高中数学必修四课件-2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(9)-人教A版

解：因为
2
a
2
a
2
36, b
2
b
16
a • b a • b cos 6 4 cos b a b a 2a • b b 2 19
2
2
2
a b a b a 2a • b b 2 6
课堂小结
知识层面 思想方法层面
课堂小结
知识层面
1.向量数量积的概念 2.向量投影的概念 3.数量积的几何意义 4.性质 5.数量积的运算律
应用与提高
例5.已知 求
a 6，b 4 ， a与b 的夹角60º， a b，，a b
a •a a •b 6b•b
2
2
a a•b6b
2
2
a a b COS 6 b
62 6 4COS600 6 42
-72
应用与提高
例5.已知 a 6，b 4 ， a与b 的夹角60º，
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0
注意：
（1） a ·b中间的“ ·”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． （2） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的 范围是 [ 0°，180°]．
概念获得
问题3：两个非零向量的数量积的符
号什么时候为正?什么时候为负?什么时
候为零？
夹角θ的范围
0
2
=
2
a b的符号
正
零
2
负
性质获得
问题4：两个非零向量 a，b的夹角θ 有哪些特殊情况？
此时，两个非零向量的数量积 a b 为多少？
数量积的性质
设a和b都是非零向量，则
（1）a⊥b
a ·b = 0
（2）当a与b同向时， a ·b = |a| |b|
情境引入
情境:一个物体在力 F 的作用下发 生了位移 S ，那么该力对此物体所 做的功为多少？
F F
ss
探究新知 标量
矢量 矢量
标量
向量
向量
探探究究新新知知
已知非零向量 a 与 b，我们把数量| a || b | cos 叫作 a与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
探究数量积的运算律
运算律：
（1）a ·b = b ·a （2）(λa ) ·b = λ (a ·b ) = a ·(λ b ) （3）(a + b) ·c = a ·c + b ·c
探究数量积的运算律
运算律：（3）(a + b) ·c = a ·c + b ·c
证明：任取一点O，作OA = a ， AB = b ，OC = c . | a + b | cosθ = | a | cosθ1 + | b | cosθ2 .
当a与b反向时， a ·b = - |a| |b|
或 |a| =
aa
概念获得
问题5：| a|cosθ在图中对应着什么?
a
θ
b
cos | F | cos
| a| cosθ
概念获得
（1）向量投影的概念： 投影
（2）平面向量的数量积的几何意义是什么？
平面向量的数量积的几何意义:数量积 a·b 等于a的长度|a| 与b在a的方向上的投影|b| cosθ 的乘积
A
θ2
bB a
θ1
。θ
O A1 c B1 c
∴ | a + b | | c | cosθ = | a | | c | cosθ1 + | b | | c | cosθ2 .
∴ (a + b) ·c = a ·c + b ·c
应用与提高
例4： 对任意向量 a ，b是否有以下结论：
（1） (a b)2 a 2 2a b b2 （2） (a b) (a b) a2 b2
应用与提高
例1 （1）
已知向量 a与向量
若a与b的夹角为
b，|a|＝6，| ，求a • b
b|＝4，
4
（2） 若a • b 12,求a与b的夹角
（3） 若a • b 3,求a在b方向上的投影
cos = a b 为a,b的夹角 | a || b |
应用与提高
例2：在正三角形ABC中，AB=2， （1）求AB • AC； （2）求AB • BC； （3）求BC • AC
课堂小结
思想方法层面
1.数形结合的思想 2.分类讨论的思想 3.类比的思想
作业：高一数学课本P108 第2，5，6题
谢谢大家！
从几何意义的角度你可以做出这道题么？
应用与提高
例3：如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC
的中线，且|AD|=3，求AB • AD
A
B
D
C
探究
探究：在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，
过点A做BD的垂线，垂足为P，且AP=3，求AP • AC
A
B
D
PD C
探究数量积的运算律
问题6：我们学过了实数乘法的哪些运算 律？ 这些运算律对向量数量积是否适用？
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
如果没有运算，向量只是一个“路标”， 因为有了运算，向量的力量无限。
问题1：我们研究过向量的哪些运算？ 这些运算的结果是向量还是数量？
加法，减法，数乘运算， 这些运算的结果是数量
问题2： 我们已经学习了两个向量的加法 和减法，同学们认为那么接下来该研究两 个向量的什么运算呢？