安徽省郎溪中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理

安徽省郎溪中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理
时间：120分钟；分值：150分
（I 卷）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1、若 ()0'3f x =-,则()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--= ( )
A. 3-
B. 12-
C. 9-
D. 6- 2．已知曲线
在点
处的切线的倾斜角为，则
（ ）
A ．
B ．
C ． 2
D ．
3．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n ，则a 2 019等于( )
A.1
2 B ．－1 C.
3 D ．2 4．由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2
=所围成的封闭的图形的面积为( ) A.3 B.2ln 23+
C. 322-e
D. e
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说的是对的，则获奖的歌手是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6、已知函数()()y f x x R =∈上任一点()()
00,x f x 处的切线斜率()()2
0021k x x =-+,则
该函数的单调减区间为( )
A. [)1,-+∞
B. (,2]-∞
C. (),1-∞-、()1,2-
D. [)2,+∞
7．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A ．a ，b 都能被3整除
B ．a ，b 都不能被3整除
C ．a ，b 不都能被3整除
D ．a 不能被3整除
8. 已知双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆
1)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
9．函数
()sin ln f x x x
=⋅的部分图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数2
2
3
++3+=)(a bx ax x x f 在x ＝－1处有极值0，则a 的值为( )
A ．1
B ．1或2 C.3 D ．2
11．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若
F 是AC 的中点，且4=AF ，则线段AB 的长为 A ．5 B ．6 C ．3
16
D ．
3
20 12.上的函数()f x ,()'f x 是它的导函数,且恒有()()'tan f x f x x >⋅成
立．则（ ）
A C
（II 卷）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋
b 10＝
14.若l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则
=-+⎰
dx x x a
a
)5sin (-3
15.设2,1F F 是双曲线1y 4
x
22=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且.0PF PF 21=⋅则
|PF ||PF |21⋅的值
为
16.若3()3f x x x =+对任意的[2,2]m ∈-有()()20f mx f x -+<恒成立，则
x ∈ ；
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈. (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()y f x =的极值.
18. （本小题满分12分）设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1
xy ≤1x ＋1
y ＋xy .
19．（本小题满分12分）如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？
20.（本小题满分12分）已知函数32()(0)f x ax bx cx d a
=+++≠)0(>a 为奇函数，且在1x =-处取得极值.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，2
()(2)(1)x
f x m x x e ++≤-对于任意的[0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的
取值范围.
21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b x a y C ：离心率为2
，其上焦点到直
线20bx ay +-
=的距离为
3
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点1(,0)3
P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
函数x b ax x x f ln )(2
++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=.
（1）求a 和b 实数的值；
（2）设)()()(2
R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个
零点，求证0)('21<x x F .
参考答案
一、选择题:
1、B,
2、B,
3、D,
4、A,
5、C,
6、B,
7、B,
8、A,
9、A,10、D,11、C ,12、A 二、填空题:
13.123 14. -20 15.2 16. （-2,2/3） 三、解答题:
17. 解：(1).函数()f x 的定义域为(0,),()1a
f x x
'+∞=-,..............1分 当2a =时, 2
()2ln ,()1(0)f x x x f x x x
'=-=-
>, ∴(1)1,(1)1f f '==- ..............3分 ∴()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--,
即20x y +-= ..............4分 （2）.由()1a x a f x x x
-=-
=',0x >可知: ①当0a ≤时, ()0f x '>,
函数()f x (0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ..............6分 ②当0a >时,由()0f x '=,解得x a =,
∵(0,)x a ∈时, ()0f x '<,(,)x a ∈+∞时, ()0f x '> ∴()f x 在x a =处取得极小值,
且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值. ..............8分 综上:当0a ≤时,函数()f x 无极值.
当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值...............10分
18. 【证明】 由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1
xy ≤1x ＋1
y ＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2...............3分
因为左式-右式＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)..............6分 ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，..............9分
因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，
从而所要证明的不等式成立． ..............12分
19.解： 设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)，..............2分
所以BC ＝BD 2
＋CD 2
＝x 2
＋402
(km)． .............. 4分 又设总的水管费用为y 元，
依题意，得y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)．..............6分
y ′＝－3a ＋5ax
x 2＋402. ..............8分
令y ′＝0，解得x ＝30. .............. 10分
在(0,50)上，y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．
故供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．..............12分 20.（I ）
32()f x ax bx cx d =+++为奇函数 0b d ∴==..................1分
2'()3f x ax c ∴=+
()f x 在1x =-处取得极值 a c c a f 3∴03)1('∴-==+=-..................2分
∴)1(3)('2
-=x a x f …………………………3分
0>a 时，)(x f 在)1,(--∞递增，)1,1(-递减，),1(+∞递增...................5分
（2）当1=a 时，
()()22(1)x f x m x x e ++≤-
323(2)(1)x x x m x x e ∴-++≤-∴()()23213x m x x e x x +≤--+....................6分
当0x =时，m R ∈.........................................7分
当0x >时，(
)
2
2311x x
m xe x x m x e x ∴+≤--+⇒≤--+....................8分
设()1x
h x e x =--
()()00h x h >='()10x h x e =->.......................9分
()h x ∴在()0,+∞递增，
()()111x g x x e x ∴=--+> 从而1m ≤
∴实数m 的取值范围为(,1]-∞……………………………………12分
21.解：（1）
由题意，c e a =，222
2
12a b e a -==
，所以a ，c b ＝.
3
=
，)0>>b a （，所以1b ＝，22a ＝，
故椭圆C 的方程为2
212
y x +=..............4分
（2）当轴x AB ⊥时，以AB 为直径的圆的方程为9
16)31(2
2=
+-y x 当轴y AB ⊥时，以AB 为直径的圆的方程为22
1x y ＋＝
. 可得两圆交点为()
10
Q -，． 可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()
10Q -，．..............6分 下证()
10
Q -，符合题意． 设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为)31(-=x k y ，代入2
212
y x +=
并整理得()
22
22
2122039
k x k x k +-
+-=， 设()11A x y ，，()
22B x y ，，
则()2122
232k x x k +＋＝， ()
212218
92
k x x k -+＝，..............8分 所以2121)1)(1(y y x x QB QA +++=⋅=
1212x x x x +＝＋+1+)31
)(31(212--x x k
=2212212
9
11))(311()1(k x x k x x k +++-++
(
)(
)22
218192k k
k -+＝＋+)311(2k -()
22
232k k + 21109
k ++=..............10分 故⊥，即()
10
Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()
10
-，．.............12分 22：解：（I ）由2
()l n f x x a x b x =++，得(1)1
f a =+，()2b
f x x a x
'=++，
(1)2f a b '=++，所以曲线()y f x =在点处()1(1)f ，的切线方程()()()211y a b x a =++-++（*）.
将方程（*）与2y x =比较，得()()22210.a b a b a ++=⎧⎪⎨-++++=⎪⎩
，
解得：1a =1b =-. …5分 （II ） ()
()2
2
2
()()ln 1ln F x f x x mx x x x x mx m x x =-+=+--+=+-.
因为1x ，2x ()12x x <分别是函数()F x 的两个零点，所以()(
)11221ln 01ln 0m x x m x x +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，
，
两式相减，得()()()12121ln ln 0m x x x x +---=， 所以12
12
ln ln 1x x m x x -+=
-. ……… 7分
因为1()1F x m x
'=+-， 所以
.(
)1212ln ln 1x x F m x x -'
=+=--.
要证0F '
<
，即证
1212ln ln 0x x x x -<-. 因120x x <<
，故又只要证1122ln ln 0ln 0x x x x --
>⇔>.
令()01t =
，，则即证明1
2ln 0t t t
-+>. 令1()2ln t t t t ϕ=-+，01t <<，则()2
22121()10t t t t t
ϕ--'=--=<. 这说明函数()t ϕ在区间()01，
上单调递减，所以()(1)0t ϕϕ<=， 即12ln 0t t t
-+>成立.
由上述分析可知0F '<成立 ………… 12分。