2018届高三数学同步单元双基双测“AB”卷江苏版 专题1

班级 姓名 学号 分数
（测试时间：120分钟 满分：160分）
一、解答题(本大题共10小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极
坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。

（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
（2）圆C 的极坐标方程为αρcos 2=，试判断直线l 与圆C 的位置关系. 【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交
考点：曲线的参数方程
2．在平面直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为1322
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
的极坐标方程为ρθ=．设P 为直线l 上
一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标． 【答案】()3,0
考点：极坐标与直角坐标的互化及参数的运用.
3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos （θ－4
π
）＝
2.求C 1与C 2交点的极坐标；（0,02ρθπ<≤<） 【答案】34,2
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，54π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
【解析】
试题分析：先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可
试题解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2
＋（y －2）2
＝4 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. …4分
解()2
22440
x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 得1104x y =⎧⎨
=⎩ 222
2
x y =⎧⎨=⎩
所以C 1与C 2交点的极坐标为34,
2
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，54π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
考点：点的极坐标和直角坐标的互化 4. 选修4-4：极坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2
sin
cos 0ρθθ-=，点(1,)2
M π
．以极点O 为原点，
以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积．
【答案】（1）x y =2
，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 22122
；（2）2．
（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t
x 2
2122
（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 2
2)221(2-=+
，即02232=++t t ， 01024)23(2>=⨯-=∆，
设B A ,对应的参数分别为21t t 、，则⎩⎨⎧=⋅-=+2
2
32121
t t t t
又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得
点M 到B A ,两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA 考点：1．极坐标系与直角坐标系的互化；2．参数方程的应用．
【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩，222tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，解决这类问题一般先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 5.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨
=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l
极坐标方程是2sin()3πρθ+
=射线:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（Ⅰ）=2cos ρθ（Ⅱ）
2
所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ
（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθ
πθ⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得11
=1=3πρθ， 设22(,)Q ρθ
，则由(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪
⎨=
⎪⎩
，解得22=3=3πρθ， 所以||2PQ =
考点：参数方程化直角坐标方程，直角坐标方程化极坐标 6.选修4-4：坐标系与参数方程
已知⊙C
的极坐标方程为：2
sin()604
π
ρθ-+
+=
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的圆心坐标，并选择合适的参数，写出圆C 的参数方程； （Ⅱ）点(,)P x y 在圆C 上，试求u xy =的值域 【答案】（1）圆心坐标
为
，取旋转角α为参数，则圆C 的参数方程为C
：
2(2x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参变数）；（2）．
（2
）(2)(2)4cos )2sin cos u x y αααααα=⋅==+++
设2
2sin cos 1
sin cos )4t t t ααπ
ααα⎧=-⎪=+=+⇒⎨≤≤⎪⎩
∴222()143(1u f t x y t t t ==⋅=+-+=++=+
，(t ≤ ∴19u ≤≤，∴u xy =的值域[1,9]u ∈．
考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、三角函数值域、配方法．
7.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标方程为ρ2
sin θ＝cos a θ （a ＞0），过点(2,4)P --的直线l
的参数方程为
2,2,2
x y ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩＝－＋＝－4＋ （t 为参数）
，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2||||||PA PB AB ⋅=，求a 的值．
【答案】（Ⅰ）2(0)y ax a =>，2y x =- （Ⅱ）2．
设A B 、两点对应的参数分别为12t t ,,
则有12128),4(8)t t a t t a +=+⋅=+．
∵2
PA PB AB ⋅=,∴21212()t t t t -=⋅, 即21212()5t t t t +=⋅．
∴22)]20(8),6160a a a a +=++-=． 解之得：2a =或8a =- （舍去）,∴a 的值为2．
考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义
8．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2
π
ρθθ=∈．
（1）求C 得参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
【答案】（1）1cos ,
sin ,
x y αααπα=+⎧≤≤⎨=⎩（为参数，0）
；（2）3(,22．
∴半圆C的参数方程为：
1cos,
sin,
x
y
α
ααπ
α
=+
⎧
≤≤
⎨
=
⎩
（为参数，0）
考点：1．曲线的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化；2．直线与圆的位置关系． 9.选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2
sin cos 0ρθθ-=，点(1)2
M π
，. 以极点O 为原点，
以极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系．斜率为-1的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A ，B 两点的距离之积.
【答案】（Ⅰ）2
y x =
，212
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（Ⅱ）2．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的方程可得曲线C 的直角坐标方程，点M 的极坐标化为直角坐标，算直线l 的倾斜角，即可得直线l 的参数方程；（Ⅱ）先将直线l 的参数方程代入曲线C
的方程可得2
20t ++=，再利用参数的几何意义可得点
M 到A ，B 两点的距离之积．
（Ⅱ）把直线l
的参数方程212
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C 的方程得
2(1)22
+
=-
，即220t ++=，
242100∆=-⨯=>，
设A 、B 对应的参数分别为12t t 、
，则1
2122
t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩
又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得
点M 到A ，B 两点的距离之积1212||||||||||2MA MB t t t t ⋅==⋅=
考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程；3、参数的几何意义． 10.在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点P （-1，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为
26cos 50.ρρθ-+=
（1）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；
（2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围
【答案】（1）50,
,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
；（2）33⎡-+⎣． 【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数、圆锥曲线、曲线与方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力．第一问，根据直线l 过点(1,0)-，设出直线的参数方程，并代入圆锥曲线方程，根据曲线有交点得到二次方程有解的结论，从而解出cos α的范围，再求α的取值范围；第二问，设出圆锥曲线的参数方程，即可用参数坐标表示x+y ，进而用三角函数的有界性讨论函数的取值范围．
（2）曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2
234x y -+=，其参数方程为32cos 2sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）
(),M x y 为曲线C 上任意一点，
32cos 2sin 34x y πθθθ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝
⎭
x y ∴+的取值范围是33⎡-+⎣ 考点：三角函数、圆锥曲线、曲线与方程．。