量子力学第六章固体的能带理论优秀文档

2 3
N
Vc
➢ 在第一布里渊区内，波矢k的数目为
/N
N
➢ 在倒空间内波矢k的密度为
N
Vc
2 3
在二维情况下，波矢k的密度为
S c /2 2
在一维情况下，波矢k的密度为
Lc /2
其中，Vc、Sc、Lc分别为晶体的体积、面积、长度。 4、由于在第一布里渊区内k的数目为N，因此在每个能带内有N个
由于右边第二项一般不为零，因而k (x)不是动量算符-iħd/dx 的本征态，ħk不是动量算符的本征值。
➢ ħk在晶体中发生的许多过程中起电子动量作用，常被称为电子 的晶体动量（或准动量）。
五、周期性边界条件与波矢k的取值 1、周期性边界条件 晶格的周期性边界条件用于布洛赫波得
n ,k r n ,k r N ia i i 1 ,2 ,3
二、布洛赫定理 1、布洛赫定理
在周期性势场中，薛定谔方程的解（电子波函数）
krUkreikr
其中 Uk(r)UK(rRn)
2、布洛赫波 ➢ 具有 k (r) = Uk (r) eik·r形式的波函数称为布洛赫波。 ➢ 布洛赫定理表明，布洛赫波是自由电子的平面波eik·r被晶格周期
函数Uk(r) 调幅的平面波。
2=l2/N2
其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3
3=l3/N3
Ψn,K(r)=Ψn,K+Kh(r) 其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3 用软x射线发射谱可以研究态密度的特征 K空间的每一点对应于能带内的一个能量E，而一个给定的能量E对应着波矢空间的一系列k点，这些k点在波矢空间形成的曲面称为等 能面。
三、克龙尼克-潘纳模型 1、模型 ➢ 克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。
➢ 势场周期为（a+b），势垒高度为V0，势垒宽度为b。 ➢ 假定V0足够大，b足够小，二者的乘积是一个有限值。
2、根据克龙尼克-潘纳模型计算得到E~k关系曲线
晶格的周期性边界条件用于布洛赫波得
1=l1/N1
量子力学第六章固 体的能带理论
3、根据上述近似所建立的有关固体中电子状态的理论就是能带理 论。
4、薛定谔方程： 2 r22 EVr r0
5、由于晶体结构具有周期性，因而晶体中的每个价电子都处在一 个完全相同的严格周期性势场中。 电子势函数V（r）的周期与晶体结构的周期相同： V（r）= V（r+Rn）。其中Rn=n1a1+n2a2+n3a3是格矢。
其 中 l1 、 l2、 l30,1,2,
2、波矢k的取值 设k=1b1+ 2b2+ 3b3，其中1、 2、 3是待定的系数。代入
上式，求得
1=l1/N1 2=l2/N2#43; （l2/N2 ）b2+ （l3/N3）b3
3、波矢k的密度 ➢ 每个波矢k在倒空间所占体积为
➢ 能量较高的允带较宽，能量较低的允带较窄
➢ 对于任一能带，能量E是波矢k的周期函数，周期为倒格矢k h =
(2/a)h。 EnkEnkkh
四、布洛赫定理的一些重要推论
1、布洛赫函数及能量的严格表达式
对于每一指定的波矢k，对应着很多波函数和能量，它们分 属不同的能带。第n个能带的波矢为k的波函数和能量记为 n,k(r)、 E n (r) ，布洛赫波n,k (r) = Un,k (r) eik·r 2、周期性
第n个能带的波矢为k的波函数和能量记为 在第一布里渊区内，波矢k的数目为 利用调幅因子的周期性，得到：
n,k(r)、 E n (r) ，布洛赫波 n,k (r) = Un,k (r) eik·r
每个波矢k在倒空间所占体积为
1=l1/N1
2=l2/N2
3=l3/N3
如果将k值限制在第一布里渊区- /a~ /a内，这些波矢完全能标志所有的波函数和能量，它们称为简约波矢。
3、布洛赫定理的另一种表示： n,k (r+Rl) = eik·Rl n,k (r)。 在布洛赫函数中，将坐标平移一个格矢的效果是乘上一个相位 因子eik·Rl 。
4、周期性势场中的电子是晶体中的公有化电子。
由布洛赫定理得到|n,k (r) |2= | n,k (r+Rl) |2，表明周期性势 场中的电子在r处与r+Rl处出现的几率相等，即电子在各个元胞 的对应点出现的几率是一样的。
势假➢场定周 V在0期足为够周（大a，期+bb）足性，够势小势垒，高二场度者为的中V乘0积，，是势一垒电个宽有度子限为值b有。。 带状结构的能谱。能谱由允带和禁带
势其场中周交期为替（a排+b）列，势组垒高成度为。V0，禁势垒带宽度出为b现。 在k= (/a)·h的位置，其中h为整数。
➢ E是k的偶函数，即E（k）= E（-k）
电子是公有化的，而不是局限在某个特定的原子附近运动。
5、ħk不是晶体电子的真实动量
➢ 对于自由电子，波函数是平面波， ħk是动量算符的本征值，P= ħk是处在状态k (r) = A eik·r的电子的真实动量。
➢ 对于一维周期性势场中的电子，
id d xk x id d x U k x e i k x k k x ie i k x d d x U k x
将布洛赫函数代入 U n ,kre i k r U n ,kr N ia ie i k r e i k N ia i
利用调幅因子的周期性，得到：
e eiik kN N 2 1a a1 2 1 1即 K K N N 2 1a a1 2 2 2ll1 2 eikN 3a31 KN 3a32l3
➢ K态与k+kh态是相同的状态。即 Ψn,K(r)=Ψn,K+Kh(r)
En(K)=En(K+Kh) 其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3 ➢ 如果将k值限制在第一布里渊区-/a~ /a内，这些波矢完全能标 志所有的波函数和能量，它们称为简约波矢。因此第一布里渊区 也称为简约区。
➢ 电子的能量对称性与晶体点群对称性一致：E n (k)= E n (k)。 其中表示晶体所有的点群对称操作。
能量状态，即一个能带内有N个能级。又由于N是一个很大的数， 且能带的宽度仅为数电子伏特。所以在一个能带内部能级十分密 集，可以近似地看作是连续的或者准连续的。
六、状态密度