变幅杆弯曲振动频率的计算及分析

变幅杆弯曲振动频率的计算及分析
蒙永红;贺西平;崔晓娟;卫相润
【摘要】An ultrasonic solid horn inevitably occurs flexural vibration while happening longitudinal vibration,which will affect the stability of the vibrating system. Taking an uniform cross section horn as an example,based on general solutions of Euler-Bernoulli equation,or only considering rotational inertia or only considering shear deformation and both considering Timoshenko's equation. This paper calculates its frequencies of flexural vibration,as well as analyses using of a finite element software. According to the computed values and experimental ones,the error results are obtained for each calculational method.%超声变幅杆发生纵向振动时会不可避免地发生弯曲振动,进而影响振动系统的稳定性.以圆柱型变幅杆为例,分别通过不考虑转动和剪切的Euler-Bernoulli理论、只考虑转动惯量或只考虑剪切变形的影响、以及考虑转动惯量和剪切变形影响的Timoshenko理论,计算了对应的弯曲振动频率.又利用有限元软件计算了弯曲振动频率,并将上述计算值与实验测试值进行了比较,分析得到了各自的误差结果.
【期刊名称】《电加工与模具》
【年(卷),期】2018(000)002
【总页数】3页(P60-62)
【关键词】变幅杆;弯曲振动;固有频率
【作者】蒙永红;贺西平;崔晓娟;卫相润
【作者单位】陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西省超声重点实验室,陕西西
安710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西省超声重点实验室,陕西西安710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西省超声重点实验室,陕西西安710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西省超声重点实验室,陕西西安710119
【正文语种】中文
【中图分类】TG663
变幅杆的主要作用是聚能和机械阻抗匹配。

林仲茂对传统的纵向振动变幅杆做了详细的研究[1]。

文献[2]提出了一端输入、多端输出的纵振动转换体，根据连接处各
物理量的连续条件推导出了设计转换体的频率方程。

文献[3]推导了夹角型变幅杆
的矩阵解析法。

超声变幅杆纵向振动时会不可避免地出现弯曲振动，影响振动系统的稳定性,也会降低振动系统的工作效率，严重时会出现啸振甚至停振。

有目的地利用弯曲振动有利于超声加工。

例如，对蓝宝石衬底进行辅助化学机械抛光加工，使其表面光滑，提高材料去除率[4]；双向弯曲振动对硬脆材料以椭圆振
动的方式进行加工，可得深度为1.9 μm的小槽[5]；弯曲振动的焊极利于塑料焊
接[6]。

为了研究变幅杆的弯曲振动，文献[7]、[8]用传输矩阵法计算了超声锥形变幅杆的弯曲振动频率。

文献[9]提出了变截面杆弯曲振动的半解析法。

文献[10]计
算了一种圆锥形变幅杆弯曲振动固有频率。

本文以圆柱型变幅杆为例，分别在只考虑转动惯量或只考虑剪切形变影响时采用Euler-Bernoulli理论以及在考虑转动惯量和剪切变形影响时采用Timoshenko理论，计算了该变幅杆的弯曲振动频率方程，并得到了杆的前三阶频率值，又利用有限元软件计算其弯振频率，将解析计算和有限元计算结果与实验测试值进行了比较。

1 圆柱型变幅杆弯曲振动固有频率
等截面杆弯曲自由振动的微分方程为：
式中：I为转动惯量；Y为横向位移；K′为剪切系，对于圆截面取值为0.9；A为截面圆的面积。

1.1 Euler-Bernoulli理论
式（1）中若不考虑转动和剪切，所得均匀截面杆的弯曲振动方程为：
式中：Y为杆上各点的横向位移；c为纵波声速；截面的回转半径K为半径r的一半。

结合自由边界条件可得：
式中：；l为杆的长度。

则两端自由的圆柱型杆弯曲振动谐振频率方程为：
式中：
1.2 考虑转动惯量的弯曲振动频率
在只考虑转动惯量的影响时，式（1）中不含剪切系数，则弯曲振动方程为：
令 Y（x，t）=y（x）T（t），则杆两端自由边界条件下的弯曲振动谐振频率方程为：
1.3 考虑剪切变形的弯曲振动频率
在只考虑弯曲变形引起的剪切效应时，式（1）中不含项，则弯曲振动方程为：
令 Y（x，t）=y（x）T（t），同理可得弯曲振动谐振频率方程为：
1.4 考虑转动惯量和剪切变形影响的Timoshenko理论
简化式（1），可得Timoshenko理论杆的弯曲振动方程为：
由此可得弯曲振动谐振频率方程为：
2 有限元计算
取一圆柱型变幅杆，其截面直径D=15 mm，长度L=120 mm，材料为45钢，
杨氏模量E=2.10e11Pa，剪切模量G=8.0e10Pa，密度ρ=7800 kg/m3。

如图 1所示，采用Ansys15.0软件建立杆的有限元模型，其坐标原点位于x=0处，所建模型单元类型为Solid187，其中单元数和节点数分别为22 978和4694。

图
2a～图2c分别为弯曲振动的前三阶振型图。

图1 圆柱形变幅杆的有限元模型
图2 变幅杆弯曲振动的前三阶振型图
3 实验测试及分析
为了验证上述理论计算方法，通过实验测试了该圆柱形变幅杆两端自由状态的弯曲振动频率，测试结果见图3。

实验采用VibPilot振动测试系统多通道测试仪器，
将交变信号的电压和频率施加到厚度为0.4 mm、直径为10 mm的压电陶瓷片上。

利用YD-8型加速度计采集这种振动，并将采集的信号传回VibPilot系统，经分析、处理后得到测试结果。

图3 变幅杆两端自由状态的弯曲振动频率测试结果
加工上述尺寸的变幅杆，由式（4）、式（6）、式（8）和式（10），即可求得该变幅杆的前三阶弯曲振动频率，结果见表 1。

其中，下标 E、B、S、T、e、t分别表示：Euler-Bernoulli理论计算值、考虑转动惯量的理论计算值、考虑剪切变形的理论计算值、Timoshenko理论计算值、有限元计算值、实验测试值。

上述各方法与实验测试值的误差分别为：Δ1=
表1 变幅杆前三阶弯曲振动频率的理论计算与实测值项目fE/Hz 4743 13 276 26 016 fB/Hz 4722 12 301 22 619 fS/Hz 4746 12 339 22 496 fT/Hz 4766 12 220 22 443 fe/Hz 4728 12 278 22 341 ft/Hz 5184 12 112 21 760 Δ1/% 8.50 9.61 16.35 Δ2/% 8.91 1.56 3.94 Δ3/% 8.45 1.87 3.38 Δ4/% 8.06 0.89 3.13
Δ5/% 8.79 1.37 2.67第一阶第二阶第三阶
由表1可知，Euler-Bernoulli理论计算结果与实验测试结果相比误差较大；有限元计算结果误差为1.37%～8.79%。

Timoshenko理论计算结果与实验测试结果最接近，其最大误差只有8.06%，最小误差为0.89%。

这是因为Euler-Bernoulli 理论忽略了变幅杆的转动惯量和剪切变形影响，故造成的误差较大；而Timoshenko理论考虑了这两种情形，使其理论值与实验测试值较接近。

4 结束语
本文利用Euler-Bernoulli和Timoshenko理论，计算、实测了圆柱型变幅杆的弯曲振动频率，发现Timoshenko理论的计算结果与实验测试结果最接近。

基于该方法，可研究变截面变幅杆的弯曲振动频率，为纵-弯耦合、弯-弯耦合等复合型振动系统的设计提供理论依据。

【相关文献】
[1]林仲茂.超声变幅杆的原理和设计[M].北京：科学出版社，1987.
[2]贺西平，张海岛.单端输入多端输出的纵振动转换体的研究[J].中国科学：物理学力学天文学，2016，46（3）：034301.
[3]张海岛，贺西平，王维鸽.夹角型变幅杆的矩阵解析法[J].云南大学学报（自然科学版），2016，38（2）：225-231.
[4]XU Wenhu，LU Xinchun，PAN Guoshun，et al．Ultrasonic flexural vibration assisted chemical mechanical polishing forsapphire substrat [J]．Applied Surface Science，2010，256（12）：3936-3940．
[5]SUZUKI N，MASUDA S，HARITANI M，et al．Ultraprecision micromachining of brittle materials by applying ultrasonic elliptical vibration cutting[C]//Micro-Nanomechatronics and Human Science，2004 and the Fourth Symposium Micro -Nanomechatronics for Information-Based Society，2004．Nagoya，2004：133-138．
[6]WATANABE Y，MORI E.A study on a new flexuralmode transducer-solid horn system and its application to ultrasonic plastics welding[J].Ultrasonics，1996，34 （2-5）：235-238.
[7]周光平，李明轩.超声弯曲模式变幅杆的振动分析[J].声学学报，2000，25（2）：120-125.
[8]ZHOU Guangping，LI Mingxuan.A study on ultrasonic solid horns for flexural
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[9]崔灿，蒋晗，李映辉.变截面梁横向振动特性半解析法[J].振动与冲击，2012，31（14）：85-88.
[10]严日明，刘德福，陈涛，等.一种圆锥形变幅杆弯曲振动固有频率的计算方法 [J].振动与冲击，2016，35（7）：198-204.。