绝对值几何意义应用

绝对值几何意义应用
一、几何意义类型： 类型一、0
-=a a
：表示数轴上点a 到原点0距离；
类型二、 a
b b
a -=-：表示数轴上点a 到点
b 距离（或点b 到点a 距离）；
类型三、)(b a b a --=+)
(a b --=：表示数轴上点a 到点b -距离（点b 到点a
-距离）；
类型四、a x -：表示数轴上点x 到点a 距离； 类型五、)
(a x a
x --=+：表示数轴上点x 到点a -距离.
二、例题应用：
例1.（1）、4-x 几何意义是数轴上表示x 点及表示 点之间距离，若4-x =2，则 =x .
（2）、3+x 几何意义是数轴上表示x 点及表示 点之间距离，若13=+x ，则 =x .
（3）、如图所示数轴上四个点位置关系，且它们表示数分别为m 、n 、p 、q.若15
=-q m ，
8
10=-=-m p n
q ，，则
=
-p n ;若
15
=-q m ，
，，q n n p m p -=
-=-31
8
则=-p n .
（4）、不相等有理数c b a ，，在数轴上对应点为A ，B ，C ，如果
c
a c
b b a -=---，
则点A ，B ，C 在数轴上位置关系 .
拓展：已知d c b a 、、、均为有理数，25
169=+--≤-≤-d c b a d
c b a 且，
，求
.的值c d a b ---
解析：()25169)(=+≤-+-≤---d
c b a
d c b a .
25=+--d c b a 且
169=-=-∴d
c b a ，
.
7169-=-=---∴c d a b
例2.（1）、①当 =x 时，3+x 取最小值；②当 =x 时，
3
2+-x 取最大值，最大
值为 .
（2）、①已知
7
23=++-x x ，利用绝对值在数轴上几何意义得
=x ;
②已知5
23=++-x x ，利用绝对值在数轴上几何意义
得 ;
③已知4
23=++-x x ，利用绝对值在数轴上几何意义
得 ;
拓
展
：
若
8
1272=-++a a ，则整数
a
个数是
4 .
④当x 满足 条件时，利用绝对值在数轴上几何意义
2
3++-x x 取得最小值，
这个最小值是 .
由上题③图可知，532≥-++x x ，故而当32≤≤-x 时，最小值是5.
⑤若a x x =++-23时，探究a 为何值，方程有解？无实数解？ 档案：5≥a ；a <5.
特别要注意是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有
5
23=++-x x .
例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5. ②若
2
3++-x x <a 无实数解，则a 满足什么条件？答案：
a ≤5.
③若23+--x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：
a ＜5-.
由上图当x ≤2-时，2
3+--x x 5=；当x ≥3
时，2
3+--x x 5-=；当
2-＜x ＜3，
5-＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜5-. ④若23+--x x <a 时，则a 满足什么条件？答案：a >5. 拓展应用：已知()()()36
131221=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++最大值
和最小值.
解析：3
21≥-+
+x x ，3
12≥++
-y y ，13++-z z 4≥
()()()36
131221≥++-++
--++∴z z y y x x ，
321=-++∴x x ，3
12=++
-y y ，413=++-z z
312121≤≤-≤≤-≤≤-∴z y x ，，
933422≤≤-≤≤-∴z y ，
15326≤++≤-∴y y x . （3）、当x 满足 条件时，3
12-+-++x x x 取最小值，这个
最小值是 .
由以上图形可知：当x = 1 时，
312-+-++x x x 5
=，其他范围内
3
12-+-++x x x ﹥5，
故而312-+-++x x x 5
≥，这个最小值是 5 .
（4）、当x 满足 条件时，5
312-+-+-++x x x x 取最小值，这个
最小值是 .
由以上图形可知：当 31≤≤x 时，5312-+-+-++x x x x 11
=，其他范围内5
312-+-+-+
+x x x x ﹥11，故而5312-+-+-+
+x x x x 11
≥，这个最小
值是 11 . 特别要注意是：当
x
在31≤≤x 这个范围内任取一个数时，都有
5312-+-+-++x x x x 11
=.
（5）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7
-+x 取最小值，
这个最小值是 .
由以上图形可知：当x = 3 时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 13
=，其
他范围内
5312-+-+-++x x x x 7
-+x ﹥13，故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 13
≥，
这个最小值是 13.
（6）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 8
-+x 取最
小值，
这个最小值是 .
由以上图形可知：当
5
3≤≤x 时，5
312-+-+-++x x x x 7-+x 8
-+x 18
=，其他
范
围
内
5312-+-+-++x x x x 7-+x 8
-+x ﹥18，
故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 18
≥，这个最小值是 18.
小结：有1a ，2a ，3a ，…，12+n a （12+n ）个正数，且 满足1a ＜2a ＜3a ＜…＜12+n a .
1.求1
2321+-++-+-+-n a x a x a x a x 最小值，以及取得这个最小
值
所对应x 值或范围；
答案是：当 x = 1+n a 时，1
2321+-++-+-+-n a x a x a x a x 取得最
小值，
这个最小值是1
21312111+++++-++-+-+-n n n n n a a a a a a a a .
2.求n
a x a x a x a x 232
1-++-+-+- 最小值，以及取得这个最小值
所对应x 值或范围；
答案是：当1+≤≤n n a x a 时，n
a x a x a x a x 2321-++-+-+- 取得最小
值，
这个最小值是n n n n n a a a a a a a a 232
1-++-+-+- 或者
n
n n n n a a a a a a a a 21312111-++-+-+-++++ .
三、判断方程根个数
例3、 方程199＋2|＝1996共有（ ）个解． A.．4； B ． 3； C ． 2； D ．1
解：当x 在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值几何意义知，199|＝98，＋2|＜98．此时，199＋2|＜1996，故199＋2|＝1996时，x 必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C ）．
四、综合应用
例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知＋21－＝9－－5|－|1，求y最大值及最小值．
解：原方程变形得＋2－1－51＝9，
∵＋2－1|≥3，－51|≥6，而＋2－1－51|＝9，
∴＋2－1|＝3，－51|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
故 y最大值及最小值分别为6和－3．
五、练习巩固
1、若a＜b＜c＜d，问当x满足条件时，
-
+
+
-
+
x-
-取得最小值.
c
x
d
x
b
x
a
2、若a＜b＜c＜d＜e，问当x满足条件时，
d
+
-
+
-e
+
x-
+
-
c
x-
x
x
a
x
b
取得最小值.
3、如图所示，在一条笔直公路上有9个村庄，期中A、B、C、D、F、G、
H、K 到城市距
离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E正好是中点.现要在某个村庄建
一个活动中心，使各村到活动中心路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
4、设x 是实数，1
1++-=
x x y 下列四个结论：
①.y 没有最小值；②.只有一个x 使y 取到最小值；
③.有有限多个x (不只一个)使y 取到最小值； ④.有无穷多个x 使y 取到最小值。

其中正确是( )．
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 5、试求2003321-++-+-+-x x x x 最小值.。