高三数学上学期第二次月考12月试题文试题

2021-2021学年第一学期第二次月考
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
高三数学试题〔文科〕
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.满分是150分.考试时间是是120分钟. 考前须知：
1.在答题之前，考生先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上.
2.考生答题时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内答题，超出答题区域书写之答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.
第一卷〔选择题一共60分〕
一、选择题:此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.集合{}
{1},12A x x B x x =>=-<<，那么A
B 等于〔 〕
A.{|12}x x -<<
B.{|1}x x >-
C.{11}x x -<<
D.{12}x x <<
2.设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，那么z =〔 〕
A.2i -
B.12i --
C.12i -+
D.12i +
3.设2
()3x
f x x =-，那么在以下区间中，使()f x 有零点的区间是〔 〕
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,1)--
D.(1,0)- 4.以下函数中，在区间(0,
)2
π
上为增函数且以π为周期的函数是〔 〕
A.sin
2
x
y = B.sin y x = C.tan y x =- D.cos 2y x =- 5.等差数列{}n a 满足32=a ，117(2)n a n -=≥，其前n 项和100=n S ，那么n =〔 〕
A.8
B.9
C.10
D.11 6.A 是ABC ∆的内角，那么“1cos 2A =
〞是“2
3
sin =A 〞的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
7.某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，那么在判断框中应
填写上〔 〕
A.19i ≤
B.19i ≥
C.20i ≤
D.21i ≤
8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设cos cos sin b C c B a A +=，那么
ABC ∆的形状为〔 〕
9.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，那么这个矩形的面积是〔 〕
A.4
B.32
C.2
D.3
10.定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,
()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩
，那么(2015)f =〔 〕
A.-1
B.0
C.1
D.2
11.设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目的函数z x my =+的最大值小于2，那么m 的取
值范围为〔 〕
A.(1,1
B.(1)+∞
C.(1,3)
D.(3,)+∞
12.对二次函数2
()f x ax bx c =++〔a 为非零整数〕，四位同学分别给出以下结论，其中有且只有一个是错误的，那么错误的结论是〔 〕
()f x 的极值点 ()f x 的零点 ()f x 的极值
(2,8)在曲线()y f x =上
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13.函数()cos f x x x =在点(,)ππ -处的切线方程是________.
14.假设向量(1,3),,0OA OA OB OA OB =-=⋅=，那么AB =________.
15.设动点(,)P x y 满足10,
40,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
，那么22
x y +的最小值为________.
16.数列{}n a 的通项公式为n a n n
λ
=+，假设{}n a 为递增数列，那么实数λ的取值范围是
________.
三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分. 17．〔12分〕
函数x x x f 2
cos 22sin )(-=()R x ∈.
〔1〕求函数()f x 的最小正周期；
〔2〕求函数)(x f 的单调递增区间，并写出函数()f x 的图象的对称轴方程． 18．〔12分〕
抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -. 〔1〕求抛物线C 的方程及焦点坐标；
〔2〕是否存在平行于OA 〔O 为坐标原点〕的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公一共点，
且直线OA 与直线l 的间隔 等于5
5
？假设存在，求直线的方程；假设不存在，说明理由.
19．〔12分〕
在正项等比数列{}n a 中，公比()1,0∈q ，且23=a ，252534231=++a a a a a a . 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当n
S S S n +⋅⋅⋅++212
1取最大值时，求n 的值.
20.(12分〕
如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，
3,4AB AD AC PA BC =====，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为
PC 的中点．
〔1〕证明MN 平面PAB ； 〔2〕求四面体N BCM -的体积． 21．〔12分〕 函数()ln f x x x =. 〔1〕求函数()x f 的极值；
〔2〕设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.〔其中e 为自然对数的底数〕
〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的的第一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕
极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l
的参数方程为
1,212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 〔1〕写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； 〔2〕设直线l 与C 交于,P Q 两点，求PQ 值．
23.[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕 函数()2f x x a a =-+.
〔1〕假设不等式()6f x ≤的解集为[2,3]-，务实数a 的值；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，务实数m 的取值范围.
高三上学期第二次月考数学〔文科〕参考答案
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分 〕 〔一〕必考题.
17.解：〔1〕2
cos 22sin )(-=x x f =12cos 2sin --x x ，………………2分 那么1)4
2sin(2)(--=
π
x x f ，……………4分
所以，函数)(x f 的最小正周期为π．………………6分 〔2〕由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得38
8
k x k π
π
ππ-
≤≤+
………………8分 所以，函数)(x f 的单调递增区间为：()3,8
8k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
………………9分
由24
2
x k π
π
π-
=+
，得328
k x ππ
=
+
，……………11分 故对称轴方程为：()328
k x k Z ππ=+∈.………………12分
18.解：〔1〕把点(1,2)A -代入22y px =，得2
(2)2p -=，即2p =，
所以抛物线C 的方程为2
4y x =.焦点坐标为(1,0). ……………4分 〔2〕假设存在直线l 满足题设条件，依题意，直线OA 的方程为20x y +=，设直线l 的方程为20x y b ++=.
联立24,20
y x x y b ⎧=⎨++=⎩，消去x ，整理得2
220y y b ++=.
由22420b ∆=-⋅≥，解得1
2
b ≤
.① ……………8分 又因为直线OA 与直线l 的间隔
等于
5
=
，所以1b =±.② 由①②得1b =-，即所求直线l 的方程为210x y +-=. ……………12分
19.解：〔1〕因为132435225a a a a a a ++=， 所以()2
22224424225a a a a a a ++=+=，
因为{}n a 是正项等比数列，所以245a a +=，又因为32a =，所以
2
25q q
+=. 由于01q <<，所以1
2
q =
.………………4分 所以3431()22
n n n a a --=⋅=.………………6分
〔2〕因为2(7)7log 4,,22
n n n n S n n n
b a n S n --==-=
=
，………………8分
所以12n S n ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是公差为的等差数列，………………9分 当7n =时，
0n
S n
=，所以6n =或者者7n =.………………11分 即当n
S S S n +⋅⋅⋅++212
1取最大值时，76或=n .………………12分
20.解:〔1〕由得2
23
AM AD =
=.取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由N 为PC 的中点知TN BC ，1
22
TN BC =
=，又AD BC ，故TN MA ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN
AT .
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊂/平面PAB ． 所以MN 平面PAB . ………6分
〔2〕因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的间隔 为
1
2
PA .取BC 的中点E ，连接AE ，由3AB AC ==得AE BC ⊥，225AE AB BE =-=.
由AM
BC 得M 到BC 的间隔 为5，故1
45252
BCM S ∆=⨯⨯=，
所以四面体N BCM -的体积145332
N BCM BCM PA V S -∆=
⨯⨯=.………………12分
21.解：〔1〕因为()ln 1f x x '=+，且0x >，
而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1
＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e
所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e 上单调递增.
所以e
x 1
=
是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在. ………………4分 所以当e
x 1
=
时，()x f 取极小值为e -.()f x 无极大值.………………5分 〔2〕()()1ln --=x a x x x g ，那么().1ln a x x g -+='
()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e
所以()x g 在()
1,0-a e 上单调递减，在()
+∞-,1a e 上单调递增. ………………7分 ①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g
②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e 上单调递减，在(]
e e a ,1-上单调递增.
()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g
③当,1-≤a e e
即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减，
所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+= 综上所述，
当1≤a 时，()x g 的最小值为0；
当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ；
当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+……………………………12分
〔二〕选考题
22.解：〔1〕因为4cos ρθ=，所以2
4cos ρρθ=，由2
2
2
,cos x y x ρρθ=+=得
224x y x +=.所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，
它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. ……5分
〔2
〕把1,212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入方程224x y x +=
，整理得250t -+=， 设其两根分别为12,t t
，那么12125t t t t +==，
所以12PQ t t =-==……10分
23.解：〔1〕由26x a a -+≤，得26x a a -≤-，即626a x a a -≤-≤-， 解得33a x -≤≤.所以32a -=-，即1a =. ……5分 〔2〕由〔1〕得()211f x x =-+，令()()()g n f n f n =+-，那么
124,,211()212124,,22124,2n n g n n n n n n ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
.
所以()g n 的最小值等于4，故实数m 的取值范围是[4,)+∞. ……10分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。