2019年河南省商丘市回族高级中学高三数学理联考试卷含解析

2019年河南省商丘市回族高级中学高三数学理联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在上为减函数，则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
B
因为函数在上为减函数，则有且，解得，选B.
2. 某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是
A．（1），（3） B．（1），（3），
（4） C．（1），（2），（3） D．（1），（2），（3），（4）
参考答案：
A
3. 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，
∴f′（x）=x2cosx+cosx，
∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），
∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，
当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，
故选：C．
4. 执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（）
A.7
B.6
C.5
D.4
参考答案：
5. 设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为( )
A． B． C．4
D．1
参考答案：
B
6.
从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( )
A 0.53，
B 0.5，
C 47，
D 0.37。

参考答案：
A
7. 已知x=2是函数f（x）=x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A．15 B．16 C．17 D．18
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】求出导数，由题意得，f′（2）=0，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣3ax+2的导数f′（x）=3x2﹣3a，
由题意得，f′（2）=0，即12﹣3a=0，a=4．
f（x）=x3﹣12x+2，f′（x）=3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2），
f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2；f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，
故x=2取极小值，x=﹣2取极大值，且为﹣8+24+2=18．
故选D．
【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题．
8. 若复数z满足(1－2i)z＝1＋3i，则|z|＝()
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
B.
，所以.
9. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，
则的取值范
围（）
参考答案：
D
10. 已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆与D围成的区域面积为
A． B．
c． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则▲ .
参考答案：
略
12. 不等式的解集是．
参考答案：
13. 已知的面积为，则的周长等于
参考答案：
，即。

又由余弦定理可知
，即，所以，即
，解得，即。

所以的周长等于。

14. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．
参考答案：
.
【分析】
设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．
分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．
连，则为外接球的半径，设半径为．
∵三棱锥的体积为，
即，
∴．
在中，可得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴球表面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．
15. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100π，PA⊥面，则该三棱锥体积的最大值为____。

参考答案：
【分析】
根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.
【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则
，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.
【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.
16. 将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍
，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在
上单调递减，则．
参考答案：
3
17. 设满足则的最小值为_______
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的右顶点和上顶点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，分别是轴负半轴，轴负半轴上的点，且四边形的面积为2，设直线和的交点为，求点到直线的距离的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）由得.
又，所以，.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，，，其中，.因为，，
所以，，得，.
又四边形的面积为2，得，
代入得，
即，整理得.可知，
点在第三象限的椭圆弧上.
设与平行的直线与椭圆相切.
由消去得，，.
所以点到直线的距离的最大值为.
19. 某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：
（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10,20)和[20,30)的员工中选取5人.从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10,20)和[20,30)中各有1人的概率.
参考答案：
（Ⅰ）26.4；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数；
（Ⅱ）由分层抽样可知，人中位于中的有人，分别记为、，在中的有人，分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在和中各有人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）记这名员工学习得分的平均数为，
则；
（Ⅱ）用分层抽样可知从中选人，记这人分别为、，
从中选3人，记这3人分别为、、.
从、、、、中再任取2人的情况有：
、、、、、、、、、，共10种.
其中得分在和中各有1人的情况有：
、、、、、，共6种.
记事件为“得分在和中各有1人”，则.
【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题.
20. 已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f(x)的最小正周期，并画出f(x)在区间[0，π]上的图象.
参考答案：
（Ⅰ）-1；（Ⅱ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）将x=代入解析式求解即可；（Ⅱ）化简得f（x），可得f （x）的最小正周期为π，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在[0，π]上的图象．
【详解】（I）
.
（Ⅱ）
.
所以的最小正周期.
因为，所以.
列表如下：
【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查．
21. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G 是线段BF上一点，AB=AF=BC
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；
（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由线面平行的性质定理可得过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，连接GD，CD，可得EG∥CD，根据线面平行的判定定理和性质定理，证明CE∥GD，可得四边形GDCE是平行四边形，进而得到G为BF的中点；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，求出F，B，C，E的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算?，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，
过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，
连接GD，CD，
由线面平行的性质定理可得EG∥CD，
又因为AF∥CE，AF=2CE，
CE?平面ABF，AF?平面ABF，
CE∥平面ABF，CE?平面CEGD，
可得CE∥GD，
则四边形GDCE是平行四边形，
即有AF∥GD，AF=2GD，
即G为BF的中点，
则=；
（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC，
因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
设AB=AF=BC=2，
则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
因为?=（﹣2，0，2）?（2，2，1）=﹣2×2+2=0×2+2×1=﹣2≠0，
所以BF与AE不垂直，
所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．
22. 编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
( II)从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，用运动员的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2人得分之和大于50分的概率，
参考答案：
略。