必修一教案-2.1.1指数与指数幂的运算

1. 指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？
② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？
书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含
量P 与死亡时碳14的关系为5730
1()2
t
P =. 探究该式意义？
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.
探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N
简记：n a . 例如：328=，则382= ③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3
273=,3273-=-,
记：n x a =
当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：n a ± 强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
00n
=
④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像n a 的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.
⑥ 计算22(3)、334、(2)n n - → 探究： ()n n a 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般）
结论：()n
n
a a =. 当n 是奇数时，a a n n
=；当n 是偶数时，(0)
||(0)
n n
a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
3、例题讲解
（P 5O 例题1）：求下列各式的值
33
(1)
(8)- 2(2)(10)
- 44
(3)(3)π- 2(4)()a b -
三、巩固练习：
1. 计算或化简：532-；36a （推广：np
n mp m a a =， a ≥0）.
2、 化简：526743642++--- ；6323 1.512⨯⨯
3、求值化简： 33
()a -；
44
(7)-；
66
(3)π-；
22
()a b -（a b <）
四、小结：
1．根式的概念：若n ＞1且*
n N ∈，则n ,x a x a n 是的次方根,n 为奇数时,=
n 为偶数时，n x a =±；
2．掌握两个公式：(0)
,||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
n 为奇数时,()为偶数时,
1. 分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a >0时，1051025255
()a a a a === → 3
12?a =；
3
23
332
3
2)(a a a == → ?a =.
② 定义分数指数幂：
规定*
(0,,,1)m
n
m
n
a a a m n N n =>∈>；*11
(0,,,1)m n m n
m
n
a
a m n N n a a
-=
=
>∈>
③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：n m a (0,,1)a m n N n *>∈>；253；3
45
B. 求值 2327； 25
5； 43
6
-
； 52
a
-
.
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈
r a ·s r s a a +=； rs s r a a =)(； r r r b a ab =)(．
2. 教学例题：
（1）、（P 51，例2） 3
2
8 ；2
1)25(- ；5)2
1
(- ；43
)8116(-
（2）、（P 51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
a a ∙3； 322a a ∙；
3a a
3、无理指数幂的教学
23的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
无理数指数幂),0(是无理数αα
>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 三、巩固练习：
1、用根式的形式表示下列各式：（a>0）
21
a ，4
3a ，5
3-
a
，3
2-
a
2、用分数指数幂表示下列各式：
（1）32x （x>0）； （2）43)(b a + （a+b>0）； （3）32)(n m - (m>n)；
（4）4
)(n m - (m>n)； （5）5
6q p (p>0)； （6）
m
m 3
3、计算下列各式：
（1） 2
3
4936⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2） 6
3125.132⨯⨯ ；（3） 8141
21-a a a ； （4） ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---3231312212x x x ；
4、求值:2
327; 43
16-
; 33
()5
-; 2
325()49-
5、化简：2115113
3
6
6
2
2
(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；3116
84
()m n
6. 计算：1221
21
(2)()248
n n n ++-⋅的结果
7. 若1
310731033
3,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值
四. 小结：
1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
例1．（P 52，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）2
11511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- （2）318
84
()m n -
例2．（P 52例5）计算下列各式
（1）3
4
(25125)25-÷ （2）
23
2
(.a a a a
＞0）
例3．.已知1
12
2
a a
-
+=3，求下列各式的值:
（１）1
-+a a ； （２）2
2
-+a a ； （３）3322
112
2
a a
a a -
--- ．
三、巩固练习：
1. 化简：)()(4
14
12
12
1y x y x -÷-.
2. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，试求)()(21x f x f ⋅的值
3. 用根式表示2134()m n -
，
其中,0m n >.
4. 已知x +x -1
=3,求下列各式的值：.)2(,)1(2
32
32
12
1-
-
++x x x x
5. 求值：2325; 2327; 3
2
36
()49
; 32
25()4
-; 3
42819⨯; 6323 1.512⨯⨯
6. 已知32x a b --=+, 求42362x a x a ---+的值.
7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出
31升，然后用水填满，再倒出3
1
升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 五，作业
化简：（1）5
2
93
2
23
2
(9)(10)100-÷ （2）322322+-- （3） a a
a a。