，当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立， 符合－23<m <23，且m ≠0， 所以△OAB 面积的最大值为 3.21.解 (1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2，x ∈(0，＋∞).①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值； ②当a >0，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上为减函数； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上有极小值，无极大值， f (x )的极小值为f (a )＝ln a ＋1.(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立， 即对任意x >0，均有2ln a ≤ax＋ln x 恒成立，由(1)可知f (x )的最小值为ln a ＋1，问题转化为2ln a ≤ln a ＋1， 即ln a ≤1，故0<a ≤e ， 故正数a 的取值范围是(0，e].22.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1，由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.23.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧－x －4，x <12，3x －6，x ≥12，由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}. (2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2，2).。
2019届河北省衡水中学高考押题试卷(一)理科数学
2019届河北省衡水中学高考押题试卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在本小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则A. B.C. D.2. 若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则A.B.C.D.3. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该问题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是分整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. B.C. D.4. 已知一个几何体的三视图如图所示（正方形的边长为），则该几何体的体积为（）A. B.C. D.5. 若正实数，满足，则取最小值时，的值为（）A. B.C. D.6. 《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A.种B.种C.种D.种7. 函数的大致图象是（）A.B.C.D.8. 已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度9. 已知在四棱锥中，平面平面，且是边长为的正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C. D.10. 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为，且在双曲线上到的距离为的点有且仅有个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A. B.C. D.11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，，则的值为（）A. B.C. D.12. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数“，若与互为“度零点函数“，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河北衡水中学2019年高考押题试卷理科数学试题参考答案评分标准
AC ( 3a,0,0) ( 3a,0,0) (2 3a,0,0) ， EF (0, a, 2a) (0, a, 2 2a)
(0, 2a, 2a) .
由（1）可知 EF 平面 AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EF (0, 2a, 2a) .
设平面 AEC 的法向量为 n (x, y, z) ，
3 4b2
1 ，②
由①②联立，解得 b2 1， a2 2 ，
故所求的椭圆方程为 x2 y2 1. 2
（2）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，由 OA OB 0 ，
可知 x1x2 y1y2 0 .
y kx m
联立方程组
x
2
2
y2
，
1
消去 y 化简整理得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0 ，
OA OB ，所以分别以 OA ， OB ， OG 的方向为 x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标
系 O xyz （如图示），
则 O(0, 0, 0) ， A( 3a,0,0) ， C( 3a,0,0) ， E(0, a, 2 2a) ， F(0, a, 2a) ，
所以 AE (0, a, 2 2a) ( 3a,0,0) ( 3a, a, 2 2a) ，
100 25 则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有 800 14 448 .
25 （2）这100 名学生成绩的平均分为 1 (32100 5690 780 3 70 2 60) 91.3，
100 因为 91.3 90 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中 A 级 4 个， B 级 7 个，从而任意
2019届河北省衡水中学高考押题试卷(二)理科数学
2019届河北省衡水中学高考押题试卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，，，则A.B.C.D.2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则A.B.C.D.3. 已知上的奇函数满足：当时，，则（）A. B.C. D.4. 某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. B.C. D.5. 已知等差数列中，，，则A. B.C. D.6. 已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为（）A. B.C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则A.B.C.D.8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为A. B.C. D.9. 如图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A.B.C.D.10. 已知三棱锥中，侧面底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B.C. D.11. 已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13. 已知非零向量，，若与的夹角等于与的夹角，则________．14.的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是________．15. 已知等比数列的前项和为，且，则________，且．16. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
河北衡水中学2019年高考押题试卷理数(二)(解析版)
河北衡水中学2019年高考押题试卷理数试卷〔二〕第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.此题选择B选项.2.设复数满足，则〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .3.假设，，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴∈〔，〕，又因为，∴故sinα=sin[〔〕-]=sin〔〕cos-cos〔〕sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率 .此题选择A选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.此题选择D选项.6.某几何体的三视图如下图，假设该几何体的体积为，则它的外表积是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的外表积是.此题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．假设相邻两物体的外表相交，外表的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：此题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .此题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，假设输入的，，，则输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y==1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y==,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y==，时不满足条件y2≥x，输出 .10.已知数列，，且，，则的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数的图象如下图，令，则以下关于函数的说法中不正确的选项是〔〕A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据函数f〔x〕的图象求出A、T、ω和的值，写出f〔x〕的解析式，求出f′〔x〕，写出g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f〔x〕＝A sin〔ωx+〕的图象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根据五点法画图知，当x时，ωx+，∴，∴f〔x〕＝2sin〔x〕；∴f′〔x〕＝2cos〔x〕，∴g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕＝2sin〔x〕+2cos〔x〕＝2sin〔x〕＝2sin〔x〕；令x kπ，k∈Z，解得x kπ，k∈Z，∴函数g〔x〕的对称轴方程为x kπ，k∈Z，A正确；当x2kπ，k∈Z时，函数g〔x〕取得最大值2，B正确；g′〔x〕＝2cos〔x〕，假设函数g〔x〕的图象上存在点P〔x0，y0〕，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，则k＝g′〔x0〕＝2cos〔x0〕＝3，解得cos〔x0〕1，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g〔x〕＝2，则2sin〔x〕＝2，∴sin〔x〕，∴x2kπ或x2kπ，k∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1﹣x2|的最小值为，D正确．故选：C．【点睛】此题考查了由y＝A sin〔ωx+〕的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．12.已知函数，假设存在三个零点，则的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.此题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.向量，，假设向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，假设为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：设，由题意，从而可求椭圆的离心率的取值范围.详解：因为圆与轴相切于焦点，所以圆心与的连线必垂直于轴，不妨设，因为在椭圆上，则，所以圆的半径为，由题意，所以，所以.点睛：此题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．15.设，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如下图，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：此题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记，求的前项和【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：〔1〕首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式；〔2〕，利用裂项求和即可.试题解析：〔1〕当时，由及，得，即，解得．又由，① 可知，②②-①得，即．且时，适合上式，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，故．〔2〕由〔1〕及，可知，所以，故．18.如下图的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；〔2〕余弦值为.【解析】【分析】〔1〕先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面，从而，再利用勾股定理证明,从而可得平面，进而可得结果；〔2〕取中点，可证明平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标，平面的法向量可取为，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】〔1〕因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面,由，，，可知，，，，从而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.〔2〕取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系〔如图示〕，则，，，，.所以，，.由〔1〕可知平面，所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接，，即为所求的二面角的平面角.【点睛】此题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如下图〔视频率为概率〕，根据以上抽样调查数据，答复以下问题：〔1〕试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；〔2〕假设等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？〔3〕为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；〔3〕见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .试题解析：〔1〕从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.〔2〕这100名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.〔3〕由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.则，，，.因此可得的分布列为：则.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且〔为坐标原点〕.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕讨论是否为定值？假设为定值，求出该定值，假设不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：〔1〕由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.〔2〕设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21.设函数.〔1〕试讨论函数的单调性；〔2〕设，记，当时，假设方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①假设时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；②假设时，函数单调递增；③假设时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式. 试题解析：〔1〕由，可知.因为函数的定义域为，所以，①假设时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②假设时，当在内恒成立，函数单调递增；③假设时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 〔2〕证明：由题可知，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以〔*〕式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.又，因此，，故，得证，从而得证.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.在直角坐标系中，曲线：〔为参数，〕，在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.〔1〕试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；〔2〕当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】〔1〕的取值范围为；〔2〕.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：〔1〕曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.〔2〕当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23.已知函数.〔1〕在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；〔2〕假设函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】〔1〕解集为；〔2〕见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：〔1〕因为所以作出图象如下图，并从图可知满足不等式的解集为.〔2〕证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而. 当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。
2019届河北省衡水高三高考押题数学(理)试题(解析版)10 (1)
河北省衡水中学高三高考押题理数试题一、选择题1．已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+， 1{|24}4x B x =≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {|12}x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2 【答案】B【解析】由题知{}1,0,1,2,3,4A =-， {|22}B x x -≤≤＝，则{}1,0,1,2A B ⋂=-故本题答案选B ．2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A. []1,1-B. ()1,1-C. (),1-∞-D. ()1,+∞ 【答案】B 【解析】由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+tz===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t-+>-<且，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A. 42y x x =+ B. 2x y = C. 22x x y -=- D. 12log 1y x =-【答案】D【解析】42y x x =+为非奇非偶函数， A 排除； 2x y =为偶函数，但在(),0-∞内单调递减， B 排除； 22x x y -=-为奇函数， C 排除．故本题答案选D ．4．已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等 【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同．故本题答案选D ， 5．在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由韦达定理知4124123,1a a a a +=-=，则4120,0a a <<，则等比数列中4840a a q =<，则81a =-．在常数列1n a =或1n a =-中， 412,a a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008 【答案】B【解析】由程序框图则0,1;1,2;12,3;123,4S n S n S n S n =====-==-+=，由S 规律知输出12345S =-+-+-++．故本题答案选B ．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同. 7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.163π+ B. 112π+ C. 1123π+ D. 143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选Ｃ．8．已知函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A. 5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =又()6282T=--=，即2πT =16ω=，所以π8ω=．则()π8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点()6,0，则3πsin 04ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3ππ4k ϕ+=，所以3ππ4k ϕ=-+，又ϕπ<，则π4ϕ=．故()ππ48g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππππ482x k +=+，得322x k =+，令1k =-，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故本题答案选C ．9．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =， BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.0,0)2a ba b +≥>> B. 222(0,0)a b ab a b +≥>>C. 20,0)ab a b a b ≤>>+D. 0,0)2a b a b +≤>> 【答案】D【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()()2222222442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤Ｄ． 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）A. 720B. 768C. 810D. 816 【答案】B【解析】由题知结果有三种情况． ()1甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况； ()2甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况； ()3甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B11．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A. 2y x =+或2y x =--B. 2y x =+C. 22y x =+或22y x =-+D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()()224,23,{12,34,x x x f x g x ax x x x-+≤≤==++<≤，对[]12,0x ∀∈-， []22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B.11,00,48⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. (]0,8D. ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时， ()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时， []42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时， ()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时， ()1g x =，不符合题意；当0a <时， ()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a ≤-．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．二、填空题13．已知()1,a λ=， ()2,1b =，若向量2a b +与()8,6c =共线，则a 在b 方向上的投影为_________．【解析】由题知()24,21a b λ+=+，又2a b +与c 共线，可得()248210λ-+=，得1λ=，则a 在方向上的投影为5a b b⋅==． 14．已知实数x ， y 满足不等式组20,{250,20,x y x y y --≤+-≥-≤且2z x y =-的最大值为a ，则2cos 2xa dx π⎰=__________． 【答案】3π【解析】作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过()4,2时z 取最大值，则max 6a z ==．则()ππ2ππ00006cos 3cos 33sin |3|3π2x dx x dx x x =+=+=⎰⎰．故本题应填3π． 15．在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =， ABC ∆的面积为，则b c +的值为__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化为sin sin sin sin sin 2sin cos cos cos B A BB BC B A B⋅+⋅=-⋅，进一步化为cos sin sinAcosB 2A B sinCcosA +=-，则()sin 2A B sinCcosA +=-，即1cos 2A =-．在三角形中2π3A =．由面积公式1sin 2ABCSbc A ==，可知16bc =，由余弦定理()22222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，代入可得b c +=点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球， 3BC =， AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.【答案】[]2,4ππ【解析】令BCD 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接11,,,O D OD O E OE ，易求得123sin603O D =⨯=，则13AO ==，在1Rt OO D 中，由勾股定理得()2233R R =+-，解得2R =，由3B DB E =，知12,23O EBC DE DB ==，所以11O E ==，所以OE ==．当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径r =，此时截面面积为2π．当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π．故本题应填[]2,4ππ．点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．三、解答题17．已知()()()()231111nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()122121nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <.【答案】（1）n a n =;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由二项展开式可知各项中x 的系数，求和后可得n S ，利用n S 与n a 间的关系可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a 的通项公式可求得n b 的通项公式()()122121n n n n b +=--，对n b 进行裂项，用裂项法可求得n T ，利用放缩法可证明不等式．试题解析：（1）()()()()231111nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数为1111123n C C C C ++++= 2111223n C C C C ++++= 2211122n C n n +=+，即21122n S n n =+，所以当2n ≥时， 1n n n a S S n -=-=； 当1n =时， 11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）证明：()()122121nn n n b +==-- 1112121n n +---，所以11111113372121n n n T +=-+-++--- 11121n +=--，所以1n T <.18．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）cos 17θ=. 【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥ 平面PAC ；（2）以点C 为原点， CB ，CA ， AP 方向分别为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ， OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂= A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点， CB ， CA ， AP 方向分别为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ， ()0,1,0A ，)B，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭， ()0,1,2P ， 10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,0OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =，则30,{3120,22n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2A B A C =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，122CH CB ==. 所以c o sH x C H B =∠， 3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设二面角A OP G --的大小为θ，则c os C H nC H nθ⋅==⋅=. 点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．19．2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400P = ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择． 试题解析：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=. （2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===，()12373102170040C C P X C ===， ()373107100024C P X C ===， 故X 的分布列为，所以()1721706007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯ 17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-= ()1000200820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：()224029x y -+=. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ， B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22198x y +=；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由长轴长可得a 值，公共弦长恰为圆M 直径，可知椭圆经过点2,⎛± ⎝⎭，利用待定系数法可得椭圆C 方程；（2）可令直线l 的解析式为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ， AB 的中点为()00,E x y ，将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，利用根与系数的关系可得00,x y ，由等腰三角形中DE AB ⊥，可得1DE k k=-，得出(),0D m 中289m k k-=+．由此可得D 点的横坐标m 的范围．试题解析：（1）由题意可得26a =，所以3a =.由椭圆C 与圆M ：()224029x y -+=的公共弦长为3，恰为圆M 的直径，可得椭圆C经过点2,⎛± ⎝⎭，所以2440199b +=，解得28b =.所以椭圆C 的方程为22198x y +=.（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ， AB 的中点为()00,E x y .假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB⊥.由222,{1,98y kx x y =++=得()228936360k xkx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+， 00216298y kx k =+=+.因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以222989k m k k k--==++.当0k >时，89k k +≥=012m -≤<；当0k <时，89k k +≤-，所以012m <≤. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D 的横坐标的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦. 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决. 21．已知函数()22ln 2(0)f x x mx x m =-+>. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当m ≥时，若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于A ， B 两点，其横坐标分别为1x ， 212()x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数()2ln h x x cx bx =--的零点，求证： ()()1202'ln23x x h x -≥-+.【答案】（1）当02m <≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时， ()f x在⎝⎭内单调递减，在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对m 进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知， 1212,1x x x x +==又是()2ln h x x cx bx =--的零点，代入相减化简得()121212lnx x b c x x x x =-+-，对()h x 求导， ()()120'x x h x -= 12112212ln 1x x x x x x -⋅-+.令()1201xt t x =<<，求得函数()122ln ln213t G t t t -=⋅--++的最小值为.不等式得证． 试题解析：（1）由于()22ln 2f x x mx x =-+的定义域为()0,+∞，则()()221'x mx f x x-+=.对于方程210xmx -+=，其判别式24m ∆=-.当240m -≤，即02m <≤时， ()'0f x ≥恒成立，故()f x 在()0,+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等是实x =，令()'0f x >，得0x <<x >，此时()f x 单调递增；令()'0f x <，得22m m x <<此时()f x 单调递减.综上所述，当02m <≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时， ()f x在⎝⎭内单调递减，在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增. （2）由（1）知， ()()221'x mx f x x-+=，所以()'f x 的两根1x ， 2x 即为方程210x mx -+=的两根.因为2m ≥，所以240m ∆=->， 12x x m +=， 121x x =.又因为1x ， 2x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以2111l n 0x c xb x --=， 2222ln 0x c bx --=，两式相减得()()()11212122ln 0xc x x x x b x x x --+--=，得()121212lnx x b c x x x x =-+-.而()1'2h x cx b x=--，所以()()120'x x h x -= ()120012x x cx b x ⎛⎫---=⎪⎝⎭()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1211222lnx x x x x x -=-=+ 12112212ln 1x x x x x x -⋅-+. 令12(01)x t t x =<<，由()2212x x m +=得22212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t ++=，因为m ≥，故152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤.设()12ln 1t G t t t -=⋅-+，所以()()()221'01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()()120'y x x h x =-的最小值为2ln23-+.所以()()1202'ln23x x h x -≥-+.22．已知直线l的参数方程为4,2{2x y =+=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ， B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长； （2）动点P 在圆C 上（不与A ， B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值.【答案】（1）；（2）2+【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦AB 的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得2cos 4d πθ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，可求出d 的最大值，即求得ABP ∆的面积的最大值．试题分析：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C()2224x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-.所以直线l被圆C截得的弦长为12t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22,{2,x cos y sin θθ=+=（θ为参数），可设曲线C 上的动点()22c o s ,2s i n P θθ+，则点P 到直线l 的距离4d =2cos 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当c o s14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时， d 取最大值，且d的最大值为2+所以(1222ABP S ∆≤⨯+=+即ABP ∆的面积的最大值为223．选修4-5：不等式选讲.已知函数()211f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ； （2）若a M ∈，试比较11a a -++，32a ， 722a -的大小. 【答案】（1）3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）3711222a a a a -++>>-. 【解析】（1）()3,1,1{2,1,213,.2x x f x x x x x -<-=--≤≤>根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时， ()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的值域3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a<≤.又111123a a a a a-++=-++=≥，所以32a≥，知10a->，430a->，所以()()1432a aa-->，所以37222aa>-，所以3711222a a aa-++>>-.。
2019届河北衡水中学高考猜题(六)数学(理)含答案
绝密★启封前2019届河北衡水中学高考猜题（六）试题数 学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，则|z |＝( )A.14B.12 C ．1 D ．22.设P={y|y=-x 2+1,x ∈R},Q={y|y=2x ,x ∈R},则( )(A)P ⊆Q(B)Q ⊆P (C)∁R P ⊆Q (D)Q ⊆∁R P3.已知命题p:∀x ∈R ,x+≥2;命题q:∃x ∈[0,π2],使sin x+cos x=2.则下列命题中为真命题的是( )(A)(⌝p)∧q (B)p ∧(⌝q) (C)(⌝p)∧(⌝q) (D)p ∧q 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132 C ．－78 D.785.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为-5,则输出的y 值是( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)146. 若曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2＋1)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝( )A. －2B. －1C. 1D. 27. M 、N 是曲线y=πsin x 与曲线y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)2π8. 将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为( )(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π29. 如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ10. 对实数a 与b,定义新运算“⊗”:a ⊗b=,1,, 1.a ab b a b -≤⎧⎨->⎩设函数f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),x ∈R.若函数y=f(x)-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围是( ) (A)(-∞,-2]∪（-1,32） (C)（-1,14）∪（14,+∞）(B)(-∞,-2]∪（-1,-34） (D)（-1,-34）∪[14,+∞）11.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④12.设函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=x 3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-12,32]上的零点个数为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 1sin10°－3sin80°的值为________．14.由曲线y=x,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为_____15.函数f(x)=sin 2x+23cos 2x-3,函数g(x)=mcos(2x-π6)-2m+3(m>0),若存在x 1,x 2∈[0,π4],使得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数m 的取值范围是_________16. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为________三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)：求值（1）sinπ+ cos+）（2）已知锐角α、β满足sin α＝35，cos(α＋β)＝－513，求sin β18（12分）：设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值并画出函数在上的图像；（Ⅱ）若将向左平移个单位,得到的图像,求使成立的的取值范围.19（12分）: 已知函数f(x)=b －(2b+1)+6x+a (b>0)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 设b=1，若方程f(x)=0有且只有一个实根，求a 的取值范围.20（12分）:如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α1) 找出矩形ABCD 的面积S 与角α之间的函数关系. 2) 求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？ 并求出这个最大面积.21（12分），已知函数f(x)=(a+1a )ln x+1x -x. (1)当a>1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当a>0时,求f(x)的极值;(3)当a ≥3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x 1,f(x 1)),Q(x 2,f(x 2)),使得曲线y=f(x)在P 、Q 两点处的切线互相平行,证明:x 1+x 2>65.22（12分）:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9)2cos 45(2=-θρ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为)43,2(π，求PAB ∆的面积.。
2019届河北省衡水中学高考押题试卷(三)理科数学
2019届河北省衡水中学高考押题试卷（三）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则A.B.C.D.2. 若，则的值为（）A. B.C. D.3.＝是恒成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若，则的大小关系为（）A.B.C.D.5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为＝，例如＝．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）A. B.C. D.6. 已知展开式中的系数为，则正实数A.B.C.D.7. 已知数列的前项和，若，则A.B.C.D.8. 如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A. B.C. D.9. 已知抛物线:的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则A. B.C. D.10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B.C. D.11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.12. 设函数满足，则时，的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线与直线________＝________所围成的图形的面积是________．14. 已知双曲线的实轴长为，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________15. 要从甲、乙等人中选人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种（用数字作答）．16. 已知数列与满足，且，则________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知的内切圆面积为，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积．18. 如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面，，点是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故盈利元，若该销售商一次购进辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值．20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为．不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，，，且，，成等比数列．（1）求的值；（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数的最大值为．（1）若关于的方程的两个实数根为，，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数＝．（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若集合＝，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2019届河北省衡水中学高考押题试卷（三）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合，，从而求出，由此能求出．【解答】∵集合，，∴，∴．2.【答案】D【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】由，得，则的值为．3.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由，即可判断出结论．【解答】∵，恒成立．∴＝是恒成立的充分不必要条件．4.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵，取，，得：，，，∴的大小关系为：．5.【答案】C【考点】程序框图【解析】该程序框图的作用是求被和除后的余数为的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】该程序框图的作用是求被除后的余数为，被除后的余数为的数，在所给的选项中，满足被除后的余数为，被除后的余数为的数只有，6.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】分别写出的展开式中含，的项，再由多项式乘多项式列式求解．【解答】∵的展开式中含，的项分别为，，∴展开式中的系数为，解得：．7.【答案】B【考点】数列递推式【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．【解答】数列的前项和，，当时，则：，两式相减得：，所以：，即：（常数），故：，当时，首项不符合通项，故：．所以：，8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据正四面体的性质可知，异面直线的定义可判断：①与平行显然错误；②与为异面直线；③由三角形为等边三角形，可判断，④过垂直于，显然可证垂直于平面，可得与垂直，进而得出与垂直．【解答】根据正四面体的性质可知：①与平行显然错误；②与为异面直线，由异面直线的定义可判断正确；③由三角形为等边三角形，故与成角，故正确；④过垂直于，显然可证垂直于平面，可得与垂直，进而得出与垂直，故正确．9.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段的长．【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，设，，，到准线的距离分别为，，由抛物线的定义可知，，于是．∵，∴直线的斜率为，∵，∴直线的方程为，将，代入方程，得，化简得，∴，于是.故选.10.【答案】由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx ﹣）又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin （ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z 又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2∴f（x）=2sin（2x ﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z当x，x ∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x+x=2×（﹣）=﹣，∴f（x+x）=f （﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1应选：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．【解答】由函数的图象过点，∴，解得，又，∴，∴；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，∴，；又，∴，∴；∴，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，∴，∴．应选：．11.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．【解答】根据三视图可得此棱锥是正方体的一部分，正方体的棱长为，可得，，，，外接球的球心在平面外心的中垂线与的外心的中垂线的交点，三角形的边长：，，，外接圆的半径为：，外接球的半径为．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意可知：，且当＝时，，构造辅助函数，求导，由在恒成立，则在＝处取最小值，即可求得在单调递增，即可求得的最小值．【解答】由＝，当时，故此等式可化为：，且当＝时，，，令＝，＝，求导＝＝，当时，，则在上单调递增，的最小值为＝，则恒成立，∴的最小值，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】,,【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出交点，然后利用定积分表示曲边梯形的面积，计算求面积．【解答】曲线和直线＝交点为：，所以围成的图形面积为；14.【答案】【考点】双曲线的性质【解析】求得双曲线一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得，进而得到双曲线的离心率．【解答】设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由，可得，∵，∴∴∴，∴，∴15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分步进行分析：①，在住甲乙之外的人中选出人，安排在甲乙人之间，安排好之后，将人看成一个整体；②，在剩下的人选出人，将这个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分步进行分析：①，在住甲乙之外的人中选出人，安排在甲乙人之间，有种情况，安排好之后，将人看成一个整体；②，在剩下的人选出人，将这个整体全排列，有种情况，则不同的发言顺序共有种；16.【答案】【考点】数列递推式【解析】数列与满足，可得，．由，可得，解得．又，即．同理可得：．可得．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】数列与满足，∴，．∵，∴，解得．又，即．．即．∴．∴…………．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【答案】由正弦定理得，∴，∵，∴，∴；由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为，如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为，此时三角形的面积．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值．（2）利用余弦定理，向量的数量积，基本不等式和三角形的面积公式求出结果．【解答】由正弦定理得，∴，∵，∴，∴；由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为，如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为，此时三角形的面积．18.【答案】证明：在梯形中，∵，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，即．∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）通过证明．，转化证明平面，然后推出平面；（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】证明：在梯形中，∵，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，即．∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴．19.【答案】由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据可知：，所以的分布列为①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据即可得出概率及其分布列．（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，利用相互独立事件概率计算公式可得：三辆车中至少有辆事故车的概率．②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．即可得出分布列与数学期望． 【解答】由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据可知：，所以的分布列为①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．20.【答案】 由已知得，则，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，，，由，得，，则，由已知， 则，即，所以；假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程得：， 即，则，即，则， 所以，化简得：，而，则，此时，点，中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处）， 与，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】 （1）由已知得，求出，，得到椭圆的方程，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可． （2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程，推出，而，则，推出，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在． 【解答】 由已知得，则，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，，，由，得，，则，由已知，则，即，所以；假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程得：，即，则，即，则，所以，化简得：，而，则，此时，点，中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在．21.【答案】，由，得；由，得．∴的增区间为，减区间为，∴，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∴在上单调递增，，则，∵，∴，∴；（1）由（2）可知，在区间单调递增，又时，，知在递增，∴，∴，且时，；时，，∴当时，，于是时，，∴若能证明，便能证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递减，∴，于是时，．∴在上单调递减，当时，相应的．∴在上递增，∴函数在函数的最小零点处取得极小值．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）由导数求出原函数的单调区间，得到最大值，不妨设，可得，整理得到，设，则，可得在上单调递增，，则，由此可得，即；（2）由（1）可知，在区间单调递增，得到在递增，可得，得到，且时，；时，，由此可得当时的分段解析式，然后利用导数证明函数在函数的最小零点处取得极小值．【解答】，由，得；由，得．∴的增区间为，减区间为，∴，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∴在上单调递增，，则，∵，∴，∴；（1）由（2）可知，在区间单调递增，又时，，知在递增，∴，∴，且时，；时，，∴当时，，于是时，，∴若能证明，便能证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递减，∴，于是时，．∴在上单调递减，当时，相应的．∴在上递增，∴函数在函数的最小零点处取得极小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆的参数方程为（为参数）∴圆的普通方程为；化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴．【考点】简单曲线的极坐标方程参数方程化成普通方程【解析】（1）圆的参数方程消去参数，能求出圆的普通方程．（2）圆的普通方程化为极坐标方程得，设，由，解得，设，由，解得，由此能求出．【解答】∵圆的参数方程为（为参数）∴圆的普通方程为；化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】时，＝，∴＝，当直线＝过点，时，＝，∴＝，故当集合＝，函数恒成立，即的图象恒位于直线＝的上方，数形结合可得要求的的范围为,（1）．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法【解析】（1）利用绝对值三角不等式，求得的最小值及取得最小值时的取值范围．（2）当集合＝，函数恒成立，即的图象恒位于直线＝的上方，数形结合求得的范围．【解答】∵函数＝＝，故函数＝的最小值为，此时，．函数＝，而函数＝表示过点，斜率为的一条直线，。
2019 河北衡水中学绝密理数押题卷
18-19 河北衡水中学高三数学 数学押题卷之 7 （助力老师：郝爽）
焦点 F 重合．
校本资料，内部使用！
①求椭圆 C1 的方程；
②直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点，与抛物线 C2 相交于 C、D 两点．求
的最大值．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）． （1）若函数 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y+b＝0，求实数 a，b 的值；
，
∵
＝
＝4+4×16﹣4×4＝52．
＝
＝3+52+2× ×
×
＝55+4 ×
≤55+4 ∵55+4
． ＝52+2×2
× +3＝（2
）2．
则
的最大值为 2
．
故选：D． 6．【解答】解：提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设 5 个区域依次为 A、B、C、D、E，分 4 步进行分析： ①，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ②，对于区域 B，与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选； ③，对于区域 E，与 A、B 区域相邻，有 3 种颜色可选； ④，对于区域 D、C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选， 则区域 D、C 有 3+2×2＝7 种选择， 则不同的涂色方案有 5×4×3×7＝420 种， 其中，A、C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ②，对于区域 B，与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选； ③，对于区域 E，与 A、B、C 区域相邻，有 2 种颜色可选； ④，对于区域 D、C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 2 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 1 种颜色可选，C 区域有 1 种颜色可选， 则区域 D、C 有 2+1×1＝3 种选择， 不同的涂色方案有 5×4×2×3＝120 种，
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷(六)数学(理科)
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷（六）数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．4.定义运算，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断．【详解】从定义运算a⊕b上看，对于任意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5.的展开式中，的系数是（）A. -160B. -120C. 40D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r＝2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．【详解】（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和∵（1﹣2x）5展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C5r x r令r＝3得到x3项的系数为﹣8C53＝﹣80令r＝2得到x2项的系数为4C52＝40所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40＝﹣120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 36B. 32C. 30D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥4×3+5×35×34×3+3×3＝36．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a 的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.在中，若，（），则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵（1，2），（﹣x，2x）（x＞0），∴（﹣x﹣1，2x﹣2），∴||令y＝5x2﹣6x+5，x＞0根据二次函数的性质可知，当x，y min，此时BC最小，∴，（，），0，∴，即C＝90°，故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题．9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f′（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率k＝f′（2）＝tanα，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，代入可求．【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），∴f′（1）＝3+4f′（1），即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，则sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，故选：D．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用．10.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据23，计算出△P AB，△P AC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．【详解】如图，令，，．则P为△A1B1C1的重心，∴，而，，．∴2S△P AB＝3S△P AC＝6S△PBC，∴，，．则P△PBC P△PBA P△P AC．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为（）A. 279B. 289C. 399D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n 组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2，有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数，…第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有个数，当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+故答案为C．【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n 项和公式与分组求和的方法，进行求和．12.已知且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.【详解】等价于,即，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在上，，故函数单调增，又因为，故得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，则__________．（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义写出．【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|0}＝[0，1），则∁M N＝（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．14.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则开始时输入的x的值为____________【答案】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．【详解】第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x，故答案为：．【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．15.设实数满足，若的最大值为16，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．【详解】实数x，y满足的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；当k＜0时，①当k时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝4k+4，故k＝3．②当k时，目标函数z＝kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝0×k+2，故k不存在．综上，k＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，又点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，，解得，，==，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cos A，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.设，，，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满足（）的最大正整数.【答案】（1）a n＝6n－5 （）（2）8【解析】【分析】（1）根据f（x）＝3x2﹣2x，由（n，S n）在y＝3x2﹣2x上，知S n＝3n2﹣2n．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，知T n（1－），根据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围．【详解】（1）因为＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝1，所以，a n＝6n－5 （）.（2）由（1）得知＝，故T n＝＝＝（1－），且T n随着n的增大而增大因此，要使（1－）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m<9，所以满足要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面内的线垂直于平面内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.【详解】（1）证明：取中点，的中点为M，连结，MN,则有∥且=∴四边形为平行四边形，∥∵面,∴,又∴平面故⊥平面.所以平面平面(2)如图建立空间直角坐标系，则B(-,0,0),A(,0,0),因为是线段的中点，所以M所以设是平面的一个法向量，因为所以，由所以可取【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷(七)数学(理)试卷含解析
绝密★启封前河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷（七）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．复数的共轭复数在复平面中对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线的焦点坐标为A．，B．，C．，D．，3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，，，两点，若，则A．5 B．6 C．8 D．104．抛物线的焦点到双曲线其中一条渐近线的距离为A．B．1 C．D．25．若实数，满足约束条件，则的最大值是A．3 B．7 C．5 D．16．在等差数列中，，，则A．4 B．5 C．6 D．77．偶函数在，上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是A．，B．，C．，D．，8．若，则的取值范围为A．，B．，C．，D．，9．已知函数(，e是自然对数的底数)在处取得极小值，则的极大值是A．B．C．D．10．如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则A．B．C．D．11．过双曲线，的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若线段的中点为，为坐标原点，则与的大小关系是A．B．C．D．无法确定12．已知函数，，，函数零点的个数为A．3 B．4 C．1 D．2二、填空题13．，，，，若，则________________．14．已知，，则__________．15．已知点是抛物线：的对称轴与准线的交点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为________________．16．已知函数在，上没有最小值，则的取值范围是________________．三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．18．已知圆：．(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程及的最小值．19．设数列的前项和为，且，，成等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)若，当时，求．20．已知椭圆右焦点，，离心率为，过作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．21．已知函数；(1)当时，，使成立，求的取值范围；(2)令，，，证明：对，，，恒有．22．已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.23．已知函数．(1)若的最小值为4，求的值；(2)当，时，恒成立，求的取值范围数学答案参考答案1．D【解析】【分析】由已知z直接求，求得坐标得答案．【详解】∵z=1+2i，∴=1﹣2i．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，-2），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了复数的几何意义，是基础题．2．B【解析】【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【详解】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：B．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3．C【解析】试题分析：根据抛物线中焦点弦长公式，可得，故选择C．考点：抛物线焦点弦问题．4．C【解析】【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【详解】抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d==．故选：C．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．5．B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（4，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×4﹣1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．C【解析】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=（）+-（）∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．7．A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，，可得，实数的取值范围是,故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．D【解析】【分析】已知,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1．【详解】由均值不等式，得（当且仅当x=2y=-1时等号成立）所以.故选D.【点睛】此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．9．A【解析】【分析】求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值.【详解】由题意知，f′（x）=[x2+（2﹣m）x﹣2m]e x，由f′（0）=﹣2m=0，解得m=0．此时f（x）=x2e x，f′（x）=（x2+2x）e x，令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，且函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调递减区间是（﹣2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）=故选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题．10．B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A【解析】【分析】将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1．由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|=|PF1|．由双曲线定义，知|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|==b．由此知|MO|﹣|MT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．【详解】将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=|PF1|．又由双曲线定义得，|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|==b．故|MO|﹣|MT|=|PF1|﹣|MF|+|FT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．故选：A．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．12．C【解析】【分析】利用换元法：令,将复合函数拆解成与，利用解方程和函数图像求得.【详解】令，则，，（1）当时，ln(t+1)=-1，即-1当时，ln(x+1)=-1有一个解.因为，，在x<0时的图象大致如图：x<0时=-1>，无解.（2）当时，f（t）=,即-1,当时，故无解.当时，0<f（x）<,所以-1无解.综上，只有一个解.故选C.【点睛】本题考查复合函数零点问题，运用数形结合思想解决零点问题是常用方法.13．【解析】【分析】根据即可得出y=-4，从而得出【详解】∵；∴y=-4；∴．故答案为【点睛】考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题．14．【解析】分析：先根据条件解出，，再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.15．【解析】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得：，∵，∴，则，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，∴，即，∴，双曲线的实轴长为，∴双曲线的离心率为，故答案为.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，求出点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率.16．（）【解析】【分析】先求导，利用f′（x）=0时，x=0或x=,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围.【详解】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x=,（1）当∈（﹣∞，﹣1]时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.（2）当-1<<0时，f(x)在（-1，）单调递增，在（，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意在，上没有最小值，则有（3）当a=0时，f(x)=在，上显然没有最小值，故成立.（4）当0<<1时，f(x)在（-1，）单调递增，在（0，）单调递增减，在（，1）单调递增，由题意在，上没有最小值，则有（5）当时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，此时f(x)在，上没有最小值.综上：a>-1.故答案为（）.【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题17．（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值．【详解】解：(1) ∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2) 由(1)及得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．18．（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）2x－4y＋3＝0，【解析】【分析】（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l 的距离为1，即可求直线l的方程；（2）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y﹣12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离．【详解】解：(1) (1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0(2) 如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形，所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2设P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为.【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．(1)；(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意有，分类讨论可得：当时，，当时，，整理可得，据此可得成等比数列，.(2)结合(1)中的结论有，结合等比数列前n项和公式可得，即，据此可得关于n的方程，解方程可得.试题解析：(1)因为成等差数列，所以，当时，，当时，，则，则，即，又，，所以成等比数列，所以.（2）因为，又，所以，所以，又，所以，所以，所以.20．（1）（2），【解析】【分析】（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M 坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；【详解】解：(1) 由题意：，，∴，，则椭圆的方程为(2) ∵，斜率均存在∴设直线方程为：，再设，，，，则有，，联立得：，消去得：，∴，即，，将上式中的换成，同理可得：，，若，解得：，直线斜率不存在，此时直线过点，；下证动直线过定点，，若直线斜率存在，则，直线为，令，得，综上，直线过定点，；【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21．（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)先将存在性问题转化为求最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证.构造差函数，利用导数可得单调性，根据单调性可得，即证得结论.【详解】（1）当，由，令，∴，列表得：这时.∵，使成立，∴，∴，∴的范围为.（2）因为对，，所以在内单调递减，所以.要证明，只需证明，即证明.令，，所以在是单调递增函数，所以，故命题成立.【点睛】不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔ ，恒成立⇔ .22．(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；（2）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得，满足题意时，二次方程的判别式，据此计算可得直线的倾斜角或.【详解】（1）∵，∴，即，此即为曲线的直角坐标方程.（2）将代入得，∴，∵直线与曲线只有一个公共点，∴，即，，又，∴或.【点睛】本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．(1) 或；(2) ，【解析】【分析】(1)利用绝对值三角不等式求的最小值为|a-3|=4,即得a的值.(2)分，讨论分别得到a的取值范围，即得的取值范围．【详解】(1)的最小值为解得或．(2)①时，恒成立等价于恒成立即在时恒成立即解得②时，恒成立等价于恒成立即在时恒成立须解得综上，的范围是，．【点睛】（1）本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.。
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷(五)数学(理科)
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷（五）数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位,复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．2.已知集合，若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.3.已知，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简得，，进而得，又由，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，又由为单调递增函数，且，所以，所以，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为是奇函数且满足，所以函数的周期为，，又，所以，可得的取值范围．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的对称性；3、函数的周期性；4、分式不等式．6.已知点是双曲线的右焦点,点是该双曲线的左顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.7.如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合几何关系和余弦定理得到关于塔高的方程，解方程即可求得塔高.详解：设,则,,在中,由余弦定理知,解得米,(舍去).故铁塔的高度为600米.本题选择D选项.点睛：本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生空间观察能力和运用三角函数解决实际问题的能力.8.如果执行下面的程序框图，那么输出的( )A. 2550B. －2550C. 2548D. －2552【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，并输出S值．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，∵S=-2+0+2+…+98+100=2548,故选C考点：流程图点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9.如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，易知四点在以为圆心，为半径的圆上，连接.设这四个小圆的半径为，则，.因为圆O内的这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，所以，所以，即，解得，故所求事件的概率为.故选D.10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）正（主）视图侧（左）视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】该几何体为正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．【详解】由三视图可知该几何体为棱长为2正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．其中E，F分别是AB，AD的中点，如图，∴S2×22×2+2×2（2）20．故选：A．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，作出直观图是关键．11.若函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将f（x）化为sin（x+∅），（tanφ），将此图象平移后得到的图象对应的函数解析式为g（x）sin（x∅），再由g（x）是奇函数可得k π，k ∈z ，再根据tan ∅＝tan （k π），求得 的值，即可求得直线ax ﹣by +c ＝0的斜率 的值．【详解】∵函数f （x ）＝a sin x +b cos xsin （x +∅），（tan φ），把函数f （x ）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g （x ）sin （x∅），再由g （x ）是奇函数可得 k π，k ∈z ．∴tan ∅＝tan （k π），即．故直线ax ﹣by +c ＝0的斜率为 ，故选：D ．【点睛】题主要考查辅助角公式，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，函数的奇偶性，直线的斜率，属于中档题．12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于 ，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当 取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时，函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式中，含项的系数为，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式，写出的展开式中含x2项的系数，列方程求出a的值．【详解】展开式的通项公式为T r+1•（﹣2x）r，∴（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为，解得a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．14.某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师人数最多是__________名.【答案】【解析】【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z＝x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【详解】由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z＝x+y⇔y＝﹣x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z＝10．故答案为：10．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.已知则________.【答案】【解析】【分析】对已知条件，两边平方再相加即可得到答案．【详解】∵，∴（cosα+cosβ）2=，（sinα+sinβ）2=．两式相加，得2+2cos（α﹣β）=1．∴cos（α﹣β）=．故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.正方体的棱长为，点，，分别是、、的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为__________．【答案】【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE A1C．故答案为：．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列中，，前项和.（1）求数列的通向公式；（2）若从数列中依次取出第，，，，，项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.【答案】(1)(2)，【解析】(1)由题意得，解得，所以．(2)，则==18.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：（以下均视频率为概率）配方的频数分配表：配方的频数分配表：（1）若从配方产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的配方产品中至少件二级品”为事件，求事件发生的概率；（2）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：，其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）；（2）从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大。
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷(四)数学(理科)
2019届河北省衡水中学高三原创押题试卷（四）数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题进行判断即可.【详解】命题“，”的否定是：，故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定形式，属于简单题.2.六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种【答案】C【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.3.设是等差数列前项和，若,，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式列方程组，求出首项和公差d，从而得到.【详解】设等差数列的首项为，公差为d,则,即,得,解得,则,故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.的展开式中的常数项为（）A. -24B. -6C. 6D. 24【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【详解】二项展开式的通项为T r+1=（﹣1）r24﹣r C4r x4﹣2r,令4﹣2r=0得r=2.所以展开式的常数项为4C42=24.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查二项式展开式的通项和利用其求特定项，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)二项式通项公式：（）,①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意.5.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点和，则线段的长度是（）A. 8B. 4C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】设直线l方程与抛物线联立，写出韦达定理，利用抛物线的定义即可求得弦长.【详解】设过抛物线的焦点且斜率为1的直线l的方程为：y=x-1, 将直线方程与抛物线方程联立,消y得,设,得到x1+x2=6，由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+1+1+x2＝8．故选：A．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查转化能力和计算能力.6.已知，，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由结合平方关系得到，进而得到，从而得到结果.【详解】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故选B.【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．7.若实数满足条件则的最大值是（）A. -13B. -3C. -1D. 1【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z＝F（x，y）＝3x﹣4y，将直线l：z＝3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，∴z＝F（1，1）＝﹣1，最大值故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为偶函数，则图象关于轴对称，排除A、D，把代入得，故图象过点，C选项适合，故选C．【点睛】本题主要考查学生的识图能力，解题时由函数所满足的性质排除一些选项，再结合特殊值，易得答案．9.已知矩形的四个顶点的坐标分别是，，，，其中两点在曲线上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形中，则骰子落入阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】阴影部分的图形面积为，长方形的面积为2，故得到骰子落入阴影区域的概率是故答案为：C。
河北衡水中学2019年高考押题试卷理数(二)
绝密★启用前河北衡水中学2019年高考押题试卷理数（二)试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．设集合.则（）A． B． C． D．2．设复数满足.则（）A． B． C． D．3．若 .则 的值为（）A． B． C． D．4．已知直角坐标原点为椭圆：的中心.为左、右焦点.在区间任取一个数.则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）A． B． C． D．5．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：.当其离心率时.对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A． B． C． D．6．某几何体的三视图如图所示.若该几何体的体积为.则它的表面积是（）A． B．C． D．7．函数在区间的图象大致为（）A． B．C． D．8．二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大.且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍.则的值为（）A． B． C． D．9．执行如图的程序框图.若输入的.则输出的的值为（）A． B． C． D．10．已知数列.且.则的值为（）A． B． C． D．于函数的说法中不正确的是（）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点.使得在点处的切线与直线：平行D．方程的两个不同的解分别为.则最小值为12．已知函数.若存在三个零点.则的取值范围是（）A． B． C． D．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．向量.若向量共线.且.则的值为__________．14．设点是椭圆上的点.以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点.圆与轴相交于不同的两点、.若为锐角三角形.则椭圆的离心率的取值范围为__________．15．设满足约束条件.则的取值范围为__________．16．在平面五边形中.已知.当五边形的面积时.则的取值范围为__________．三、解答题17．已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）记.求的前项和18．如图所示的几何体中.底面为菱形.与相交于点.四边形为直角梯形..平面底面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．某校为缓解高三学生的高考压力.经常举行一些心理素质综合能力训练活动.经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试.并将其成绩分为、、、、五个等级.统计数据如图所示（视频率为概率）.根据以上抽样调查数据.回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分.学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”.请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点.现从、两种级别中.用分层抽样的方法抽取个学生样本.再从中任意选取个学生样本分析.求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.20．已知椭圆：的离心率为.且过点.动直线：交椭圆于不同的两点.且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）讨论是否为定值？若为定值.求出该定值.若不是请说明理由.21．设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设.记.当时.若方程有两个不相等的实根.证明.22．在直角坐标系中.曲线：（为参数.）.在以坐标原点为极点.轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程.并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时.两曲线相交于两点.求.23．已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象.并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为.设.且有.试证明：.参考答案1．B【解析】由题意可得： .则集合=.本题选择B选项.2．C【解析】由题意可得： .3．A【解析】∵.∴∈（）.又因为 .∴ （ ）故 α [（）-]=sin（）cos-cos（）sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角.这是重要一环.通过看角之间的差别与联系.把角进行合理的拆分.从而正确使用公式；二看函数名称.看函数名称之间的差异.从而确定使用的公式.常见的有切化弦；三看结构特征.分析结构特征.可以帮助我们找到变形的方向.如遇到分式要通分等.4．A【解析】满足题意时.椭圆上的点到圆心的距离：.整理可得 .据此有： .题中事件的概率 .本题选择A选项.5．D【解析】由题意可得： .设双曲线的渐近线与轴的夹角为.双曲线的渐近线为.则 .结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6．A【解析】由三视图可知.该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体.其中：圆锥三棱锥由题意： .据此可知：底 .圆锥侧.棱锥侧.它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等.高平齐”.即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长.侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交.表面的交线是它们的分界线.在三视图中.要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同.但圆锥的不同．7．A【解析】分析：判断的奇偶性.在上的单调性.计算的值.结合选项即可得出答案.详解：设.当时..当时..即函数在上为单调递增函数.排除B；由当时..排除D；因为.所以函数为非奇非偶函数.排除C.故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别.其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用.试题有一定综合性.属于中档试题.着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大.则 .二项式展开式的通项公式为： .由题意有： .整理可得： .本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中.是该项的二项式系数.与该项的(字母)系数是两个不同的概念.前者只指.而后者是字母外的部分.前者只与n和r有关.恒为正.后者还与a.b有关.可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关.当n为偶数.中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时.中间两项的二项式系数相等.且同时取得最大值．9．C【解析】依据流程图运行程序.首先初始化数值. x=0,y=1,n=1 .进入循环体：x=n y=1,y= =1.时满足条件y2≥x .执行n=n+1=2 .进入第二次循环.x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x .执行n=n+1=3 .进入第三次循环.x=n y=2,y= =.时不满足条件y2≥x .输出 .10．C【解析】由递推公式可得：当为奇数时. .数列是首项为1.公差为4的等差数列.当为偶数时. .数列是首项为2.公差为0的等差数列.本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法.根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项公式.常用的方法有：①求出数列的前几项.再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形.变成等差、等比数列.或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11．C【解析】【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和的值.写出f（x）的解析式.求出f （x）.写出g （x）＝f（x）+f （x）的解析式.再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f（x）＝A sin（ωx+）的图象知.A＝2..∴T＝ π.ω1；根据五点法画图知.当x时.ωx+.∴.∴f（x）＝2sin（x）；∴f （x）＝2cos（x）.∴g（x）＝f（x）+f （x）＝2sin（x）+2cos（x）＝2sin（x）＝2sin（x）；令x kπ.k∈Z.解得x kπ.k∈Z.∴函数g（x）的对称轴方程为x kπ.k∈Z.A正确；当x2kπ.k∈Z时.函数g（x）取得最大值2.B正确；g （x）＝2cos（x）.假设函数g（x）的图象上存在点P（x0.y0）.使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行. 则k＝g （x0）＝2cos（x0）＝3.解得cos（x0） 1.显然不成立.所以假设错误.即C错误；方程g（x）＝2.则2sin（x）＝2.∴ （x）.∴x2kπ或x2kπ.k∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x1.x2时.|x1﹣x2|的最小值为.D正确．故选：C．【点睛】本题考查了由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定解析式.考查了正弦型函数的性质问题.也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题.属于难题．12．D【解析】很明显 .由题意可得： .则由可得 .由题意得不等式： .即： .综上可得的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0.如果能求出解.则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a.b]上是连续不断的曲线.且f(a)·f(b)＜0.还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差.画两个函数的图象.看其交点的横坐标有几个不同的值.就有几个不同的零点．13．-8【解析】由题意可得：或 .则：或 .14．【解析】分析：设.由题意.从而可求椭圆的离心率的取值范围.详解：因为圆与轴相切于焦点.所以圆心与的连线必垂直于轴.不妨设.因为在椭圆上.则.所以圆的半径为.由题意.所以.所以.点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解.其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围).常见有两种方法：①求出.代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式.转化为的齐次式.然后转化为关于的方程(不等式).解方程(不等式).即可得(的取值范围)．15．【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示.目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率.目标函数在点处取得最大值 .在点处取得最小值 .则的取值范围为.点睛：本题是线性规划的综合应用.考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法.给目标函数赋于一定的几何意义．16．【解析】由题意可设： .则：.则：当时.面积由最大值；当时.面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.17．(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用S n与a n的关系：当n=1时.a1=S1.当 ≥ 时.a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列.由此求得数列{a n}的通项公式；（2）.利用裂项求和即可.试题解析：（1）当时.由及.得.即.解得．又由.① 可知.②②-①得.即．且时. 适合上式.因此数列是以为首项.公比为的等比数列.故．（2）由（1）及.可知.所以.故．18．(1)见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面.从而.再利用勾股定理证明,从而可得平面.进而可得结果；（2）取中点.可证明平面.又在菱形中..分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标.平面的法向量可取为.再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量.利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面为菱形.所以.又平面底面.平面平面.因此平面.从而.又.所以平面,由.可知.从而.故,又.所以平面.又平面.所以平面平面.（2）取中点.由题可知.所以平面.又在菱形中..分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系（如图示）.则.所以...由（1）可知平面.所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为.则.即.即.令.得.所以.从而 .由图可知.所求二面角的大小为锐角.故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接.即为所求的二面角的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角.属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形.建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标.求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量.利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0.1.2.3.由超几何分布的概率写出分布列.求得数学期望为 .试题解析：（1）从条形图中可知这100人中.有56名学生成绩等级为.所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为.则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为.因为.所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本.其中级4个.级7个.从而任意选取3个.这3个为级的个数的可能值为0.1.2.3.则..因此可得的分布列为：则.20．(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得.故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程.利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知.所以.即.①又点在椭圆上.所以有.②由①②联立.解得.故所求的椭圆方程为.（2）设.由.可知.联立方程组消去化简整理得.由.得.所以.③又由题知.即.整理为.将③代入上式.得.化简整理得.从而得到.21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数.分类讨论可得：①若时.当时.函数单调递减.当时.函数单调递增；②若时.函数单调递增；③若时.当时.函数单调递减.当时.函数单调递增.(2)构造新函数.结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1）由.可知.因为函数的定义域为.所以.①若时.当时..函数单调递减.当时..函数单调递增；②若时.当在内恒成立.函数单调递增；③若时.当时..函数单调递减.当时..函数单调递增.（2）证明：由题可知.所以.所以当时.；当时.；当时..欲证.只需证.又.即单调递增.故只需证明.设是方程的两个不相等的实根.不妨设为.则两式相减并整理得.从而.故只需证明.即.因为.所以（*）式可化为 .即 .因为.所以.不妨令.所以得到 .记.所以.当且仅当时.等号成立.因此在单调递增.又.因此.故 得证.从而得证.22．（1）的取值范围为；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离.然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：.两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：.而对有.即.所以故当两曲线有公共点时.的取值范围为.（2）当时.曲线：.两曲线交点所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为.所以.23．（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式.构造出适合均值不等式的形式.然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可.注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示.并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为.即.所以.从而.从而.当且仅当时.等号成立. 即时.有最小值.所以得证.。
河北衡水中学押题卷一理数
领军VIP 2019年12月高考模拟考试理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+ B ．||2x y = C.22x xy -=- D ．12log ||1y x =-4.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．1008 7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6C.1(,0)2- D ．11(,0)6-9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0,0)a b >> B ．222a b ab +≥(0,0)a b >>C.2abab a b≤+(0,0)a b >> D ．2222a b a b ++≤(0,0)a b >> 10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C.810 D ．81611.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞U B ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为 ．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则2cos 2xa dx π⎰= ． 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC ∆的面积为b c +的值为 ．16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12(21)(21)nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=的公共弦410. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知函数2()2ln 2(0)f x x mx x m =-+>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≥时，若函数()f x 的导函数'()f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，2x 12()x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数2()ln h x x cx bx =--的零点，求证：1202()'()ln 23x x h x -≥-+.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为4,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ；（2）若a M ∈，试比较|1||1|a a -++，32a ，722a -的大小.参考答案及解析 理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.514.3π 15.[2,4]ππ 三、解答题17.解：（1）23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数为1111123n C C C C ++++=L 2111223n C C C C ++++=L 2211122n C n n +=+， 即21122n S n n =+， 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）证明：12(21)(21)n n n n b +==--1112121n n +---， 所以11111113372121n n n T +=-+-++---L 11121n +=--， 所以1n T <.18.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ，所以OM ⊥平面PAC . 即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC.（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,0)2O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(OM =u u u u r ，31(,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,3120,2n OM x n OP y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33,0)4CH =u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r 2233|0410|51441739411616⨯+⨯=+⨯+. 19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 20.解：（1）由题意可得26a =，所以3a =. 由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=410，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点210(2,)3±， 所以2440199b+=，解得28b =. 所以椭圆C 的方程为22198x y +=. （2）直线l 的解析式为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y .假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥.由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+. 因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++. 当0k >时，89k k+≥=，所以0m ≤<； 当0k <时，89k k+≤-012m <≤. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D的横坐标的取值范围为[(0,1212-U . 21. 解：（1）由于2()2ln 2f x x mx x =-+的定义域为(0,)+∞，则22(1)'()x mx f x x-+=.对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-.当240m -≤，即02m <≤时，'()0f x ≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等是实根x =令'()0f x >，得02m x -<<或2m x +>，此时()f x 单调递增；令'()0f x <，得22m m x -+<<，此时()f x 单调递减.综上所述，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当2m >时，()f x在内单调递减，在，)+∞内单调递增. （2）由（1）知，22(1)'()x mx f x x-+=，所以'()f x 的两根1x ，2x 即为方程210x mx -+=的两根.因为2m ≥，所以240m ∆=->，12x x m +=，121x x =. 又因为1x ，2x 为2()ln h x x cx bx =--的零点，所以2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x c bx --=，两式相减得11212122ln()()()0x c x x x x b x x x --+--=，得121212ln()x x b c x x x x ==+-.而1'()2h x cx b x=--，所以120()'()x x h x -=12001()(2)x x cx b x ---=121212121212ln2()[()()]x x x x c x x c x x x x x x --+-+++-1211222()ln x x x x x x -=-=+12112212ln 1x x x x x x -⋅-+. 令12(01)x t t x =<<，由2212()x x m +=得22212122x x x x m ++=， 因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t++=，因为m ≥，故152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤. 设1()2ln 1t G t t t -=⋅-+，所以22(1)'()0(1)t G t t t --=<+， 则()y G t =在1(0,]2上是减函数，11所以min 12()()ln 223G t G ==-+， 即120()'()y x x h x =-的最小值为2ln 23-+. 所以1202()'()ln 23x x h x -≥-+. 22.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =，2t =-.所以直线l 被圆C截得的弦长为12||t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l的距离d=|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆的面积的最大值为223. 解：（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，min 13()()22f x f ==. 所以函数()f x 的值域3[,)2M =+∞.12 （2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a <≤. 又|1||1|1123a a a a a -++=-++=≥， 所以32a ≥，知10a ->，430a ->， 所以(1)(43)02a a a -->，所以37222a a >-， 所以37|1||1|222a a a a -++>>-.。
衡水中学2019年高考理科数学押题最后一卷
P(」-2二：：X —「2二)=0.9545.()第I 卷、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 二1 .3.2~^'，则 z |z|=(1 3 --——i2 22.集合 A 二{x|X 2 -3x ^0}，B 二{x| y =lg(2 -x)}，则 A 「|B =(A . {x|0 _x ：：：2}B . {x|1_co 兀3.已知函数f (x) =COS 「) ^ 0)的最小正周期为-：，则函数6f (x)的图象(A.可由函数g(x) =cos 2x 的图象向左平移C. 可由函数 g(x ) 二cos 2x 的图象向右平移可由函数 g(x ) 二cos 2x 的图象向左平移 D.可由函数g(x ) 二cos 2x 的图象向右平移 二个单位而得3JT个单位而得3TT—个单位而得6'个单位而得6y -3X -3,4.已知实数x ， y 满足约束条件2y _ X • 4, 则z =2x - y 的最大值为( 3x 4y 12 _0,A.2 C.45. 一直线l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AB =2A E ，AD =3AF ，A^ = A^-J AC( ■/ R)，则 § 丄」；=()2AC 于M ，若C..-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(-1,1)的密度曲线)X ~ NC l52)，则P(」X J =0.6827 的点的个数的估计值为(附：若P(」-2二：：X —「2二)=0.9545.( )7 18A.3 B .C.D . 42 510. 已知抛物线C : y 2 =2px(p 0)的焦点为F ,点M(X 0,2&)(x ° •卫)是抛物线C 上一点，圆M 与线 2段MF 相交于点A ，且被直线x 詣截得的弦长为.3 |MA |,若=2，则|AF |=( )A . 3B . 1C.2 D. 32n 3兀11. 若定义在R 上的可导函数f (x)满足f(1)=1,且2f '(x)1，则当x •[-一，二]时，不等式2 232x 、f(2cos x) 2sin的解集为()A.906 B . 1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是(A . 80 8：B. 80 4 二C80-8二D. 80-4二8.已知数列｛a n ｝中,a n 1二a n • n .若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断.n_2017?C. n ： 2015?.n :::2017? 2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止， 记检测的次数为 •，则 E =()1E 观用祂国9.已知5件产品中有2 2兀4兀兀4兀兀，兀兀、A. ( , )B- ( , ) C. (0,—) D -(，)3 3 3 3 3 3 312.已知x o是方程2x2e2x ln x = 0的实根，则关于实数X)的判断正确的是( )1 . A.冷_ In2 B . X o C. 2x0 ln x0 = 0 D . 2e In 冷=0e第U卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若(ax2 b)6的展开式中x3项的系数为20,则a2b2的最小值为____________________ .x2 2 214.已知ABC中，内角A, B , C的对边分别为a , b , c,若a =b c -bc , be = 16，则ABC的面积为____________ .2 215.已知双曲线笃-每=1(a 0,b 0)的左、右顶点分别为A , B两点，点C(0, J2b)，若线段AC的垂a b直平分线过点B，则双曲线的离心率为_______________ .16.已知下列命题：①命题“ -x • R , x2• 3 ：：：5x ”的否定是“ x • R , x2• 3 ：：：5x ”；②已知p , q为两个命题，若“ p q ”为假命题，则“ (一p) (一q)为真命题”；③“ a 2015 ”是“ a 2017 "的充分不必要条件；④“若xy = 0，则x = 0且y = 0 ”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设S n 为数列｛a n｝的前n项和，且Q =1, n已1=(n • 2)S n，n(n • 1), n・N*.(1)证明：数列｛爼1｝为等比数列；n(2)求T n S n.18.如图所示，四棱锥A - BCDE，已知平面BCDE _平面ABC , BE _ EC , BC = 6 ,(1)求证：AC _ BE ;(2)若二面角B_AC - E为45，求直线AB与平面ACE所成角的正弦值•19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高(单位：cm )频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表[IGOJfiJ?[165.1701[17OJ75J [175.1&CU[163.1W12H1342表2:女生身高频数分布表[)50T155>[15S.16OJ[16S,170>()70,175)[175.L8C]171231(1)求该校高一女生的人数;(2)估计该校学生身高在［165,180)的概率;(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在［165,180)学生的人数，求X的分布列及数学期望.20.ABC中，O是BC的中点，|BC| = 3、、2，其周长为6 32，若点T在线段AO上，且| AT |=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程；(2)若M , N是射线OC上不同的两点，| OM | |ON戶1，过点M的直线与E交于P，Q，直线QN 与E交于另一点R，证明：MPR是等腰三角形.21.已知函数f(x)=e x-x2，a，R，曲线y = f(x)的图象在点(0, f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数目二f (x)的解析式；(2)当R时，求证：f(x) --X2• x ；AB =4、3, ABC =30 .(3)若f(x) . kx对任意的x^(0, •：：)恒成立，求实数k的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22.选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线G :以=2cosr，曲线C2: COST 4) COST .以极点为坐标原点，极轴为xxOy，曲线C的参数方程为(t为参数)轴正半轴建立直角坐标系(1)求C1，C2的直角坐标方程;(2)C与G，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H , I , J , K,求||HI|-|JK||的值.23.选修4-5 :不等式选讲.已知a，b为任意实数.4 2 2 4 2 2(1)求证：a 6a b b _4ab(a b )；(2)求函数f(x) =|2x—a4 (1—6a2b2—b4)| 21 x - (2a3b 2ab3-1) | 的最小值.参考答案及解析衡水中学2018年高考理科数学押题最后一卷/答案、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11 、12: DC二、填空题13.2 14. 4 3 15. 16. ②2三、解答题17.解：(〔)因为可勺=&1 - &，所以n(S|.1-Sn)=(n 2)S n n(n 1),即nS n2(n 1)S n n(n 1),则也2 S n1 ,n +1 n所以-S l± ^2(S n1),又^2，故数列｛选1｝为等比数列.n 1 n 1 n(2)由(1)知违• 1 =(§• 1)2nJ =2n，所以q = n 2n-n，n 1故T n-(1 2 2 22川n 2n) -(1 2 山n).设M =1 2 2 22III n 2n，则2M =1 222 23III n 2n 1，所以—M -2 2^1 2n-n 2n 1丄2n 1-2 —n 2n '，所以M =(n -1) 2n 12，所以Tn =(n— 1) 2n12-皿卫.2AR2+RC2_AC2</318.解：(1)ABC中，应用余弦定理得cos. ABC = BC Ac2ABUBC 2解得AC =2；3，所以AC2BC2二AB2，所以AC _ BC .因为平面BCDE _平面ABC，平面BCDE平面ABC = BC，BC _ AC，所以AC _平面BCDE，又因为BE 平面BCDE，所以AC _ BE .(2)由(1) AC _ 平面BCDE，CE 平面BCDE，所以AC _CE .又因为BC _ AC，平面ACE平面ABC = AC ,所以.BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即.BCE = 45 .因为BE _ EC , AC _ BE ,所以BE _平面ACE .所以.BAE是AB与平面ACE所成的角.因为在Rt ACE 中，BE =BCsin 45 =3、2 ,所以在Rt ：BAE 中，sin. BAE 二业6.AB 470 _ x 40 19.解：（1）设高一女学生人数为X，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则—一 =—x 30 解得x = 300 .即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180）的人数为5 14 13 6 3 42，样本容量为70.42 3所以样本中该校学生身高在[165,180）的概率为42 =3.70 5因此，可估计该校学生身高在[165,180）的概率为-.5（3）由题意可得X的可能取值为0，1，2.1 4由表格可知，女生身高在[165,180）的概率为丄，男生身高在[165,180）的概率为-.3 54 1 2 4 1 4 1 9 4 1 4所以P（X=0）=（1-：）（1爲），P（X =1）（1-；）（1-匚），P（X=2）5 3 15 5 3 5 3 15 5 3 15所以X的分布列为：9 4 17所以E（X） =0 1 - 2 _—.15 15 1520.解：（1）以BC所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则| AB | ■ | AC |= 6 BC |，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆所以2a = 6，2c =3 \ 2，由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入y 二f (x)，得a 工「1，所以 |MP|=|MR|， 所以■MPR 是等腰三角形•所以a = 3, 3.2 c 二2所以b 2二a 2所以点A 的轨迹方程为x 2 y 26 升 1(“0).2设 T(x,y)，点 T 在线段 AO 上，且 | AT |=2|T0 |,2 2 2所以A(3x,3 y)，代入=■冀~ =1，整理可得点T 的轨迹E 的方程是x -^12= 1(y"). (2)证明：设 M(m,O)(m 0),1由 |OM | |ON | = 1 得 N(-,0)，P(x 1,y 1) m 题意，直线QM 不与坐标轴平行,k QM二」，直线y 二xi，Q(X 2,y 2)，只区山).由—(x — m) •与椭圆方程联立， m消去 y ，得(m 2 1-2mx 1)x 2 -2m(1-x ：)x (2mx2 _Xi-m 2x^ = 0.所以 x 1x 22m 2m^ -xf -m 2x ； 1 -2m^同理 2mx xx3一 m 2 ^2mx 1=X 1X 2，所以当 x 2 = x 3时，PR _ x轴. ⑴, 2m当 x, = 0 时，x 22m +1X3(1)2 1m2m 二齐 “2，PR _ x 轴,21.解：(1 )根据题意，得f '(x) =e x -2x，则f '(0) =1 =b. 故f (x)二e x—x2—1.(2)令g(x) = f (x) x2 _x = e x _x _1.由g '(x)二e x「1 = 0 ,得x = 0 ,当x (-：：,0) , g '(x) ::: 0, y = g(x)单调递减；当x (0, ：：), g'(x) 0 , y = g(x)单调递增.所以g(x)min =g(0) =0，所以f (x) - -x2 x .(3)f(x) ■ kx对任意的(0, •：：)恒成立等价于丄k对任意的x・(0, •：：)恒成立.x令「(x)二但，x 0，得:'(x) = xf'(x)2f (x)二X© -2x) -一X J1) = (x - 1)(e： - x -1).x x x x由(2)可知，当x • (0, •：：)时，e x-x -1 • 0恒成立，令'(x) 0，得x 1 ；令'(x) ::: 0，得0 ：：x ：：：1.所以y = ：:(x)的单调增区间为(1, V)，单调减区间为(0,1)，故“x)mi n二(1)=e-2，所以k ：：「(x)min =e-2.所以实数k的取值范围为(-：：，e-2).22.解：(1)因为x = ：'cosv，y 二：、si nr，由‘ =2cos 二，得= ^co^，所以C1的直角坐标方程为(x T)2 y2 =1.由］-(「COST 4) COST，得3 si n2v - 4?co^，所以曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)不妨设四点在C上的排列顺序由下而上依次为H ,1 , J , K ,它们对应的参数分别为，t1,t2,t3,t4，如图.连接GJ，则UGIJ为正三角形，所以|IJ F1，故||HI |-|JK|F||HI |-|IK| |IJ 沪曲丨-也| 1卜|-彷t4) 1|.3 22 8 二 4x ，得—t 二 8 - 2t ，即 3t • 8t —32 二 0 ,故 t i t 4，所以 3 23.解：(1) a 4 6a 2b 2 b 4 -4ab(a 2 b 2) = (a 2 b 2)2 -4ab(a 2 b 2) 4a 2 b 2 二(a 2= (a-b)4,因为(a -b)4 _0,所以 a 4 6a 2b 2 b 4 _4ab(a 2 b 2).(2)f(x) =|2x-a 4 (1 -6a 2b 2 -b 4)| 2|x-(2a 3b 2ab 3 -1)|=|2x-a 4 (1 -6a 2b 2 -b 4) | |2x -2(2a 3b 2ab 3 -1)|一 |[2x -2(2a 3b 2ab 3 _1)] _ [2x _a 4 (1-6a 2b 2 -b 4川二 |(a-b)4 1|一1. 即 f max (x) - 1 .=2-»，、2 代入yy t 2 3. 2。
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所以 A∩（∁RB）＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．
故选：D． 2．【解答】解：∵ ＝
的实部与虚部相等，
∴a+1＝1﹣a，即 a＝0． 故选：A． 3．【解答】解：f（x）＝sin2x+ cos2x＝2sin（2x+ ），
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p3：当 x＞﹣1时，
＝x+1+ ﹣1≥2
﹣1＝2﹣1＝0，
9．已知双曲线 ﹣ ＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且倾斜角为 60°的直线与双曲线右支
13．已知随机变量 X取值为 0、1、2，若 P（x＝0）＝ ，E（X）＝1，则 D（X）＝
．
交于 A，B两点，若△ABF1为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．其它
（1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （2）已知直线 l：y＝kx与曲线 C2交于 A，B两点，若 ＝3 ，求 k的值．
20．（12分）已知椭圆 点 F重合． ① 求椭圆 C1的方程；
（a＞b＞0）经过点 M（1， ），且其右焦点与抛物线
的焦
23．已知函数 f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．
（Ⅰ）若关于 x的不等式 f（x）≥|2x+1|的解集为[﹣3， ]，求 a的值；
当且仅当 x+1＝ ，即（x+1）2＝1，得 x＝0时取等号，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）＝1不成立，故命题为假
命题，
p4：在△ABC中，若 A＞B，则 a＞b，由正弦定理得 sinA＞sinB，即命题为真命题， 则正确的命题是 p2，p4， 故选：B．
5．【解答】解：由题意，可得：
，
∵
＝
＝4+4×16﹣4×4＝52．
数 m 的取值范围是（ ）
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◎
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18-19河北衡水中学高三数学 数学押题卷之 7（助力老师：郝爽）
A．[﹣1，2]
B．（﹣4，4]
C．[2，+∞）
D．（﹣∞，2]
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二．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分
③ ，对于区域 E，与 A、B区域相邻，有 3种颜色可选；
④ ，对于区域 D、C，若 D与 B颜色相同，C区域有 3种颜色可选，
若 D与 B颜色不相同，D区域有 2种颜色可选，C区域有 2种颜色可选， 则区域 D、C有 3+2×2＝7种选择， 则不同的涂色方案有 5×4×3×7＝420种， 其中，A、C区域涂色不相同的情况有：
11．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E∈平面 AA1B1B，点 F是线段 AA1的中点，若 D1C⊥CF，则当△EBC
的面积取得最小值时，
＝（ ）
18．（12分）梯形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ ，∠BCD＝ ，AD＝CD＝2，过点 A作 AE⊥AB，交 BC于
E（如图 1）．现沿 AE将△ABE折起，使得 BC⊥DE，得四棱锥 B﹣AECD（如图 2）． （Ⅰ）求证：平面 BDE⊥平面 ABC； （Ⅱ）若 F为 BC的中点，求二面角 D﹣EF﹣C的余弦值．
目与性别有关？说明你的理由； （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9名女生，再从这 9名女生中随机抽
② 若函数 h（x）＝| |是单调减函数，求实数 a的取值范围．
取 4人，设这 4人中选择“地理”的人数为 X，求 X的分布列及数学期望．
（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分
14．已知直线 l：ax+by＝0与椭圆
交于 A，B两点，若 C（5，5），则
的取值范围是
．
15．已知半径为 4的球面上有两点 A，B，
，球心为 O，若球面上的动点 C满足二面角 C﹣AB﹣O的大
小为 60o，则四面体 OABC的外接球的半径为
．
10．已知函数 f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数 g（x）的图象，
（Ⅱ）若∀x∈R，不等式 f（x）﹣|x+a|≤a2﹣2a恒成立，求 a的取值范围．
② 直线 l经过点 F与椭圆 C1相交于 A、B两点，与抛物线 C2相交于 C、D两点．求
的最大值．
21．（12分）已知函数 f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）． （1）若函数 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y+b＝0，求实数 a，b的值；
7．若 x、y满足约束条件
，目标函数 z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），则 a的取值范围
为（ ） A．（﹣1，1） C．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
B．（0，1） D．（﹣1，0]
8．设函数 f（x）＝x3﹣3x2+4x﹣1，x∈R．若当 0＜θ
时，不等式 f（msinθ）+f（4﹣m）＞2恒成立，则实
须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60分
17．（12分）已知函数
．
（1）求 f（x）的最小正周期 T； （2）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c．若
，且面积
，求 的
A．向右平移 个单位
B．向右平移 个单位
值．
C．向左平移 个单位
D．向左平移 个单位
7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z＝ax+y得 y＝﹣ax+z，
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8．【解答】解：f（x）＝x3﹣3x2+4x﹣1＝（x﹣1）3+（x﹣1）+1， 令 g（t）＝t3+t，
① ，对于区域 A，有 5种颜色可选；
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要使目标函数 z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3）， 则若 a＝0，则直线 y＝z在 A（1，3）处取得最大值，满足条件． 若 a＜0，则﹣a＞0， 要使直线 y＝﹣ax+z在 A（1，3）处取得最大值， 则直线 y＝﹣ax+z的斜率小于 AC的斜率 k＝1，即﹣a＜﹣1，的﹣1＜a＜0， 若 a＞0，则﹣a＜0， 要使直线 y＝﹣ax+z在 A（1，3）处取得最大值， 则直线 y＝﹣ax+z的斜率大于 AB的斜率 k＝﹣1，即﹣a＞﹣1，的 0＜a＜1， 综上﹣1＜a＜1，即实数 a的取值范围是（﹣1，1）， 故选：A．
＝55+4 ×
≤55+4 ． ∵55+4 ＝52+2×2
× +3＝（2
）2．
则
的最大值为 2
．
故选：D．
6．【解答】解：提供 5种颜色给其中 5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设 5个区域依次为 A、B、C、D、E，分 4步进行分析：
① ，对于区域 A，有 5种颜色可选；
A．
B．
C．
D．
12．已知函数 f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R，g（x）＝ex﹣x﹣1，若对于任意的 x1∈（0，+∞），x2∈R，不等
式 f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0）
B．[﹣1，0]
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
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男生
选择“物理”
选择“地理” 10
总计
22．在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为
，（θ为参数）已知点 Q（4，0），点 P是曲线
女生
25
总计 附参考公式及数据：X2＝
P（X2≥k） k
，其中 n＝a+b+c+d
0.05
0.01
3.841
6.635
∁l上任意一点，点 M 为 PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6门科目中自选 3门参加考试（6选 3），每科目
满分 100分．为了应对新高考，某高中从高一年级 1000名学生（其中男生 550人，女生 450人）中，根据
（2）设函数 g（x）＝
，x∈[1，e]（其中 e为自然对数的底数）．
性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取 100名学生进行调查．
给其中 5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 A、C区域涂色不相同的概率
为（ ）
A．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
B．[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z） C．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） D．[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z） 4．已知下列四个命题
A．
Hale Waihona Puke B．C．D．
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项
p1：若直线 l和平面α内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝ex﹣e﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）；
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
A．1 5．若平面向量
B．2
C．3
满足
，
，
，
D．4 ，则
的最大值为（ ）
A．（0，1]
B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0）