河北省承德市第四中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析

河北省承德市第四中学2018-2019学年高三数学理上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 方程的解所在区间
是
A．（0，2） B（1，2） C.（2，3） D.（3，4）参考答案：
C
2. 某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．13π B．16π C．25π D．27π
参考答案：
C
3. 若,则( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
4. 已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
A
【考点】复数求模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】根据复数模的定义，直接计算z的模长即可．
【解答】解：∵复数z=（i为虚数单位），
∴|z|====．
故选：A．
【点评】本题考查了复数求模的应用问题，是计算题目．
5. 设函数的定义域为，值域为[0，1]，若n-m的最小值为，则实数a的值为
A．B．C．
D．
参考答案：
D
6. 已知a，b，c为直线，平面，则下列说法正确的是( )
①，则②，则
③，则④，则
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③
D. ①④
参考答案：
【分析】
①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.
【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为以及一个侧面为，则，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为，下底面为，则不成立，故错误；④选取上下底面为，任意作一个平面平行上底面为，则有成立，故正确.所以说法正确的
有：①④.
故选：D.
【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.
7. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）
A．-2 B．4 C．4 D．-4
参考答案：
B
8. 复数（为虚数单位）的模为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
9. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）[学。

科
A. B. C. D.
参考答案：
B
10. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）
A．3 B． C.5 D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若
,则
参考答案：
3
12. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是．
参考答案：
13. 给出以下五个命题：
①命题“”的否定是：“”.
②已知函数的图象经过点，则函数图象上过点P的切线斜率等于
.
③是直线和直线垂直的充要条件.
④函数在区间上存在零点.
⑤已知向量与向量的夹角为锐角，那么实数的取值范围是
.
其中正确命题的序号是________.
参考答案：
②③④
①命题“”的否定是,所以错误。

②因为函数
的图象经过点，所以有，所以，所以
，，所以在点P处的切线斜率为
，所以正确。

③两直线的斜率分别为，若两直线垂直，所以有，即，所以，解得，所以③正确。

④因为，，所以函数在区间上存在零点，所以④正确。

⑤向量的夹角为若向量共线，则有，即，所以，此时有，向量夹角为0，要使的夹角为锐角，则有且。

即，解得，所以实数的取值范围是
且，所以⑤错误。

所以正确的命题的序号为②③④。

14. 已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是．
参考答案：
（，0）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函数y=f（x）为偶函数，
令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，则f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期数列，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，
此时f（﹣x）=﹣x=f（x），
∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，
令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．
作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，
如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，
关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，
又∵k MA=0，k MB=，
∴＜k＜0．
故答案为：（，0）．
15. 在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线
的焦点，则该抛物线的准线方程是．
参考答案：
16. 已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)．复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数．则z2=________．
参考答案：
4＋2i
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
17. （09南通期末调研）数列中，，且（，），则这个数列的通项公式▲．
参考答案：
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）为了宣传今年6月在成都市举行的“财富论坛”，筹委会举办了“财富论坛”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：
（1）分别求出a，x的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“财富论坛”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
参考答案：
解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，
再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分
∴a=100×0.020×10×0.9=18，………………………………4分
,
………………………………6分
（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，
第3组：人，第4组：
人．………………………………8分
设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，………………………………10分
其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．
∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分
略
19. 如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；
（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）连接CB1交BC1于点O，连接EC，EB1，推导出EO⊥CB1，EO⊥BC1，从而EO⊥平面BCC1B1，由此能证明平面EBC1⊥平面BCC1B1．
（2）取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，推导出C1H⊥平面BB1A1A，则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角，由此能求出直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，
连接EC，EB1，
依题意有；EB=EC1=EC=EB1，…
∴EO⊥CB1，EO⊥BC1，
∵CB1∩BC1=O，∴EO⊥平面BCC1B1，
∵OE?平面BC1E，∴平面EBC1⊥平面BCC1B1．…
解：（2）如图2，取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，
∵AA1⊥平面ABC，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A，
平面A1B1C1∩平面BB1A1A=A1B1，
又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，
∴C1H⊥A1B1，∴C1H⊥平面BB1A1A，
则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角．…
令棱长为2a，则C1H=，BC1=，
∴
所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为．…
20. 在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，，
，面ABCD⊥面ADEF，..
（1）求证：平面平面；
（2）设M为线段EC上一点，，试问在线段BC上是否存在一点T，使得
平面，若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点A到平面MBC的距离.
参考答案：
解:（1）因为面面，面面，，所以面，.
在梯形中，过点作作于，
故四边形是正方形，所以.
在中，，∴.，
∴，∴∴.
因为，平面，平面.
∴平面,
平面，∴平面平面.
（2）在线段上存在点，使得平面
在线段上取点，使得，连接.
在中，因为，所以与相似，所以
又平面，平面，所以平面.
（3）
21. （本小题满分12分）
某家具生产厂需要在一个半径为1的圆形木料中依照图纸方式切割出如右十字图形，其中为变量），
(1)用表示，并求出的取值范围；
(2)将阴影部分的面积S表示为的函数，并求出S的最大值及此时的值。

参考答案：
22. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若，求曲线在点处的切线斜率；
（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于.
参考答案：
（1）解：依题意，，，故，
即曲线在点处的切线斜率为；
（2）证明：因为,所以在区间上是单调递增函数. 因为，，
所以，使得.
所以，；，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上有极小值.
因为，所以.
设，，
则，所以，
即在上单调递减，所以，
即，故当时，函数有极小值，且极小值大于m.。