2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测：1.2.1任意角的三角函数

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高中数学人教A版必修四课时训练：1.2 任意角的三角函数 1.2.1(二) Word版含答案

1.2.1 任意角的三角函数(二) 课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是______；余弦函数y ＝cos x 的定义域是______；正切函数y ＝tan x 的定义域是_______1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } ______________________________________________________．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.一、选择题1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α二、填空题7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为________． 8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.9．不等式tan α＋33>0的解集是______________． 10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．三、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.1．2.1 任意角的三角函数(二)答案知识梳理2．MP OM AT MP OM AT作业设计1．C2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．]3．A [设α终边与单位圆交于点P ，sin α＝MP ，cos α＝OM ，则|OM |＋|MP |>|OP |＝1，即sin α＋cos α>1.]4．C [∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D 正确．]6．A [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.] 7.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 8.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z . 10.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1) 图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }． (2)图2 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2. 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2. 13．解由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎨⎧ sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .。

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数(一)课时跟踪检测新人教A版必修4

5
10
∴ sin
α＝
x
2＋
＝ 5
4.
7．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若 sin α >0，则 α 是第一、二象限的角；
x ④若 α 是第二象限的角，且 P( x，y) 是其终边上一点，则 cos α ＝－ x2＋ y2.
其中正确的个数为 ( )
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
解析： ①正确；②不正确，举例如
sin
2π 3 ＝ sin
π 3
；③不正确，如
α
＝
π 2
时，
sin
α
＞0，但是 α 不是第一、二象限的角；④不正确，
x
α 是第二象限的角，
cos α ＝
x
2
＋
y
2.
答案： B
8．已知 tan x＞ 0，且 sin x＋ cos x＞ 0，那么角 x 是第 ________象
≤
x≤２kπ
＋π2
(
k∈
Z)
．
答案：
x
2kπ－
π 2
≤
x≤２kπ
＋
π 2
，
k∈
Z
2 6． α 是第二象限角， P( x， 5) 为其终边上一点，且 cos α＝ 4 x，求 sin α 的值．
解： ∵| OP| ＝
x
2
＋
5
，∴
cos
α＝
x
2
x2＋
＝ 5
4
x.
又∵ α 是第二象限角，∴ x＜ 0，得 x＝－ 3.
解析：

【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.2-1.2.1任意角的三角函数(含答案)

第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数A 级基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( ) A.12 B.32 C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM 解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0，所以MP ＞0＞OM .答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32 解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z. 答案：A二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12. 答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22. 答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4. 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝ cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5，所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12. B 级能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35. 答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .。

人教A版必修四高一数学同步练习—1.2任意角的三角函数(含解析).docx

高一数学同步练习—1.2任意角的三角函数（含解析）一、选择题：共10题每题5分共50分1．已知扇形的周长是3 cm，面积是cm2，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.1或4C.4D.2或42．已知角的终边上一点A(2，2)，则的大小为A. B.C. D.3．下列转化结果错误的是A.67°30'化成弧度是B.-化成度是-600°C.-150°化成弧度是D.化成度是15°4．下列说法正确的是A.第二象限的角比第一象限的角大B.若sinα＝，则α＝C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关5．在直径为10cm的定滑轮上有一条弦，其长为6cm，P是该弦的中点，该滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则点P在5秒内所经过的路程是A.10 cmB.20 cmC.50 cmD.100 cm6．已知角α是锐角，则2α是A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角7．-2 014°角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}9．若，，，则下列关系中正确的是A. B.C. D. ⫋ ⫋10．在0到2π范围内，与角终边相同的角是A. B. C. D.二、填空题：共6题每题4分共24分11．30°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是 . 12．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_______13．已知扇形的圆心角为120°，半径为cm，则此角形的面积为 .14．已知，且与120°角终边相同，则______．15．有一扇形其弧长为6,半径为3,则该弧所对弦长为 ,扇形面积为 .16．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为；三、解答题：共5题共76分17．(本题14分)已知扇形的圆心角为120°，半径长为6．(1)求的弧长；(2)求扇形的面积．18．(本题14分)已知集合，，，试确定M、N、P之间满足的关系.19．(本题14分)已知180°＜+＜240°，−180°＜＜60°，求2的取值范围. 20．(本题17分)如图,圆周上的点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过的弧度数为θ(0<θ<π),2分钟到达第三象限,14分钟后回到原来的位置,求θ.21．(本题17分)已知α是第三象限角,则2α,各是第几象限角?参考答案1.B【解析】无【备注】无2.C【解析】满足题中条件的角有无数多个，其中一个角为45°，故C正确.【备注】无3.C【解析】67°30'=67.5× rad= rad,A结果正确;-=-×180°=-600°,B结果正确;-150°=-150× rad=- rad,C结果错误;=×180°=15°,D结果正确.【备注】无4.D【解析】本题主要考查三角函数中角的定义，对角的概念的理解，A第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如第一象限的角，第二象限的角为，；B选项sinα＝时，或；C选项，三角形的内角可以为，不属于任何象限； D选项是正确的.【备注】无5.D【解析】本题考查弧长公式的应用.点P在5秒内所经过的弧度为25弧度，又点P到圆心的距离为4，所以点P经过的弧长为100 cm .【备注】根据弧度的定义，弧长6.C【解析】因为α是锐角，所以,所以，故选C.【备注】无7.B【解析】-2 014°=-6×360°+146°,所以-2 014°角与146°角的终边相同,而146°角为第二象限角,所以-2 014°角是第二象限角.【备注】无8.C【解析】由图可知,终边落在阴影部分的角的取值范围为k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C.【备注】该题易出现的问题是忽略角的方向,不能准确表示两个边界角.9.D【解析】集合A为终边在x轴非负半轴上角的集合；集合B为终边在x轴上角的集合；集合C 为终边在坐标轴上角的集合.因此⫋⫋.【备注】无10.D【解析】52,33πππ-=-+∴在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角时53π.故选D.【备注】无11.-690°【解析】无【备注】无12.4 cm 2【解析】本题主要考查扇形的面积的计算，设扇形的半径为，可知【备注】无13.【解析】(1)设扇形弧长为l，因为，所以所以【备注】无14.【解析】题主要考查角的概念.由与120°角终边相同，故，，∵，∴．又，∴，此时．【备注】无15.,9【解析】本题主要考查弧长公式的应用以及圆的性质的应用.由弧长公式可得扇形的圆心角为=2，由圆的性质可得弦长等于，由扇形的面积公式可得S=【备注】无16.无【解析】本题主要考查的知识点是扇形的面积.根据题意，结合扇形的弧长公式弧长为的扇形的圆心角为，那么可知半径为12，那么可知此扇形的面积为，故可知答案为【备注】无17.解：(1)∵，，∴．．(2)扇形【解析】本题主要考查扇形面积公式和弧长公式. （1）利用弧长公式，可得结论；（2）利，可得扇形OAB的面积．用)扇形【备注】无18.解法1：集合，或或，或，.解法2:，，，.【解析】无【备注】无19.解：设2α−β＝A(α+β)+B(α−β)，则2α−β＝(A+B)α+(A−B)β，，解得∵180°＜α+β＜240°，∴−180°＜α−β＜−60°，.∴−180°＜2α−β＜30°即2α−β的取值范围为（−180°，30°).【解析】无【备注】无20.由题意,A点2分钟转过的弧度数为2θ,且π<2θ<,由于14分钟后回到原位,∴14θ=2kπ(k∈Z),得θ=(k∈Z),又<θ<,∴θ=或.【解析】无【备注】无21.由题意知k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),因此2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z),即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z),故2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角.又k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z),当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),则n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z),此时,是第二象限角.当k为奇数时,令k=2n+1 (n∈Z),则n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z),此时,是第四象限角. 因此是第二象限角或第四象限角.【解析】无【备注】无。

高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.2.1任意角的三角函数(一)

1.2.1任意角的三角函数(一)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．角α的终边经过点(3m−9,m+2)，且cosα≤0,sinα>0，那么m的取值范围为A. B. C. D.2．已知角θ的终边过点P(−4k，3k)(k＜0)，则2sinθ+cosθ的值是A. B.C.或−25D.随着k的取值不同其值不同3．在△ABC中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形4．已知角α的终边经过点P(3a-9，a+2)，且cosα≤0,sinα>0，则a的取值范围是________.5．设α是第二象限角，且|cos α2|=−cosα2，则角α2是第_______象限角.6．判断下列各式的符号.信达信达(1)sin3·cos4·tan5. (2)sin(cosθ)cos(sinθ)(θ为第二象限角)7．已知tan α,是关于x 的方程3x 2-3kx +3k 2-13=0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.8．已知角α的终边上有一点P(−√3,m)，且sinα=√2m4，求cos α，tan α的值.能力提升1．化简：tanx+tanx⋅sinx tanx+sinx ⋅(1+cosx)sinx(1+sinx)cosx .2．求函数y=|cosx|cosx +tanx |tanx|的值域.信达信达1.2.1任意角的三角函数(一)详细答案【基础过关】 1．C【解析】本题考查三角函数的定义.根据定义cosα=x r≤0,sinα=y r>0,于是可得{3m −9≤0m +2>0解得−2<m ≤3. 【备注】不要忽视cosα=0即α终边在x 轴上的情形.2．B【解析】∵角θ的终边过点P(−4k ，3k )(k ＜0)，∴r =√(−4k)2+(3k)2=5|k|=−5k ， ∴sinθ=3k−5k =−35，cosθ=−4k−5k =45， ∴2sinθ+cosθ=2×(−35)+45=−25.故选B.3．C【解析】因为三角形内角的取值范围为(0,π),故sin A>0,故由sin A cos B tan C <0可得cos B tan C <0,所以B ,C 中必有一个为钝角,即△ABC 为钝角三角形.【备注】该题易出现的问题是忽视三角形内角的取值范围,从而无法准确判断sin A 的符号,导致判断失误. 4．(2,3]- 5．三【解析】因为角α是第二象限角，所以22()2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以()422k k k Z παπππ+<<+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角，又因为coscos22αα=-，即cos02α<，所以2α是第三象限角. 6．（1）因为32ππ<<，342ππ<<，3522ππ<<，所以sin 30,cos 40,tan 50><<，所以sin 3cos 4tan 50⋅⋅>.（2）因为θ为第二象限角，所以0sin 12πθ<<<，1cos 02πθ-<-<<，所以sin(cos )0θ<，cos(sin )0θ>，所以sin(cos )0cos(sin )θθ<. 7．312+ 8．由题意知x =−√3，y ＝m ，所以r 2=(−√3)2+m 2，所以r =√3+m 2，从而sinα=√2m 4=m r=m √3+m2，解得m ＝0或sinα=√2m 4=m r=m √3+m 2.当m ＝0时，r =√3，r =√3，cosα=x r=−1，tanα=yx =0；当m =√5时，r =2√2，x =−√3，cosα=x r=−√64，tanα=yx =−√153；当m =−√5时，r =2√2，x =−√3，cosα=x r=−√64，tanα=yx =√153. 【能力提升】 1．原式=sinx+sin 2x sinx+sinxcosx·(1+cosx)sinx (1+sinx)cosx=sinx(1+sinx)sinx(1+cosx)⋅sinx(1+cosx)cosx(1+sinx)=【解析】本题考查三角函数式的化简.化简三角函数式时,要灵活运用同角三角函数基本关系式,即正用,逆用和变形应用等技巧,注意常数1的变形.2．由题意得cosx ≠0,且tanx ≠0,∴角x 的终边不在x 轴上,也不在y 轴上. 当x 是第一象限角时,|cosx|=cosx,|tanx|=tanx,∴y=|cosx|cosx +tanx |tanx|=2; 当x 是第二象限角时,|cosx|=-cosx,|tanx|=-tanx,∴y=|cosx|cosx +tanx|tanx|=-2;当x 是第三象限角时,|cosx|=-cosx,|tanx|=tanx,∴y=|cosx|cosx +tanx |tanx|=0; 当x 是第四象限角时,|cosx|=cosx,|tanx|=-tanx,∴y=|cosx|cosx +tanx|tanx|=0.故函数y 的值域为{-2,0,2}.。

高一数学必修4同步训练 1.2.1任意角的三角函数

第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数一、选择题: 1. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=22yx x +-.其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.42. 若sin θ²cos θ＞0，则θ在 A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限D.第二、四象限3. 函数y =x x x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的值域是 A.{－2，4} B.{－2，0，4}C.{－2，0，2，4}D.{－4，－2，0，4}4. 若θ是第二象限角，则 A.sin2θ＞0 B.cos 2θ＜0 C.tan 2θ＞0 D. tan 2θ＜05. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛45π,πB. ⎪⎭⎫⎝⎛π,4πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛45π,4πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π,4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π,π45 6. 已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限的角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限的角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限的角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限的角，则tan α＞tan β 二、填空题:7. 若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－53,则b =___________,sin α=___________. 8. 函数y ＝x sin ＋tan x 的定义域 .9. 不等式（lg20）2cos x ＞1 , x ∈（0，π）的解为____________. 10. 已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第象限. 二、解答题:11. （1）已知角α的终边经过点P （3,4）,求角α的正弦、余弦和正切. （2）已知角α终边经过点P （3t ,4t ）,t ≠0，求角α的正弦、余弦和正切.12. （1）在0到2π内，求使sin α＞23的α的取值范围. （2）在任意角范围里，求使sin α＞23的取值范围.13. 已知α∈⎪⎭⎫⎝⎛2π,0，求证：sin α＜α＜tan α.14. 若2π5＜θ＜3π，求3tan θ²2log 3+1241tan tan +-+θθ的值.15. 利用单位圆，求使下列不等式成立的x 的范围（其中0≤x ＜2π）（1）cos x ≥22 （2）tan x ≤1 （3）sin x ≤－21拓展创新——练能力16. 已知θ为锐角，求证：1＜sin θ+cos θ≤2.17. （1）已知tan x ＞0,且sin x +cos x ＞0,求角x 的集合; （2）已知tan x ＜0,且sin x －cos x ＜0,求角x 的集合.18. 若0＜α＜β＜2π，则α－β＜sin α－sin β.参考答案:1. A.提示：根据任意角三角函数定义知①正确.对②，我们可举出反例 sin 3π=sin 3π2.对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角.对④，应是cos α=22yx x +.（因为α是第二象限的角，已知有x ＜0）综上可知，应选A.2. B 提示：∵sin θ²cos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限.因此，选B.3. B 提示：对角x 分象限讨论若x 在第一象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin +++=4；若x 在第二象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin -+-+-+=－2；若x 在第三象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin ++-+-=0；若x 在第四象限，得y =xxx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin -+-++-=－2. ∴函数值y 的集合是{－2，0，4}.∴应选B. 4. C 提示: 由2π＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ，得4π＋k π＜22πθ<＋k π，k ∈Z因此2θ在第一或第三象限，∴tan 2θ＞0. 5. C 提示：如图所示，在单位圆上作出第一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.6. 解法一：（直接证法）取α＝60°，β=30°，满足sin α＞sin β，此时有cos60°＜cos30°，所以A 不正确. 取α＝120°，β=150°，满足sin α＞sin β，此时有tan120°＜tan150°，所以B 不正确. 取α＝210°，β=240°，满足sin α＞sin β，此时有cos210°＜cos240°，所以C 不正确. ∴应选D. 解法二：（直接证法）若α、β∈⎪⎭⎫⎝⎛2π,0，则由sin α＞sin β得α＞β，此时有cos α＜cos β，所以A 不正确.若α、β∈⎪⎭⎫⎝⎛π,2π，则由sin α＞sin β得α＜β，此时有tan α＜tan β，所以B 不正确.若α、β∈⎪⎭⎫⎝⎛23π,π，则由sin α＞sin β得α＜β，此时有cos α＜cos β，所以C 不正确.∴应选D. 解法三：（借助于单位圆，运用三角函数定义来解）如图所示，设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）分别是角α、β的终边与单位圆的交点，则（1）当α、β为第一象限的角时， ∵sin α=y 1，sin β=y 2，sina ＞sin β， ∴y 1＞y 2.∴x 1＜x 2.而cos α=x 1，cos β=x 2，∴cos α＜cos β.∴A 不正确. （2）当α、β为第二象限角时，知 y 1＞y 2＞0，① ∴x 2＜x 1＜0.∴－x 2＞－x 1＞0， ② tan α－tan β=.2121122211x x y x y x x y x y -=-③而x 1x 2＞0（∵x 2＜x 1＜0），且依不等式性质及①②，有－x 2y 1＞－x 1y 2，即x 2y 1－x 2y 2＜0，将x 1x 2＞0、x 2y 1－x 1y 2＜0代入③，有tan α－tan β＜0， ∴tan α＜tan β.∴B 不正确.（3）当α、β为第三象限角时，采用同样的方法，可得C 也不正确（请同学们自己推出来）.∴应选D.7. ±4 ±54提示: 由53932-=+-b 得b =±4.∴r =5,sin α=54±=r b . 8. 解:要使函数y ＝x sin ＋tan x 有意义，必须且只须⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥Z k k x x ,20sin ππ 由sin x ≥0,则角x 的终边在第一、第二象限或在x 轴上或在y 轴的非负半轴上，即2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z 又x ≠k π＋2π，k ∈Z ，因此函数的定义域为{x |2k π≤x ＜2π＋2k π或2π＋2k π＜x ≤（2k ＋1）π，k ∈Z }.9. （0，2π）.提示：∵20＞10，∴lg20＞lg10=1.∴对数函数单调递增.又（lg20）2cos x ＞1=（lg20）0，∴2cos x ＞0.∴x 在第一、四象限或x 轴的正半轴上.又x ∈（0，π），∴原不等式的解集为（0，2π）. 10. 二提示：因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧<<0cos 0tan αα，tan α<0⇒α在二、四象限，cos α<0⇒α在二、三象限（包括x 轴负半轴），所以α为第二象限角.即角α的终边在第二象限.11. 解析:（1）由x =3,y =4，得r ＝2243+＝5. ∴sin α＝54=r y ，cos α＝53=r x ，tan α＝34=x y （2）由x =3t ,y =4t ,得r =22)4()3(t t +=5|t |. 当t ＞0时，r =5t . 因此sin α=54,cos α=53,tan α=34. 当ｔ＜0时，r ＝－5ｔ因此sin α＝－54，cos α＝－53，tan α＝34. 12. 解析: 如图，作y =23与以原点为圆心的单位圆交于P 1、P 2.（1）在0到2π内，OP 1、OP 2分别是3π、32π角的终边.当角α的终边与单位圆O 的交点P （x ,y ），由P 1逆时针转到点P 2时P 点纵坐标y 由23逐渐增大到1后再逐渐减小到23，即sin α＞23. 当P 点由点P 2继续逆时针旋转再回到P 1点时，其纵坐标y ＜23,即sin α＜23. 因此在0到2π范围内使sin α＞23的范围是3π＜α＜32π. （2）把（1）中情形推广到任意角范围，可得使sin α＞23的角α范围是2k π+3π＜α＜2k π+32π（k ∈Z ）.13. 证明：如图所示，在单位圆中设∠AOP =α rad ，则⌒AP 的长度为α，角α的正弦线为MP ，正切线为AT .∵△OP A 的面积＜扇形OP A 的面积＜△OAT 的面积，∴21²OA ²MP ＜21²OA ²α＜21²OA ²AT ，即MP ＜α＜AT .∴sin α＜α＜tan α.14. 分析：已知θ为第二象限角，可知tan θ＜0，借助于指数函数的单调性进行运算.本题同时考查了指数函数与对数函数的运算性质. 解：∵2π5＜θ＜3π，∴θ为第二象限角.∴tan θ＜0.∴2tan θ＜20=1. 原式=（2log 33）tan θ+122)2(tan 2tan +⋅-θθ=2tan θ+|2tan θ－1|=1.15. 解:（1）如图,作x ＝22与以原点为圆心的单位圆交于P 1、P 2两点. 连OP 1、OP 2，则OP 1、OP 2分别为4π、47π角的终边，由图可观察出0≤x ≤4π或47π≤x ＜2π.（2）如图，作y =1与直线AT 交于T 点，作直线OT ，交与原点为圆心为单位圆于P 1、P 2两点，连OP 1、OP 2，则OP 1、OP 2分别为角4π、45π的终边，由图可观察0≤x ≤4π或2π＜x ≤45π或23π＜x ＜2π.（3）用同样方法可得67π≤x ≤611π. 16. 证明：设M （x ，y ）为角θ终边上异于原点的一点，则有sin θ=22yx y +，cos θ=22yx x +.∵θ为锐角，∴x ＞0，y ＞0.∴sin θ+cos θ=22yx yx ++=22222222)()(2)(y x y x y x y x y x +--+=++=222)(2yx y x +--≤2（当且仅当x =y 时取等号）. 又sin θ+cos θ=2222222222)(y x xyy x y x y x yx yx +++=++=++=2221y x xy ++＞1(∵222y x xy+＞0).综上，不等式1＜sin θ+cos θ≤2得证.17. 解析：（1）∵tan x ＞0,∴x 在第一或第三象限.若x 在第一象限，则sin x ＞0,cos x ＞0, ∴sin x +cos x ＞0若x 在第三象限，则sin x ＜0,cos x ＜0,与sin x +cos x ＞0矛盾，故x 只能在第一象限. 因此角x 集合是{x |2k π＜x ＜2k π+2π,k ∈Z }.（2）∵tan x ＜0,∴x 在第二或第四象限. 若x 在第二象限，则sin x ＞0,cos x ＜0. ∴sin x －cos x ＞0与sin x －cos x ＜0矛盾. 若x 在第四象限，则sin x ＜0,cos x ＞0, ∴sin x －cos x ＜0,故x 只能在第四象限. 因此角x 集合是{x |2k π－2π＜x ＜2k π,k ∈Z }.18. 证明：如图所示，设单位圆O 与x 轴正向相交于点A ，角α、β的终边与单位圆O 相交于P 、Q 两点，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，过点P 作PH ⊥QN 于点H ，则有 ⌒AP=α，⌒AQ =β，MP =sin α，NQ =sin β.由图可知HQ ＜PQ ＜PQ .∴sin β－sin α＜β－α.故α－β＜sin α－sin β.。

【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)

第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ．【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ．【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ．二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值；（2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。

人教A版数学必修四1.2.1任意角的三角函数基础达标(含答案解析).docx

高中数学学习材料唐玲出品1．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( ) A ．±12B.12 C ．－12 D ．±2解析：选B.r ＝3＋y 2，sin β＝y r ＝y 3＋y 2＝1313， ∴y >0，解得y ＝12，或y ＝－12(舍去)，故选B. 2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上解析：选B.由题意，得|cos α|＝1，即cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上，故选B.3．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sin α＝－312＋(－3)2＝－32. 4．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α＝35>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( ) A ．{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z } B ．{x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z } C ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z } 解析：选A.∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，∴x ≠3π2＋2k π，k ∈Z . 6．5sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝__________.解析：sin 90°＝1，cos 0°＝1，sin 270°＝－1，cos 180°＝－1.∴原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0.答案：07．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________. 解析：α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.答案：28．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM ，其中正确的是__________．(填序号)解析：sin 17π18＝MP >0，cos 17π18＝OM <0. 答案：②9．计算：sin 390°－2cos 174π＋3cos(－660°)－3tan(－116π)＋tan(－720°)．解：原式＝sin(360°＋30°)－2cos(4π＋π4)＋3cos(－720°＋60°)－3tan(－2π＋π6)＋tan 0° ＝sin 30°－2cos π4＋3cos 60°－3tan π6＝12－2×22＋3×12－3×33＝12－1＋32－1＝0. 10．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求α的三角函数值．解：设P (a ，3a )(a ≠0)是其终边上任一点，则tan α＝3a a＝3， r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |，当a >0时，sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12；当a <0时，sin α＝3a －2a ＝－32， cos α＝a －2a＝－12. 所以tan α＝3，sin α＝32，cos α＝12，或tan α＝3， sin α＝－32，cos α＝－12.。

数学人教A版必修4同步优化训练：1.2.1任意角的三角函

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.sin420°的值是( ) A.21 B.23 C.23- D.21- 解析：sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=23. 答案：B2.P(3,y)为α终边上一点，cosα=53,则tanα等于( ) A.43- B.34 C.±43 D.±34解析：｜OP ｜=223y +,依据三角函数的定义,可知c osα=5393||2=++y OP x . 解之，得 y=±4，所以tanα=x y =±34. 答案：D3.如图1-2-1，在单位圆中，角α的正弦线、正切线的写法完全正确的是( )图1-2-1A.正弦线MP,正切线A′T′B.正弦线PM,正切线ATC.正弦线MP,正切线ATD.正弦线PM,正切线A′T′解析：由条件可知角α的终边在第三象限，正弦线为MP ，正切线为A T. 答案：C4.已知角α的终边经过点P(3，4)，求角α的正弦、余弦和正切. 解：由x=3，y=4，得|OP|=r=2243+=5. ∴sinα=r y =54，cosα=r x =53，tanα=x y =34. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.当α为第二象限角时,ααααcos |cos |sin |sin |-的值是( )A.1B.0C.2D.-2 解析:∵α为第二象限角,∴sinα＞0,cosα＜0.故ααααcos |cos |sin |sin |-=ααααcos cos sin sin --=2.答案：C2.已知角α的终边在射线y=-3x(x≥0)上,则sinαcosα等于( ) A.103-B.1010-C.103D.1010 解析：在α终边上取一点P(1,-3),此时x=1,y=-3,∴r=10)3(13=-+.∴sinα=r y =103-,cosα=r x =101. ∴sinαcosα=103-×101=103-. 答案：A3.已知tanx ＞0,且sinx+cosx ＞0,那么角x 是( ) A.第Ⅰ象限角 B.第Ⅱ象限角 C.第Ⅲ象限角 D.第Ⅳ象限角解析：∵tanx ＞0，∴x 在第一或第三象限. 若x 在第一象限，则sinx ＞0，cosx ＞0. ∴sinx+cosx ＞0.若x 在第三象限，则sinx ＜0，cosx ＜0,与sinx+cosx ＞0矛盾.故x 只能在第一象限. 答案：A4.结合单位圆，使1cos 2-x 有意义的x 的范围是( )A.［2kπ-3π,2kπ+3π］B.［-3π，3π］C.［2kπ+3π,2kπ+35π］D.［3π，35π］解析：首先作出单位圆,然后根据问题的约束条件，利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围即可. 答案：A5.若角α的终边与直线y=3x 重合且sinα<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|=10，则m-n 等于( )A.2B.-2C.4D.-4解析：因为sinα＜0，所以角α的终边在第三或第四象限或y 轴的非正半轴上.而y=3x 经过原点在第一象限和第三象限内，且角α的终边与y=3x 重合，所以角α的终边在第三象限，可得m ＜0，n ＜0.又因为P(m ，n)在直线y=3x 上，所以满足n=3m.同时|OP|=10,可得m 2+n 2=10,即⎩⎨⎧=+=10.n m 3m,n 22解得⎩⎨⎧==-3n -1,m 或⎩⎨⎧==).3(n 1,m 舍所以m-n=-1-(-3)=2.答案：A6.化简求值:sin(-1 320°)cos1 110°+cos(-1 020°)sin750°+tan495°. 解析：原式=sin(-4×360°+120°)cos(3×360°+30°) +cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°cos30°+cos60°sin30°+tan135° =23×23+21×21-1=0. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.角α的终边上有一点P(a ，a)，a ∈R ，a≠0，则sinα的值是( ) A.22 B.22- C.22或22- D.1解析：r=222=+a a ｜a ｜，∴sinα=r a =||2a a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->.0,22,0,22a a∴sinα的值为±22. 答案：C 2.sin2·cos3·tan4的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在解析：∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0， ∴sin2·cos3·tan4＜0. 答案：A 3.如果4π＜θ＜2π，那么下列各式正确的是( ) A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθC.tanθ＜sinθ＜cosθD.cosθ＜sinθ＜tanθ 解析：根据cosθ、tanθ、sinθ在4π＜θ＜2π区间的取值特点，可比较函数值的大小. 答案：D4.若α的终边经过点P(2sin30°,-2cos30°),则sinα的值为( )A.21 B.21- C.23- D.33- 解析：点P 的坐标为(1,-3),｜OP ｜=22)3(1+=2，所以sinα=23-. 答案：C5.若角α的终边经过点P(-3,b)，则cosα=53-,则b=___________,sinα=______________. 解析：由53932-=+-b，得b=±4, ∴r=5，sinα=r b =±54. 答案：±4 ±546.求值：sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)=_______________. 解析：原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=23×23+21×21=1. 答案：17.已知角α的终边上一点P 与点A(-3,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sinα+sinβ的值等于_________________. 解析：与点 A(-3,2)关于y 轴对称的点P 的坐标为(3,2)，所以sinα=13132132=.Q 与点A(-3,2)关于原点对称，其坐标为 (3,-2)，所以sinβ=13132132-=-. 所以sinα+sinβ=0. 答案：0 8.当α∈(0，2π)时，求证：sinα<α<tanα. 证明：如图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线分别为MP 、AT ，则MP=sinα，A T=tanα.∵S △AOP =21OA·MP=2121sinα，S 扇形AOP =21αr 2=21α，S △AOT =21OA·AT=21tanα，又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴21sinα＜21α＜21tanα，即sinα＜α＜tanα. 9.已知f(x)=⎩⎨⎧≥+-<,0,1)1(,0,sin x x f x x πg(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<,21,1)1(,21,cos x x g x x π求g(41)+f(31)+g(65)+f(43)的值.解：g(41)+f(31)+g(65)+f(43)=cos 4π+［f(31-1)+1］+［g(65-1)+1］+［f(43-1)+1］=2222+f(-32)+g(-61)+f(41-)+3=22+sin(-32π)+cos(-6π)+sin(-4π)+3 =2223-+2322-+3=3. 10.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴.若角α终边过点P(3-，y)，且sinα=43y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值. 解：依题意，P 到原点O 的距离为|OP|=22)3(y +-, ∴sinα=r y =23yy +=43y.∵y≠0，∴9+3y 2=16.∴y 2=37,y=±321. ∴点P 在第二或第三象限. 当点P 在第二象限时，y=321，cosα=r x =43-,tanα=-37;当点P 在第三象限时，y=-321, cosα=r x =43-,tanα=37. 快乐时光忏悔某人(到教堂)：“神父，我……我有罪.” 神父：“说吧，我的孩子，你有什么事？”某人：“二战时，我藏起了一个被纳粹追捕的犹太人.” 神父：“这是好事啊，为什么你觉得有罪呢？” 某人：“我把他藏在我家的地下室里……而且……我让他每天交给我1 500法郎的租金．” 神父：“你就为这事忏悔？”某人：“但是，我……我现在还没告诉他二战已经结束了！”。

数学人教A版必修4课后集训： 1.2.1任意角的三角函数

课后集训基础达标1.已知下列三角函数，其中函数值为负的有（）①sin(-680°) ②cos(-730°) ③tan320° ④sin(-130°)·cos850°A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由诱导公式转化到0°—360°之间，判断其所在象限，或者利用三角函数线求解. 答案：A2.角θ的终边有一点P （a,a ）(a≠0),则sinθ的值是（） A.22 B.-22 C.±22 D.1 答案：C3.函数y=x x cos sin -+的定义域是( )A.［kπ+2π,(2k+1)π］（k ∈Z ） B.［2kπ+2π,(2k+1)π］（k ∈Z ） C.［kπ+2π,(k+1)π］（k ∈Z ） D.［2kπ,(2k+1)π］（k ∈Z ）解析：由题意可得⎩⎨⎧≤≥,0cos ,0sin x x 设角x 终边与单位圆交点为P （x,y ），则由三角函数定义⎩⎨⎧≤≥,0,0x y 从而选B.也可利用特值或三角函数线求解.答案：B4.已知α为第二象限角，其终边上一点为P （x,5）,且cosα=42x,则sinα的值为（） A.410 B.46 C.42 D.-410 解析：r=52+x .∵cosα=x 42, ∴,4252x x x=+ 解得：x=±3.∵α是第二象限角，∴x=-3.∴sinα=85=410.故选A.答案：A 5.y=xx x x x x tan |tan |cos |cos |sin |sin |++属于（） A.{1，-1} B.{-1，1，3} C.{-1，3} D.{1，3}解析：当x 是第一象限角，则y=1+1+1=3;当x 是第二象限角，则y=1-1-1=-1;当x 是第三象限角，则y=-1-1+1=-1;当x 是第四象限角，则y=-1+1-1=-1.∴y ∈{-1,3}.故选C.答案：C6.若-43π＜α＜-2π,从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是_____________. 解析：由三角函数线可得.答案：sinα＜cosα＜tanα综合运用7.已知θ为第三象限角，且|cos 2θ|=-cos 2θ,则角2θ属于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：∵θ 是第三象限角,∴2kπ+π＜θ＜2kπ+π23,k ∈Z ,则kπ+2π＜2θ＜kπ+π43,k ∈Z .当k 为偶数，2θ是第二象限角.当k 是奇数时，2θ是第四象限角. ∵|cos2θ|=-cos 2θ, ∴2θ一定是第二象限角.故选B. 答案：B8.若0＜α＜π,则10sin α、lgsinα、sin 10α三个数之间的大小关系是（）A.sin 10α＜10sin α＜lgsinαB.lgsinα＜sin 10α＜10sin αC.10sin α＜lgsinα＜sin 10αD.lgsinα＜10sin α＜sin 10α解析：∵0＜α＜π,∴0＜sinα≤1.∴lgsinα＜0,10sin α＞1,0＜sin 10α＜1.∴lgsinα＜sin 10α＜10sin α.故选B.答案：B9.已知点P （sinα-cosα,tanα）在第一象限，α在［0，2π］内，α的取值范围是______________. 解析：由题意得：⎩⎨⎧>>-,0tan ,0cos sin ααα即)2()1(.0tan ,cos sin ⎩⎨⎧>>ααα 由①得：4π＜α＜45π. 由②得0＜α＜2π或π＜α＜π23. ∴4π＜α＜2π或π＜α＜π45. 答案：4π＜α＜2π或π＜α＜π45 拓展探究10.（1）若α为锐角，证明：sinα+cosα＞1.证明：∵α为锐角,∴0＜sinα＜1,0＜cosα＜1.∵函数y=a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，∴sin 2α＜sinα,cos 2α＜cosα.∴sin 2α+cos 2α＜sinα+cosα,∴sinα+cosα＞1.(2)若α为锐角.求证：sin 3α+cos 3α＜1.证明：∵α是锐角，∴0＜sinα＜1,0＜cosα＜1.∵函数y=a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数,∴sin 3α＜sin 2α,cos 3α＜cos 2α∴sin 3α+cos 3α＜sin 2α+cos 2α=1,∴sin 3α+cos 3α＜1.备选习题11.已知α的终边经过点（3a-9,a+2）,且cosα≤0,sinα＞0,则a 的取值范围是_____________. 解析：∵cosα≤0,sinα＞0,∴⎩⎨⎧>+≤-,02,093a a ∴-2＜a≤3.答案：-2＜a≤312.确定下列式子的符号. (1)8sin 5cos )3tan(-;(2)lg(cos6-sin6). 解：（1）∵-π＜-3＜-2π, ∴tan(-3)＞0. ∵23π＜5＜2π,∴cos5＞0. ∵π25＜8＜3π,∴sin8＞0.故8sin 5cos )3tan(-＞0. (2)∵23π＜6＜2π,∴cos6＞0,sin6＜0. ∴cos6-sin6＞0.由单位圆中的三角函数线可知，cos6-sin6＞1.∴lg(cos6-sin6)＞0.13.求值.sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)sin750°+2sin 21 125°.解：sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)sin750°+2sin 21 125°=sin(-5×360°+60°)·cos(4×360°+30°)+cos(-2×360°+60°)·sin(2×360°+30°)+2sin 2(3×360°+45°) =sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+2sin 245° =2)22(221212323⨯+⨯+⨯=2. 14.求y=lgsin2x+29x -的定义域.解：由题意得⎩⎨⎧≥->.09,02sin 2x x 由sin2x ＞0,得2kπ＜2x ＜2kπ+π,(k ∈Z ),即kπ＜x ＜kπ+2π,(k ∈Z )① 由9-x 2≥0,得-3≤x≤3②由①②得-3≤x ＜-2π或0＜x ＜2π. 故函数的定义域为{x|-3≤x ＜-2π或0＜x ＜2π}. 15.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<).21(1)1(),21(sin x x f x x π 求f(41)+f(67)的值. 解析：∵41＜21,∴f(41)=sin 4π=22. 又67＞21, ∴f(67)=f(67-1)+1=f(61)+1.而61＜21,∴f(67)=f(61)+1 =sin 6π+1=23, 则f(41)+f(67) =22+22323+=. 答案：223+ 16.（经典回放）已知sinα＞sinβ,那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ 解析：运用单位圆中的三角函数线，采用排除法，容易判断.如下图.∴选D.答案：D。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修4全集第一章1.2-1.2.1任意角的三角函数

2013-2014版高中数学(人教A版)四配套周练1含解析

周练（一）任意角和弧度制任意角的三角函数（时间：80分钟满分：100分)一、选择题（每小题5分,共40分）1．如果角α与角x＋45°具有同一条终边，角β与角x－45°具有同一条终边，那么α与β之间的关系是（)．A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°（k∈Z）解析∵α＝x＋45°＋k1·360°(k1∈Z),β＝x－45°＋k2·360°（k2∈Z），∴α－β＝90°＋（k1－k2)·360°＝90°＋k·360°（k ∈Z)．答案D2．下列命题是真命题的是（）．A．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C．不相等的角终边一定不同D．{α｜α＝k·360°±90°，k∈Z｝＝｛α|α＝k·180°＋90°，k∈Z｝解析对于选项A,直角既不在第一象限，又不在第二象限；对于选项B,390°显然是第一象限角，但不是锐角；对于选项C,390°与30°不相等，但终边相同；故选项D正确．答案D3．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )．A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析角α是第四象限角，则sin α<0，从而sin α＝－错误!＝－错误!＝－错误!.答案B4．sin（－1 305°）的值是( ）．A。

错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析sin（－1 305°）＝sin(－4×360°＋135°)＝sin 135°＝错误!。

答案B5．(2012·临沂高一检测)若α是三角形的内角,且sin α＋cos α＝错误!,则这个三角形是( )．A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析∵sin α＋cos α＝错误!，∴1＋2sin αcos α＝错误!，sin αcos α＝－错误!。

【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)

第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2.答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813. 10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)．解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．。

高中数学人教A版必修四课时训练：1.2 任意角的三角函数 1.2.1(一) Word版含答案

§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .一、选择题 1．sin 780°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－122．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．55．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3}6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4二、填空题7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______.8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.三、解答题11．求下列各式的值．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)答案知识梳理 1.y r x r yx 3.相等 sin α cos α tan α 作业设计 1．A 2.B3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．] 4．A [r ＝b 2＋16，cos α＝－br＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5．D [若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1. ∴函数f (x )的值域为{－1,3}．]6．D [由任意角三角函数的定义，tan θ＝y x ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.故选D.]7．－7138．－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. 9．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0， n ＝3m . ∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0. 当y ≠0时，由y3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433，∴cos α＝－34，tan α＝73.13．C [∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角， ∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时， 2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．] 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ， ∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是 sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.。

【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.1-1.1.2弧度制(含答案)

第一章三角函数1.1随意角和弧度制弧度制A 级基础稳固一、选择题1．以下说法中，错误的选项是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度分析：依据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C 均正确，D 错误．答案： D2．时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度为 ()1414A. 3πB．－3π77C.18πD．－18π分析：明显分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里，顺时针转过了7 37×2π＝－14π周，转过的弧度为－3 3 .答案： B3．在半径为 10 的圆中， 240°的圆心角所对弧长为()4020 A. 3 πB. 3 πC. 200D.4003 π3 π240 4 分析： 240°＝ π＝ π，1803所以弧长 l ＝| | r ·＝4π× 10＝40π.α3 3答案： A11π4．把－ 4 表示成 θ＋2k π(k ∈Z) 的形式，使 |θ|最小的 θ值是()3ππA ．－ 4B ．－ 4 π3πC. 4D. 411π11π分析：令－4 ＝θ＋2k π(k ∈Z) ，则 θ＝－ 4 － 2k π(k ∈Z) ．3π 3π 取 k ≤0 的值， k ＝－ 1 时，θ＝－ 4 ，|θ|＝ 4 ；k ＝－ 2 时， θ＝5π，＝5π >3π；4 |θ| 4 4k ＝0 时， θ＝－ 11π ，＝ 11π 3π> . 4 |θ| 4 4答案： A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为 ()ππA.2B.3C. 3D. 2分析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为 2a ，所以弧长等于 a 的圆弧所对的圆心角为l a＝ 2.α＝r ＝ 22a答案： D二、填空题π6．12 rad ＝ ________度， ________ rad ＝－ 300°.π 180° π5π分析： 12＝ 12 ＝15 °；－300 °－＝ 300×180＝－ 3 .15 5π 答案：－ 37．已知扇形的圆心角为60°，半径为 3，则扇形的面积是________．π分析：由于 60°＝3 rad则扇形的面积 S ＝ 1× π×32 ＝ 3π.3223 答案： 2π8．(1)1°的圆心角所对弧长为 1 米，则此圆半径为 ________米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为 1 米，则此圆半径为 ______米．π分析： (1)由于 |α|＝1°＝，l ＝1，180所以 r ＝ l ＝ 1 ＝ 180.|α| π π180 l(2)由于 l ＝1，|α|＝1，所以 r ＝＝1.答案： (1)180(2)1π三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成 2kπ＋β[k∈Z ，β∈[0 ，2π)] 的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边同样，且θ∈(4π，6π)．10解： (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋9π.10(2)θ与α的终边同样，故θ＝2kπ＋9π，k∈Z，1046π又θ∈(4π，6π)，所以 k＝2 时，θ＝4π＋9π＝9.10．用弧度表示终边落在如下图暗影部分内(不包含界限 )的角的会合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边同样，将－30°ππ5π化为弧度，即－6，而 75°＝75×180＝12，所以终边落在暗影部分内(不包含界限)的角的会合为π5πθ2kπ－6＜θ＜2kπ＋12，k∈Z.π7π(2)如题图②，由于 30°＝，°＝，这两个角的终边所在的62106直线同样，π所以终边在直线 AB 上的角为 α＝k π＋6 ，k ∈Z ，π又终边在 y 轴上的角为 β＝k π＋2 ，k ∈Z ，进而终边落在暗影部分内(不包含界限)的角的会合为π π θk π＋＜θ＜k π＋，k ∈Z .62B 级能力提高1．会合 α k π＋π≤α≤ k π＋ π，k ∈Z 中角的终边所在的范 4 2围(暗影部分 )是()ππ分析：当 k ＝2m ，m ∈Z 时， 2m π＋ ≤α≤2m π＋，m ∈Z ；42 当＝＋， ∈ 时，5π3π ∈ ，所以选k Z 2m π＋ ≤α≤2m π＋，m Z2m 1 m 42C.答案： C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.分析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12 小时，时针转过－ π rad ，所以经过一小时，时针转过－ π rad.2 6π答案：－63．已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积S.解：由⊙O 的半径 r＝10＝AB，知△AOB 是等边三角形，π所以α＝∠AOB＝60°＝3.所以弧长l ＝·＝π×10＝10π，a r33所以 S 扇形＝1lr ＝1×10π×10＝50π，3322△AOB 11×10×53＝50 3又 S＝2·AB·5 3＝2 2 ，π3所以 S＝S 扇形－S△AOB＝50 3－2 .。

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第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为( )(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y ＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又因为k ∈Z ，所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A.143π B ．－143πC.718 π D ．－718π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π2B.π3C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a＝ 2. 答案：D二、填空题6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l |α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z . (2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级能力提升1．集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad. 解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( ) A.12 B.32 C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0，所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cosβ＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cosα与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5，所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cosθ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级基础巩固一、选择题 1．化简1－sin 2160°的结果是( )A ．cos 160°B ．－cos 160°C ．±cos 160°D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝()A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin Ccos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α；(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)．解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α.因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α.证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四A 级基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12. 答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32.答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin(π＋α)＝35，所以sin α＝－35. 因为α为第三象限角，所以cos α＝－45. 所以cos(π－α)＝－cos α＝45. 答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝ m ＋1m －1. 答案：A二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45. 故cos(α－2π)＝cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. 答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________．解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案：2三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求 2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43. 所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73. B 级能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6； ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z. 其中与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）； ②cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3； ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3. 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2.(1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标．解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35. (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.综上，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六A 级基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( )A ．sin 5°B ．cos 5°C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0.答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cosC B ．sin(A ＋B )＝－sin CC ．cosA ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cosA ＋C2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－α＝( )A ．－223B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________．解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010. 答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920.B 级能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223，由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同解析：解析式相同，定义域不同．答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是()解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0)7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1，所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________．。

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y y (3) 叫做________，记作tan α，即 x＝tan α(x≠0)． x
一、1.单位圆
2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切金品质•高追求我们让你更放心！
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◆数学•必修4•(配人教A版)◆ 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为 ________．三角函数练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0 －3，4 ， 5 5 求角α的正弦、余弦和正切值．
y
y
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2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：
x y “sin α＝ r ：上正下负横为0；cos α＝：左负右正纵 r y 为0；tan α＝：交叉正负” x
形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”．
练习2：已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值． 2 2
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当角 α 的终边在第三象限时，角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)， ∵x＝－1，y＝－2，∴r＝－12＋－22＝ 5， y －2 2 x －1 5 ∴sin α＝＝＝－ 5，cos α＝＝＝－， r 5 r 5 5 5 y －2 tan α＝＝＝2. x －1
设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是α角的正弦线与余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α. 四、1.有长度、有正负 2.方向正负长度大小
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过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与α角的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α角的正切线，即AT＝tan α.
二、三角函数值在各个象限内的符号 1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号． sin α＝，其中r>0，于是sin α的符号与y的符号相同， r 一、二即：当α是第________ 象限角时，sin α>0；当α是第________ 象限角时， sin α<0；三、四 x cos α＝，其中r>0，于是cos α的符号与x的符号相同， r 即：当α是第________ 象限角时，cos α>0；当α是第________ 一、四二、三象限角时， cos α<0； tan α＝，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y同、 x 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________ 象限角时，一、三 tan α>0；当α是第 ________象限角时，二、四 tan α<0. 金品质•高追求我们让你更放心！
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应用诱导公式(一)进行化简、求值求下列各三角函数的值： 31 (1)cos(－1050°)；(2)sin － 4 π . 解析：(1)∵－1050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1050° 角与 30° 角的终边相同，
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(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴
同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．
(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，
终点字母在后面．
应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法．
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①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α>0，则α是第一或第二象限角； ④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝
－x x ＋y
2 2
. )
其中，不正确命题的个数是(
π 解析： ①正确；②不正确；③不正确，例：α＝也 2 成立；④不正确．故选C.
2．已知角 α 的终边过点 P 1 A. 2 3 B. 2
3 1 ，，则 cos α＝( 2 2
3 C. 3 1 D．± 2
)
＝
3 ，故选B. 2
3 1 解析： ∵点P 2 ，2 是单位圆上一点，则cos α＝x

答案：B
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◆数学•必修4•(配人教A版)◆ 3．有下列四个命题：
解析：∵r＝－3 ＋－4 ＝5， 4 3 4 ∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝ . 5 5 3
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思考应用 2．你知道形象的识记口诀的意思吗？解析：口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，
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基础梳理一、任意角的三角函数 1．单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为________． 2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r＝|OP|＝1.那么： (1)y叫做________，记作sin α，即y＝sin α； (2)x叫做________，记作cos α，即x＝cos α；
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2．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．分析：因为角α的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论．可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解．
解析：当角 α 的终边在第一象限时，角 α 的终边上取点 P(1,2)， ∵x＝1，y＝2，∴r＝ 12＋22＝ 5， y 2 2＝， r r 5 5 5 5 y 2 tan α＝＝＝2. x 1
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α) ＝tan α，(k∈Z)．思考应用 3．公式一中的角α一定是锐角吗？解析：公式一中的角α为任意角，公式一都成立．金品质•高追求我们让你更放心！
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◆数学•必修4•(配人教A版)◆ 四、三角函数线
1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点) 的线段，它是________、 ________的．在直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负． 2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：
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自测自评
π 1．若－ <α<0，则点Q(cos α，sin α)位于( 2
A．第一象限
C．第三象限
)
B．第二象限
D．第四象限
π 解析： ∵－ <α<0，则cos α>0，sin α<0，故选D. 2
答案：D
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跟踪训练 1．在平面直角坐标系中，若角α终边经过点P(－3,4)，则
cos α的值为 (
)
4 A．－ 5
3 B．－ 5
3 C. 5
4 D. 5
解析：∵x＝－3，y＝4，∴r＝－32＋42＝5， x －3 3 ∴cos α＝＝＝－，故正确答案为 B. r 5 5 答案：B
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3．填写下表中三角函数的定义域、值域函数定义域 R R
π α|α≠ ＋kπ，k∈Z 2
值域 [－1,1] [－1,1]
y＝sin α
y＝cos α
y＝tan α
R
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思考应用 4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析： (1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． (2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．
x2＋>0. y2
(1) y 比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝
r x (2) x 比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
(3)
r
y ；
单位圆上是一种特殊情形．金品质•高追求
y 比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ x
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r
.y 点P在
r
x
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其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四
象限余弦为正，其余两个为负．
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三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，
这样就有下面的一组公式 (诱导公式一) 相等
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