2019_2020学年高中数学第三章3.1.2用二分法求方程的近似解练习(含解析)新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解
课时过关·能力提升
基础巩固
1.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是()
答案:A
2.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为()
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
解析:令f(x)=e x-x-2,则f(1)·f(2)=(e-3)·(e2-4)<0,故选C.
答案:C
3.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)内有一个零点
)=0时,则函数f(f)的零点是()
x0,且f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f(f+f
2
A.(a,b)外的点
B.x=f+f
2
C.区间(f ,
f +f 2
)或(
f +f 2
,f )内的任意一个实数
D.x=a 或x=b 答案:B
4.已知函数f (x )的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
答案:D
5.用二分法求函数f (x )=2x
-3的零点时,初始区间可选为( ) A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
解析:f (-1)=−5
2<0,f (0)=−2<0,f (1)=−1<0,f (2)=1>0,f (3)=5>0,则f (1)·f (2)<0,即初始区间可选(1,2). 答案:C
6.已知函数f (x )的图象是连续不断的,f (1)·f (2)<0,用二分法求f (x )在(1,2)内的零点时,第一步是 .
答案:计算区间(1,2)的中点c =
1+22
=3
2
7.用二分法求方程x 3
-2x-5=0在区间[2,3]上的实数根时,如果取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是 .
解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0,f(3)=16>0,f(2.5)=5.625>0.故下一个有根区间为(2,2.5).
答案:(2,2.5)
8.求方程ln x+x-3=0在(2,3)内的近似解.(精确度0.1)
解:令f(x)=ln x+x-3,求函数f(x)=0在(2,3)内的零点.∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:
又2.25-2.1875=0.0625<0.1,
∴在区间(2.1875,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为2.25.
9.在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量稍小),现在只有一台天平(无砝码),请你用二分法的思想找到这枚假币.
解:第一次在天平的两端各放入13枚金币称重,选出较轻一端的13枚,继续称;第二次两端各放6枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的6枚继续称;第三次两端各放3枚,选出较轻的3枚继续称;第四次两端各放1枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币.
能力提升
1.若函数f(x)唯一的零点在区间(0,8),(0,6),(0,4),(0,2)内,则下列命题正确的是()
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2,8)内无零点
D.函数f(x)在区间(1,8)内有零点
答案:C
2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据见下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈
0.162
f(1.406 25)≈
-0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为 ()
A.1.248
B.1
C.1.437 5
D.1.5
答案:C
3.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为.(精确度0.1)
解析:因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取0.75或0.6875.
答案:0.75或0.687 5
4.★已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,且在区间(0,0.1)内有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为.
解析:设等分的最少次数为n,
则由0.1
2f
<0.01,得2n>10,故n的最小值为4.
答案:4
5.求函数f(x)=x3-x-1在(1,1.5)内的零点(精确度0.1).
解:f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,用二分法逐次计算,列表如下:
区间中点的值中点函数近似值
由于|1.375-1.3125|=0.0625<0.1, 所以函数的一个近似零点为x=1.3125.
6.★已知函数f (x )=3ax 2
+2bx+c ,a+b+c=0,f (0)>0,f (1)>0. (1)证明:a>0;
(2)利用二分法证明方程f (x )=0在区间[0,1]上有两个实根. 证明(1)∵f (1)>0,
∴3a+2b+c>0,即3(a+b+c )-b-2c>0.
又a+b+c=0,∴-b-2c>0,则-b-c>c ,即a>c. 又f (0)>0,∴c>0,∴a>0.
(2)在区间[0,1]上选取二等分点12
,
则f (12)=34f +f +f =34f +(−f )=−1
4
f <0.
∵f (0)>0,f (1)>0,
∴f (x )在区间(0,1
2)和(1
2,1)内至少各有一个零点.
又f (x )最多有两个零点,∴方程f (x )=0在[0,1]上有两个实根.。