安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}ln 2B x x =<，则A B =I （ ）
A ．{}14x x -≤≤
B ．{}20e x x <<
C ．{}04x x <≤
D ．{}e 4x x <≤
2．已知复数z 满足48i z z z ⋅=-，则z =（ ）
A
B
．C
D
．3．已知平面向量1sin ,2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r
，b α⎫=⎪⎪⎝⎭
r ，则1a b ⋅=r r 是a b ∥r r 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm ，两侧鼓面直径为20cm ，中间最粗处直径为24cm ，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（ ）
A ．37280πcm
B ．314560πcm
C ．7280π33cm
D ．14560π33cm 5．函数213x
ax y -+=在区间()1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．4a ≤ C ．2a > D ．4a >
6．正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（ ）
A ．110
B ．15
C ．13
D ．25
7．()f x 是定义在R 上的函数，若()01f =，且对任意x ∈R ，满足()()22f x f x +≤+，()()88f x f x +≥+，则()2024f =（ ）
A ．2023
B ．2024
C ．2025
D ．2026
8．已知1
1247sin cos 22α
α
+=，()0,πα∈，则cos2=α（ ）
A ．1781
B ．1781-
C ．79128
D ．79128
-
二、多选题
9．对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ） A ．若A 与B 互斥，则()0.3P AB = B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=
C ．若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =
D ．若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃= 10．已知正数a ，b 满足412a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．ab 的最大值为4
B ．4a b +的最小值为8
C ．a b +的最小值为3
D ．111a b ++的最小值34
11．在菱形ABCD 中，边长为π3
BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 折起得到四面体ABCD ，记二面角A BD C --的大小为()0πθθ<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．对任意θ，都有AC BD ⊥
B ．存在θ，使A
C ⊥平面ABD
C ．当2π3θ=
时，直线AC 与平面ABD 所成角为π6 D ．当π3θ=时，四面体ABCD 外接球表面积为208π3
三、填空题
12．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，
6.6，6.7，6.9，
7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是．
13．将函数()()cos 2f x x φ=+的图象向右平移
2π3
后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小正值为．
14．若用x ⎢⎥⎣⎦表示不大于x 的最大整数，用⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数，那么方程
523x x ⎢⎥⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
的最大整数解为．
四、解答题
15．为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照 50,60 ， 60,70 ，[)70,80， 80,90 ， 90,100 分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求a 的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；
(2)若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在 80,90 为“推荐指数四颗星”，评分在 90,100 为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为4，D 是AB 的中点．
(1)求证：1//BC 平面1A DC ；
(2)求异面直线1A D 与1BC 所成角的正弦值．
17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin sin sin sin a A B b B C c C B -+-=-．
(1)求角C ；
(2)若4b =，c =CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，求CD 的长．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，4PA PD ==，PC =底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB DC ，24AD DC AB ===．
(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)求证：PC BD ⊥；
(3)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的正切值．
19．已知定义在R 上的函数()222
x x
f x --=，()222x x
g x -+=． (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；
(2)若对[]1,2x ∀∈，()()20mf x g x -≤恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)若函数()()()h x f x g x =+，实数a 、
b 、
c 满足()()()2h a h b h c +=，()()()22h a h b h c +=，求c 的最小值．
（参考公式：如果a 、b 、c 是正实数，那么
3a b c ++³a b c ==时，等号成
立．）。